數(shù)列求和8種題型講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

數(shù)列求和

1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：

公式一：S=〃（%+%）。公式二：s=+"d

22

2、等比數(shù)列的前,項(xiàng)和公式：

naA（q=1）

邑=缶（1/'）_4—a“q（］）。

、\-q1-q

3、常用幾個數(shù)列的求和公式：

S=*=1+2+3+…+〃1

n=-n（72+1）o

左=12

?1

S=>左2=F+2?+3?H---=—〃（7/+1）.（2〃+1）。

k=16

〃1

S"=l3+23+33+---+n3=［-72（〃+1）］2。

k=\2

4、分組求和法：

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可以分為幾個等差、等比或

常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。

如果通項(xiàng)公式是幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，

再將結(jié)果進(jìn)行相加。

5、裂項(xiàng)相消法求和：

如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和，這

是分解與組合思想在數(shù)列中的具體體現(xiàn)。

。”的表達(dá)式能夠拆成形如%=/（〃）—/（〃—左）的形式（左=1,2,-??）,從而在求和時可以進(jìn)行相

鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多。

裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目

的的方法。常見的方法有:

(1)等差型裂項(xiàng):

11_1

①明

n(72+1)nn+1

②%——---)0

n(〃+左)knn+k

4n2-1(2〃-l)?(2〃+l)22n-l2〃+l

1j_〃+2—?_j_11

n(〃+l)?(〃+2)2n(〃+l)?(〃+2)2n(〃+l)(〃+l)?(〃+2)

]_]_]_(〃+l)-(〃-1)_j_11

n(1—I)n(〃-1)?(〃+1)2n(〃-1)?(〃+1)2n(〃-1)n(〃+D

(2〃)2(41—1)+11z11、

(2〃-l)?(2〃+l)(2〃-1)?(2〃+1)22/z-l2/2+1

----------;---------;--------r=-[----------；----------------------------------------]

n(〃+1)?(〃+2)?(〃+3)3n(〃+1)?(〃+2)(〃+1)?(〃+2),(〃+3)

2/2+1n2+2n+l-n211

222

n-(77+1)〃2.(〃+I)2N(〃+l)2

〃+l1+4〃+4-〃2_111

/.(〃+2)2=4n2<n+D2/-(〃+2)21°

4n2+8n4n2+8w+3-313(11

(2〃+l)(2〃+3)4/+8〃+322〃+l2〃+3

(2)根式型裂項(xiàng):

①=I-----——r=J〃+l-G。

Yn+\+

②cin-―/-----r=——(Jri+k—AAT)O

<n+kk

③ci——/----/二一(J2〃+1—J2〃-1)o

72/1-1+72/2+12

〃*〃+1丫：(〃+1)：+〃、1+1=…」+111_J_

④%=+

獷?(“+1)2”("+1)nn+\

(3)指數(shù)型裂項(xiàng):

2"_(22-1)-(2"-1)_]_1

(2?-1).(2,,+1-1)-(2),-l)-(2,,+1-l)-2"-1-2"+1-1

an1J—1)—一1)1,11、

-----------------------r=x-------=------x(-------------------)o

(。"―—1)tz—1---(。"―1),(優(yōu)+—1)Q—1(jn—1a"-1

〃+1+11111c.1111

------------二—r—?--------------1—2rl--------------------------1n-..................................

n(“+1)2Tnn(〃+1)n-T(?+l)-2,,+1n-T^(〃+l)2

+1

(4〃—1)-3"T1「9〃—(〃+2)Ilr9I1q』1.3"3自、

n(〃+2)2n(〃+2)2(〃+2)n2n+2n

(4)對數(shù)型裂項(xiàng)：

6、錯位相減法求和：

通項(xiàng)公式特點(diǎn)：%=等差X等比，比如%=〃.2「其中〃代表一個等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(關(guān)于〃的一次

函數(shù))，2"代表一個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(關(guān)于〃的指數(shù)型函數(shù))，那么便可以使用錯位相減法。

這種方法主要用于求｛。屋〃｝的前〃項(xiàng)和，其中｛%｝,｛句｝分別是等差數(shù)列和公比不為1的等比數(shù)歹U,

那么Sn=她+a2b2+???+anbn與qSn=a也+a2b3+…+anbn+1兩式錯位想減就可以求出。

7,倒序相加法：

這是推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時所用方法，就是將一個數(shù)列倒過來排序，再把它與原數(shù)列相加，就可

以得到〃個q+4。如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列

的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解。

8、并項(xiàng)求和法：

一個數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。

【題型1】分組求和法

【例1】求數(shù)列14，2/，3g,4白…的前”項(xiàng)和.

【解答】解：令數(shù)列2.3—4-…前〃項(xiàng)的和為

Z41o10

1111111

貝USn=l]+2[+3g+…+?1萍=(1+2+…+〃)+(-+^2+???+—)

_n(n+l)；[1一G)"]_n2+n+21

=—2—十一口—=—22";

12

1.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且4即=3S〃+2.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)氏=a”+log2a,”求數(shù)列｛6”｝的前〃項(xiàng)和7”.

2.在數(shù)列｛斯｝中，ai=-1,an-2an_r+3n-6(n>2,n€N*).

(1)求證：數(shù)列｛斯+3〃｝為等比數(shù)列,并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=a?+n,求數(shù)列｛6〃｝的前n項(xiàng)和Tn.

3.在公差為2的等差數(shù)列｛斯｝中，c(i+l,及+2,。3+4成等比數(shù)列.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛斯-2"｝的前n項(xiàng)和S?.

4.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為且滿足ai=l,2s〃+i=S〃+2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛M｝滿足方=斯+；,求數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和

an

5.已知數(shù)列｛斯｝,S,是其前〃項(xiàng)的和,且滿足3a〃=2S“+力(〃6N*).

(I)求證：數(shù)列｛斯+3為等比數(shù)列；

(II)記T“=SI+S2+…+S”，求6的表達(dá)式.

【題型2】裂項(xiàng)相消法求和

111

【例1】求丁7■++…+一(「：的值,

1x22x3nx(n+l)

?A”…111111111n

1x22x371X(71+1)I2)3)nn+17幾+1n+1'

111

【例2】裂項(xiàng)相消法：求數(shù)列;一而，下一方，…，~F—尸〒，…的前〃項(xiàng)和.

1+V2V2+V3V^+Vn+1

【解答】解：設(shè)一=l二=V^釘一機(jī)(裂項(xiàng))

Vn+Vn+1

111

貝ISn=-f=H-7=—7=+…H--------/、

1+A/2-\/2+A/3^V^+J幾+1

=(V2-1)+(V3-V2)+???+(VnTl-Vn)(裂項(xiàng)求和)

=7n+1—1

S1

1.記5為數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，已知Ql=l,匕3是公差為石的等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

111

(2)證明：—+—+???+—<2.

2.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)m=l,前"項(xiàng)和S,滿足斯=瘋+J=(zi22).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛"-｝的前〃項(xiàng)和為7“，若對任意的怔N*,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范

aTian+l

圍.

3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛而｝,｛a｝滿足:對任意正整數(shù)〃,都有斯，bn,斯+1成等差數(shù)列，bn,即+1,瓦+1成等比數(shù)列,

且01=10,42=15.

(I)求證：數(shù)列｛VF,J是等差數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛即｝,｛為｝的通項(xiàng)公式;

(III)設(shè)%=二+4+“-+3,如果對任意正整數(shù)力不等式20^<2-毀恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

CliCloQ九

4.已知等差數(shù)列｛%滿足42=4,2〃4-〃5=7,公比不為-1的等比數(shù)列｛4｝滿足尢=4,64+加=8(加+歷).

(1)求｛劭｝與｛4｝通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)7=777；----Fb,求｛cn｝的前〃項(xiàng)和

an^n+ln

5.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為且2s九=3n—2n—L

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6=0，求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和T.

nan+lan+2n

【題型3】錯位相減法求和

【例1】求和：Sn=,+[+,+條+…+2,,1.

乙T*O_LU乙

【解答】解：因?yàn)?九=^~+]+V+震+…+21,

乙x*OA.U彳乙7t

_1352n-32n-l

++n+n+1

2〃4816…22）

122222n-l11（1-^T）2n-l

,1

兩式相減得：~S

25+.+.+G+…+喬—k=5+1」一行

2

則％=3-需.

1.設(shè)｛斯｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛瓦｝滿足瓦=等，已知的，3a2,9a3成等差數(shù)列.

（1）求｛即｝和處,｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S”和Tn分別為｛如｝和｛仇｝的前77項(xiàng)和.證明：Tn<^.

2.設(shè)｛斯｝是公比不為1的等比數(shù)列，01為及，。3的等差中項(xiàng).

（1）求｛即｝的公比;

（2）若ai=l,求數(shù)列｛〃即｝的前〃項(xiàng)和.

3.已知數(shù)列｛斯｝中，02=1,設(shè)S"為｛即｝前"項(xiàng)和，2s產(chǎn)

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)歹?。荩鲏眩那啊?xiàng)和

4.已知數(shù)列｛斯｝滿足。"+2=1即（q為實(shí)數(shù)，且g7l）,?GN*,ai=l,02=2,且例+的，的+。4，a4+。5成等差數(shù)

列

（1）求q的值和｛念｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)治=弊力，"6N*,求數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和.

a2n-l

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為若Ql，的，Q2+10成等差數(shù)列，S3-Q2=10.

（I）求斯與S,；

(ID設(shè)加=log2(S"+2)”,數(shù)列｛氏｝的前"項(xiàng)和記為4，求4.

【題型4】分組求和之奇偶項(xiàng)

,口后粕為I,,準(zhǔn)甲,(a+l,n為奇數(shù)

1.已知數(shù)列｛即｝滿足。1=1,即+1='｛n…

It1n+2,YL為偶數(shù).

⑴記岳=。2"，寫出歷，b2,并求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛即｝的前20項(xiàng)和.

2.已知數(shù)列｛即｝滿足即>0,a^+1=anan+｝+2a^,且3田，。2+3,的成等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(an,rt為奇數(shù)

(2)bn=

若\logian,n為偶數(shù)求數(shù)列步力的前2H項(xiàng)和T2n.

3.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比9>1,滿足：53=13,6Z42=3d!6.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)5=[冊'”為奇數(shù)求數(shù)列｛6〃｝的前2〃項(xiàng)和S2”.

[b^+n,n為偶數(shù)

4.已知數(shù)列｛斯｝滿足。1+342+…+(2〃-1)a〃=n.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

],九/7奇教"

(2)已知Cn=，19aJ,求數(shù)列｛Cn｝的前20項(xiàng)和.

anan+2/n為偶數(shù)

5.已知｛斯｝為等差數(shù)列，仇=『n-6'n為奇數(shù),記出，7”為｛即｝，｛a｝的前〃項(xiàng)和，54=32,73=16.

(2an,n為偶數(shù)

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)?>5時，Tn>Sn.

【題型5】分組求和之并項(xiàng)法

111n

1.已知公差大于0的等差數(shù)列｛斯｝滿足——+——+…+------=-一~;（吒N*）.

Q2a32.71+4

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

n

(2)若bn=(-1)anan+\,求數(shù)列｛姐的前20項(xiàng)和S20.

2.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”，m=l,an>0,anan+i=4Sn-1.

(1)計(jì)算02的值，求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)既=(-1)"ar1a升1,求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和小

2

3.已知數(shù)列｛即｝滿足ai=l,an+i—2an-n+2n+2,?GN*.

(1)證明:數(shù)列｛斯-層+i｝為等比數(shù)列.

(2)設(shè)加=(-1)"a”,求數(shù)列｛篇｝的前2〃項(xiàng)和S2".

4.已知｛即｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，S,為｛、匹｝的前"項(xiàng)和，且M；,Sn,斯-2成等差數(shù)列.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)已知6n=(-l)an,求數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和Tn.

5.已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S”，S〃=其久.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)⑤=2斯+(-1)口碌求數(shù)列｛%｝的前月項(xiàng)和7”.

【題型6】逆序相加法求和

I.已知函數(shù)/(久)=稱/+稱口數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”點(diǎn)",Sn)(〃6N*)均在函數(shù)/(X)的圖象上，函

A.X

數(shù)9(久)=百后

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求g(x)+g(I-x)的值；

(3)令6n=g(建j)(〃€N*),求數(shù)列｛為｝的前2020項(xiàng)和？2020.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=1+/?—,設(shè)。1=1,冊=f(J)+f(：)+/(J)+…+/(噂)0CN*,n>2).

Xriititri

Cl)計(jì)算/(x)+fCl-x)的值.

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

3.設(shè)/(xi,w)，B(X2,y2)是函數(shù)f(x)=4+1。取占的圖象上的任意兩點(diǎn).M為的中點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)

4

(1)求/的縱坐標(biāo).

(2)設(shè)Sn=f(京)+/(磊)+???+〃得)，其中“CN*,求S小

4.設(shè)4(xi,刈)，B(雙，/)是函數(shù)/(x)=l+log2=的圖象上任意兩點(diǎn)，且。M=*(。4+。8),已知點(diǎn)M

_1

的橫坐標(biāo)為

(1)求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；

12九一1

(2)若Sn=f(―)+f(―)H---[f(---),幾EN*,且〃22,求S”；

nnn

5.已知函數(shù)/(x),對任意xER,都有/(x)4/(1-x)=2023.

(1)求尺)的值.

(2)數(shù)列｛即｝滿足：an=/(0)+/(i)+/(^)+-++/(I).求數(shù)列｛端?｝前〃項(xiàng)和

【題型7】含絕對值的數(shù)列求和

1.在公差為d的等差數(shù)列｛斯｝中，已知ai=10,且°1，2a2+2,5a3成等比數(shù)列.

(I)求d,a”；

(II)若d<0,求31T---卜|。"|.

2.記S”為等差數(shù)列｛?！ǎ那?項(xiàng)和，已知。2=11,S1O=4O.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛向|｝的前〃項(xiàng)和Tn.

3.已知數(shù)列｛即｝為等差數(shù)列，且。2+。8=0，10g206=L

(I)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S”；

(2)求數(shù)列｛|%｝的前n項(xiàng)和Tn.

4.&表示等差數(shù)列｛.“｝的前”項(xiàng)的和，且S4=S9，ai=-12

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)即及出；

(2)求和7a=㈤+|°2|+…+|即|

5.數(shù)列｛斯｝的前十項(xiàng)和為SI=33〃-〃2.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)問｛斯｝的前多少項(xiàng)和最大；

(3)設(shè)bn=\an\，求數(shù)列｛6〃｝的前n項(xiàng)和Sn'.

【題型8】放縮法

1.已知數(shù)列｛斯｝滿足：m=2,an+i=3an-2,nGN*.

(/)設(shè)仇=劭-1,求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)T”=log3ai+log3a2"l--Hlog3。"，(”CN*),求證：T7a

2.已知〃為數(shù)列｛%的前〃項(xiàng)積，且的=會出為數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和，滿足刀汁2ss.i=0(?eN*,心2).

(I)求證：數(shù)歹!J｛R｝是等差數(shù)列；

(2)求｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(3)求證：S：+Sg+…+S看<±-+.

3.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為3an=2Sn+2n(neN^.

(1)證明：數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為必；

111

(2)設(shè)方=log3(a什i+l),證明：-J+-J+-??+<1.

%。九

4.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”滿足2Sn=an+i—2計(jì)I+1,neN*,且m=l,設(shè)%=券+2,nGN*

(1)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

_1113

(2)證明：對一切正整數(shù)力有一+—+???+—〈;t.

。2%i2

b2

5.已知數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞增且的>2,前〃項(xiàng)和a滿足4s“=-1,數(shù)列初八滿足若i=以+2，且。1+。2=

bn

生，62+3=〃3.

(1)求數(shù)列｛加卜｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)若以二栽，求證：。1+。2+。3~^---l-Cn<正?

當(dāng)堂檢測

解答題(共12小題)

1.在數(shù)列｛斯｝中，ai—1,an+1—(1+—)—募-.

(1)設(shè)*號，求數(shù)列電｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列(即｝的前〃項(xiàng)和

2.已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)的=看且滿足%+i=冷p

3乙a九十J.

(1)求證：數(shù)歹式；—1｝為等比數(shù)列.

an

1111

(2)若一+—+—+…+—<100,求滿足條件的最大整數(shù)n.

。2。3%i

3.已知數(shù)列｛麗｝是公比為q的等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S”且滿足ai+a3=2q+l,S3=3a2+L

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

an+1-an,ri為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛a｝滿足仇=｛3an%屈耗，求數(shù)列｛a｝的前2〃項(xiàng)和4小

：4嗎-5an+「n為偶數(shù)

4.已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)的==且滿足％+1=曲，設(shè)“=；—1.

3a九十J“71

(1)求證：數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

1111

(2)若一+—+—+…+—>140,求滿足條件的最小正整數(shù)機(jī)

。2。3

5.已知數(shù)列｛劭｝￥兩足=1,a麓+1=3劭+1.

(I)證明｛斯+3是等比數(shù)列，并求｛即｝的通項(xiàng)公式；

r1113

(II)證明：—+—

。2。九2

6.已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,即+1=獎;1.

（1）證明：數(shù)歹火工？｝是等差數(shù)歹U;

1

（2）令b=--------，證明：療+療+…+為2<].

n臼敢…@九

112

7.已知｛劭｝是等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為&（幾EN*）,且一——=一,56=63.

。2。3

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對任意的吒N*,與是log2即和log2斯+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛（-1）〃與2｝的前方項(xiàng)和.

8.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足：43=7,45+47=26,｛斯｝的前〃項(xiàng)和為

（1）求斯及凡;

1

(2)令bn=（吒N*）,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

。九2一1

9.已知等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S"（"CN*）,-2*,S3，4s4成等差數(shù)列，且。2+203+。4=主

（I）求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）若幻=-（?+2）log2|an|,求數(shù)列｛e｝的前"項(xiàng)和

Dn

10.已知等差數(shù)列｛即｝前〃項(xiàng)和為&（?eN+）,數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，41=3,加=1,歷+S2=10,a-s2b2=(13.

（1）求數(shù)列｛斯｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

,n為奇數(shù)

（2）若％九，設(shè)數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和為〃，求為入

[2anbn,n為偶數(shù)

11.在數(shù)列｛斯｝中，=1,冊+1=41j（c〉o），且Ql，Q2，〃5成等比數(shù)列.

（1）證明數(shù)列｛^｝是等差數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

an

2

（2）設(shè)數(shù)列處,｝滿足6n=（4n+l）an0n+i，其前n項(xiàng)和為Sn,證明：Sn<n+1.

12.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為的，2Sn=（?+1）an+\（心2）.

（I）求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

（II）設(shè)加=（廝；1）2（土CN*）,數(shù)列出”｝的前“項(xiàng)和為7”，證明：Tn<^（?GN*）

課后作業(yè)

一.解答題(共28小題)

2

1.已知數(shù)列｛斯｝和｛%｝的前〃項(xiàng)和分別為％,Tn,且“1=1,即+i=—：Sn+l,bn=2logran+3.

33

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛4｝的通項(xiàng)公式;

1

(2)右5=斯+^~,設(shè)數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為扁,證明：Rn<3.

1n

2.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為&,且辭+2%一九二25九.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=3。n一1,若數(shù)列｛Cn｝滿足金=。叮1,，求證：C1+。2+…+%<!?

Sr〃n+14

3.記數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為且。1=1,an=Tn-\(〃22).

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)冽為整數(shù)，且對任意〃EN*,m>—+—+???+—,求冽的最小值.

4.已知數(shù)列｛斯｝("CN*)滿足與■+緩+…+?=n-2+另占.

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(II)若bn=a,,'cosrni,求數(shù)列｛加｝前2n項(xiàng)和Tin.

5.已知數(shù)列｛斯｝是公比大于1的等比數(shù)列，S”為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，2=7,且曲+3,3a2,。3+4成等差數(shù)列.數(shù)

列｛為｝的前〃項(xiàng)和為〃，V〃eN*滿足％4—%==,且61=1.

n+1n2

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛仇｝的通項(xiàng)公式；

(-r-V-——，n為奇數(shù)

⑵令％=｛%必九+2,求數(shù)列｛Cn｝的前2〃項(xiàng)和為。2〃.

電，n為偶數(shù)

6.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比9>0,且滿足。1+。2=643，。4=4的2,數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和S〃二攻歲工WGN*.

(I)求數(shù)列｛即｝和｛叢｝的通項(xiàng)公式;

C為奇數(shù),

(II)設(shè)Cn=［黑|s+2,求數(shù)列｛Cn｝的前2n項(xiàng)和T2n.

\anbn,n為偶數(shù)

1

7.已知數(shù)列｛斯｝滿足。i=0,且冊+i=(neN*).

乙一a九

(1)求證：數(shù)列｛Jy｝是等差數(shù)列；

(2)記6n=(—l)n+i(2—冊―冊+1),數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為G.

bn

8.數(shù)列｛斯｝滿足ai=3,an+\--2an,2=an+l.

(I)求證：｛6〃｝是等比數(shù)歹!］；

(II)若Cn=￡+1,｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為刀”求滿足T"<100的最大整數(shù)

2

9.已知數(shù)列｛劭｝滿足臼=了且2。及+1-劭+1劭=1,HGN.

(1)證明：數(shù)列｛3｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

j.一a九

(2)記…斯，w€N,Sn=+…+T&.證明：S.>4(可一九十］)?

10.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比大于1,42=6,"1+43=20.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)若方=即+-I-f，求｛4｝的前〃項(xiàng)和〃.

log3ahi10033M

11.已知S”為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若4Q2，2c13,〃4成等差數(shù)列，且S4=8〃2-2.

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

11

(2)若/=-西上外巖~赤，且數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為〃，證明：-<T<-.

nn

(an+2)(an+i+2)124

12.已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為和,5.Sn=2an-4.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛〃求｝的前n項(xiàng)和北.

13.已知等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前”項(xiàng)和為必，且3田，④，5a2成等差數(shù)列，&+5=503.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b"=a”?k)g3a〃+i,求數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和7小

14.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S”ai=V2,斯＞0,a?+i?CS?+i+Sn)=2.

(1)求出;

111

(2)求+S2+S3+…+

S1+S2s?i+s九+i

15.已知遞增等差數(shù)列｛斯｝滿足田+。5=10,Q2?Q4=21,數(shù)列｛加｝滿足210g2叢=即-1,?GN*.

(I)求｛仇｝的前〃項(xiàng)和

(II)若T〃=nbi+(72-1)歷+...+bn,求數(shù)列｛T〃｝的通項(xiàng)公式.

16.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為&,見=2,(〃-2)S〃+i+2斯+i=〃S〃，nEN*.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

1117

(2)求證:-7+-7+…+=V—

"明16

17.已知數(shù)列｛“〃｝的前77項(xiàng)和為a,ai=l,2nSn+\-2(n+1)Sn=n(n+1).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)即；

(2)設(shè)6“=篇令，求數(shù)列｛6“｝的前〃項(xiàng)和

丁乙.3九

18.在數(shù)列｛斯｝中，a\=(3〃+9),(n+1)~an+\—(M+2)%.

<1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛斯｝的前"項(xiàng)和為％,證明：&<*一竿茅.

19.設(shè)數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S”Sn=2an+2n-6(nEN^.

(1)求證數(shù)列｛斯-2｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式a?.

(2)若數(shù)歹的前加項(xiàng)和7機(jī)=照，求加的值，

20.設(shè)數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為且滿足3cin—2Sn=2(n€N*),｛仇｝是公差不為0的等差數(shù)列，bi=l,64是

歷與68的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

(2)對任意的正整數(shù)”，設(shè)％=”為瞥”求數(shù)列｛Cn｝的前2"項(xiàng)和

16n+2,n為奇數(shù)

21.已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為且-+2=25",?6N*,田=1,。2=0.

(1)證明：數(shù)列｛斯+1+即｝是等比數(shù)列；

11110

(2)證明：—+—+—<-T-

31^^2n3

22.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃i=■!，an=2----,wGN*.

Nan-l

(I)證明：數(shù)列｛占｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(II)若小=懸，記數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為G，求證：-<r?<i.

23.在等差數(shù)列｛即｝中，已知公差d=2,。2是與。4的等比中項(xiàng).

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)bn=。九(九+1)，記Tn=~bl+bz-63+64----H(-1)nbn，求Tn-

2

24.已知凡是數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，且&=2/1-1(/N*).

(1)求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

971+14

(2)若b?=-7—^7-——不，T"是｛bn｝的前〃項(xiàng)和，證明：T”<1.

(,an-i)ian+1-L)3

25.已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝,其前〃項(xiàng)和為S”3Sn=4a;l-l(ne/V*).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6n=3(廝弱(k+1)'求證：數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和

26.已知數(shù)列｛即｝滿足的=L-^―=1+2an.

an+l

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)C九=4幾2冊冊+1，求數(shù)列｛cn｝的前〃項(xiàng)和T篦.

27.設(shè)數(shù)列｛劭｝滿足。"=3劭_1+2(篦22),且ai=2,bn=log3(a〃+l).

(1)證明：數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)4=2宵，求數(shù)列｛On｝的前〃項(xiàng)和S”.

乙ra0n^n+l

1

28.在等比數(shù)列｛斯｝中，Q7=8〃4，且Q3-5,。4-12成等差數(shù)列.

(I)求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

11證明：數(shù)列｛瓦｝的前"項(xiàng)和V*

(II)若與=-7------1-------，

mog2(inQ九一1

數(shù)列求和

1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式:

公式一公式二：叫+^

2、等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式:

n%(q=1)

S"=<%(]——aq

n(qW1)

i—qi-q

3、常用幾個數(shù)列的求和公式:

=*=

1+2+3H-----\-n=—n(〃+1)。

左=12

?i

=>左2=12+22+32+..?+〃2=_〃(〃+1).(2〃+1)。

k=i°

?1

=l3+23+33+---+?3=[-?(n+1)]2o

k=\2

4、分組求和法:

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可以分為幾個等差、等比或

常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。

如果通項(xiàng)公式是幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后,

再將結(jié)果進(jìn)行相加。

5、裂項(xiàng)相消法求和:

如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和，這

是分解與組合思想在數(shù)列中的具體體現(xiàn)。

的表達(dá)式能夠拆成形如%=/(〃)-/(〃-左)的形式(左=1,2,???),從而在求和時可以進(jìn)行相

鄰項(xiàng)(或相隔幾項(xiàng))的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項(xiàng)，達(dá)到求和目的。其中通項(xiàng)公式為分式和根式的居多。

裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目

的的方法。常見的方法有：

(1)等差型裂項(xiàng)：

11_1

①%

n(72+1)nn+\

1I/1

②為---------二-(---------

n(〃+左)knn+k

4n2-1(2〃-l)?(2〃+l)22n-l2〃+l

1j_〃+2—〃_]_11

n(〃+l)?(〃+2)2n(〃+l)?(〃+2)2n(〃+l)(〃+l)?(〃+2)

]_1________￡(〃+l)-(〃-1)_11]

n(1—I)n(H-1)-(72+1)2n(〃-1)?(〃+1)2n(〃-1)n(〃+D

(2〃y(W-D+l11,11、

(2〃一l)?(2〃+l)(2〃-1)?(2〃+1)22/7-12/z+l

-------------------------------------------------------二-[----------------------------------------------------------------------------------------------1

n(〃+1)?(〃+2)?(〃+3)3n(〃+1)?(〃+2)(〃+1)?(〃+2)?(〃+3)

2/2+1_n2+2n+l-n2_11

〃2.(〃+1)2“2.(“+1)2匕2(〃+])2°

72+11+4〃+4-〃2_111

〃2.(〃+2)2—4722-(72+2)2-4V-(72+27°

4〃?+8〃4n2+87/+3-313(11

(2〃+1)(2〃+3)4*+8〃+322〃+12〃+3

(2)根式型裂項(xiàng):

1

①%=

②4-/--1=——(Jn+k-o

③a=~/----/?二一(J2〃+1—V2n—1)。

J2.—1+J2〃+12

\11n2-(n+l)2+(n+l)2+722-l+ln(〃+1)+1111

I_|--------p----------------I-----------------------------------------------------------------------------------------------------]_|_---------------------

〃2(1+1)2V?(//+1)2n(M+1)nn+\

(3)指數(shù)型裂項(xiàng):

2'_(2"+i-1)-(2"-1)_]_1

(2?-1).(2,,+1-1)-(2n-1)-(2"+1-1)-2"-1-2,!+1-1

a"1(a""—1)—1/11、

-----------------；-------------X------------------：------=------X(-------------------)o

(。"―l),(a"+—1)a—1(。"―l),(a"+—1)a—1a"—1an+—1

77+1+1_111111]

”(“+1)2~2"nn(〃+l)-一(?+l)-2n+1-n-2n-l~(?+l)-2n

(4〃—1)3,TI9〃(〃+2)19I1a1(3e3"工

n(〃+2)2n(〃+2)2(〃+2)n2n+2n

(4)對數(shù)型裂項(xiàng)：

6、錯位相減法求和:

通項(xiàng)公式特點(diǎn)：%=等差X等比，比如其中〃代表一個等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(關(guān)于〃的一次

函數(shù))，2"代表一個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(關(guān)于〃的指數(shù)型函數(shù))，那么便可以使用錯位相減法。

這種方法主要用于求｛a“?〃｝的前〃項(xiàng)和，其中｛%｝，｛4｝分別是等差數(shù)列和公比不為1的等比數(shù)歹U，

a

那么Sn=她+a2b2+?-?+anbn與qSn=a也++…+?bn+l兩式錯位想減就可以求出。

7、倒序相加法：

這是推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時所用方法，就是將一個數(shù)列倒過來排序，再把它與原數(shù)列相加，就可

以得到〃個q+4。如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列

的前項(xiàng)和即可用