人教版七年級上冊數(shù)學06 整式的加減復習-規(guī)律探究（解析版）

專題06整式的加減專題復習一一規(guī)律探究（解析版）

第一部分德西荊析+針對訓綜

類型一數(shù)式規(guī)律

典例1（2021秋?南崗區(qū)校級期中）有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列而成：-1,3,-9,27,-

81,243,…，其中某三個相鄰數(shù)的和是1701,則這三個數(shù)中最小的數(shù)

是.

思路引領(lǐng)：設(shè)三個數(shù)中最前面的數(shù)為x,則另外兩個數(shù)分別為-3x,9x,根據(jù)三個數(shù)之和

為1701,即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入-3尤和9x

中，取其中最小值即可得出結(jié)論.

解：設(shè)三個數(shù)中最前面的數(shù)為x,則另外兩個數(shù)分別為-3x,9x,

依題意，得：x-3X+9JC=1701,

解得：x=243,

-3x=-729,9x=2l87.

；-729<243<2187,

故答案為：-729.

總結(jié)升華：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準等量關(guān)系，

正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

典例2（2022秋?漣水縣校級月考）觀察下面三行數(shù)，并按規(guī)律填空：

①-2,4,-8,16,-32,64,,…；

②0,6,-6,18,-30,66,,…；

③-3,3,-9,15,-33,63,,….

（1）按第①行數(shù)的規(guī)律，分別寫出第7和第8個數(shù)：

（2）請你分別寫出第②③行的第7個數(shù)；

（3）取每行數(shù)的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)都是前一個數(shù)乘2的到得，再利用第奇數(shù)個系數(shù)為負數(shù)即

可得出答案；

（2）根據(jù)3行數(shù)據(jù)關(guān)系分別分析得出即可；

（3）根據(jù)（2）得出的規(guī)律分別求出每行第9個數(shù)，再把它們相加即可.

解：⑴V@-2,4,-8,16,-32,64,

.,?第7個數(shù)是-128,第八個數(shù)是256：

（2）第②行數(shù)是第①行數(shù)加上2,第③行數(shù)正好比第①行數(shù)少1得到的，即第二行的第

7個數(shù)是-128+2=-126,第三行的第7個數(shù)是-128-1=-129；

（3）根據(jù)以上所求得出：第一行第9個數(shù)為-512,第二行第9個數(shù)為-512+2=-510,

第三行第9個數(shù)為-512-1=-513,

則這三個數(shù)的和是：-512-510-513=-1535.

總結(jié)升華：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出得數(shù)字第②行數(shù)是第①行

數(shù)加上2,第③行數(shù)正好比第①行數(shù)少1得到的是解題關(guān)鍵.

針對訓練1

1.（2021?武漢）按照一定規(guī)律排列的〃個數(shù)：-2、4、-8、16、-32、64>若最后三

個數(shù)的和為768,則"為（）

A.9B.10C.11D.12

思路引領(lǐng)：觀察得出第附個數(shù)為（-2）”,根據(jù)最后三個數(shù)的和為768,列出方程，求解

即可.

解：由題意，得第〃個數(shù)為（-2）”,

那么（-2）“-2+（-2）?->+（-2）"=768,

當〃為偶數(shù)：整理得出：3X2"-2=768,解得：?=10；

當〃為奇數(shù)：整理得出：-3X2"-2=768,則求不出整數(shù).

故選：B.

總結(jié)升華：此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律，得出第〃個數(shù)為（-

2）”是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?新洲區(qū)期中）有一串數(shù)：-2018,-2014,-2010,-2006,-2002…按一定

的規(guī)律排列，那么這串數(shù)中前個數(shù)的和最小.

思路引領(lǐng)：根據(jù)題目中數(shù)據(jù)的特點，可以寫出第八個數(shù)，然后令第〃個數(shù)等于0,即可

得到相應(yīng)的〃的值，從而可以解答本題.

解：?.?有一串數(shù)：-2018,-2014,-2010,-2006,-2002-

這串數(shù)的第n個數(shù)為-2018+4（n-1）=4/7-2022,

當4”-2022=0時，

解得，”=505…2,

...那么這串數(shù)中前505個數(shù)的和最小，

故答案為：505.

總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，

求出第多少個數(shù)的值為0.

類型二數(shù)陣、數(shù)表規(guī)律

典例3（2020秋?江漢區(qū)月考）將全體正偶數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上規(guī)律排列，第

25行第20個數(shù)是

2

46

81012

14161820

2224262830

思路引領(lǐng)：觀察數(shù)字的變化，第〃行有〃個偶數(shù)，求出第〃行的第一個數(shù)，結(jié)論可得.

解：觀察數(shù)字的變化可知：第〃行有〃個偶數(shù).

;第1行的第一個數(shù)是：2=lX0+2；

第2行第一個數(shù)是：4=2Xl+2；

第3行第一個數(shù)是：8=3X2+2；

第4行第一個數(shù)是：14=4X3+2；

...第〃行第一個數(shù)是：n(n-I)+2.

.?.第25行第一個數(shù)是:25X24+2=602.

:.第25行第20個數(shù)是:602+2X19=640.

故答案為：640.

總結(jié)升華：本題主要考查了數(shù)字的變化的規(guī)律，有理數(shù)的混合運算.準確找出數(shù)字的變

化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

典例4(2019秋?江漢區(qū)期中)有這樣一對數(shù)，如下表，第"+3個數(shù)比第〃個數(shù)大2(其中

〃是正整數(shù))

第1個第2個第3個第4個第5個

b

(1)第5個數(shù)表示為—；第7個數(shù)表示為—；

(2)若第10個數(shù)是5,第11個數(shù)是8,第12個數(shù)為9,貝Ua=,b=___,c=

(3)第2019個數(shù)可表示為.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)第〃+3個數(shù)比第〃個數(shù)大2,即可求解；

(2)根據(jù)第〃+3個數(shù)比第"個數(shù)大2,分別求出第10、11、12個數(shù)即可求出結(jié)果;

(3)根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律，

解：(1),?第〃+3個數(shù)比第〃個數(shù)大2,

...第5個數(shù)比第2個數(shù)大2,.?.第5個數(shù)為6+2.

?.?第4個數(shù)比第1個數(shù)大2,.?.第4個數(shù)為a+2,

.?.第7個數(shù)比第4個數(shù)大2,.?.第7個數(shù)為a+4.

故答案為/，+2、a+4.

(2)，.,第10個數(shù)為a+6,

第11個數(shù)為b+6,

第12個數(shù)為c+6,

<7+6=5>/>+6=8,c+6=9

解得。=-1，b—2,c—3.

故答案為-1、2、3.

(3)第一組數(shù)是八b、c

第二組數(shù)是。+2、6+2、c+2

第三組數(shù)是〃+4、8+4、c+4

第四組數(shù)是。+6、b+6、c+6

第〃組數(shù)的第三個數(shù)是c+(2〃-2)

20194-3=673,

第2019個數(shù)是第673組的第三個數(shù)，

.?.第673組的第三個數(shù)是C+2X673-2=c+1344.

故答案為c+1344.

總結(jié)升華：本題考查了數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是尋找數(shù)字的變化規(guī)律.

針對訓練2

1.(2021秋?播州區(qū)期中)如表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第三行

起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.表中兩平行線

之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,…，我們把第一個數(shù)記為ai,第二個數(shù)記為“2,第

三個數(shù)記為43,…，第”個數(shù)記為〃"，則46=><22020=

從而可以數(shù)字的變化特點，然后即可

得到46和02020的值.

解：由題意可得，

42=1+2=3,

43=1+2+3=6,

“4=1+2+3+4=10,

。5=1+2+3+4+5=15,

?\如=1+2+3+…+〃=M竽2

當〃=6時，。6=零=21,

當“=2020時，02020=202°22°21=2041210,

故答案為：21,2041210.

總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，

求出所求項的值.

2.（2018秋?江夏區(qū)期中）已知一列數(shù)：1、-2、3、-4、5、-6、……，將這列數(shù)排成下

列形式：

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個數(shù)是（）

A.-46B.-36C.37D.45

思路引領(lǐng)：觀察排列規(guī)律得到第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，第3行有1個數(shù)，…，

第9行有9個數(shù)，則可計算出前9行的數(shù)的個數(shù)45,而數(shù)字的序號為偶數(shù)時，數(shù)字為負

數(shù)，于是可判斷第10行數(shù)的第1個數(shù)為-46.

故選A.

解：第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，第3行有1個數(shù)，…，第9行有9個數(shù)，

所以前9行的數(shù)的個數(shù)為1+2+3+…+9=45,

而數(shù)字的序號為奇數(shù)時，數(shù)字為正數(shù)，數(shù)字的序號為偶數(shù)時，數(shù)字為負數(shù)，

所以第10行數(shù)的第1個數(shù)為-46.

故選：A.

總結(jié)升華：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認真觀察、仔細思考，利用數(shù)字與序號

數(shù)的關(guān)系解決這類問題.

3.（2017秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個小格子中都填

入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等.

(1)可求得x=,第2017個格子中的數(shù)為一.

(2)判斷：前機個格子中所填整數(shù)之和是否可能為2018?若能，求出〃?的值，若不能，

請說明理由.

(3)若取前3格子中的任意兩個數(shù)記作人b,且那么所有的|a-臼的和可以通過

計算19-*|+|9-☆1+1★-得到，其結(jié)果為—；若。、〃為前19格子中的任意兩個

數(shù)記作a、b,且則所有的|a-臼的和為.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)三個相鄰格子的整數(shù)的和相等列式求出x的值，再根據(jù)第9個數(shù)是2

可得☆=2,然后找出格子中的數(shù)每3個為一個循環(huán)組依次循環(huán)，在用2014除以3,根據(jù)

余數(shù)的情況確定與第幾個數(shù)相同即可得解；

(2)可先計算出這三個數(shù)的和，再照規(guī)律計算.

(3)由于是三個數(shù)重復出現(xiàn)，因此可用前三個數(shù)的重復多次計算出結(jié)果.

解：(1)???任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，

9+^+☆=★+☆+%?

解得：x=9,

★+☆+%=☆+%-6,

/.★=-6,

所以，數(shù)據(jù)從左到右依次為9、-6、☆、9、-6、☆、…，

第9個數(shù)與第三個數(shù)相同，即☆=2,

所以，每3個數(shù)“9、-6、2”為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

V20174-3=672—l,

.?.第2017個格子中的整數(shù)與第1個格子中的數(shù)相同，為9.

故答案為：9,9；

(2)9-6+2=5,2018=2015+3=2015+9-6,2015+5=403,403X3=1209,

所以是第1209+1+1=1211個數(shù)，即m=12U,

故前1211個數(shù)的和為2018；

(3)取前3格子中的任意兩個數(shù)，記作a、b,且aNb,

二所有的|a-目的和為:|9-(-6)|+|9-2|+|-6-2|=30.

?.?由于是三個數(shù)重復出現(xiàn)，那么前19個格子中，這三個數(shù)，

9出現(xiàn)了7次，-6和2各出現(xiàn)了6次.

...代入式子可得：

19-(-6)1X7X6+19-2|X7X6+|2-(-6)|X6X6=1212.

故答案為:30,1212.

總結(jié)升華：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是找出數(shù)字間的關(guān)系，得出規(guī)律.

類型三圖形的增長規(guī)律

典例4(2021?漢川市模擬)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10、…，這樣的數(shù)稱

為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、…，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，

任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.則第10個圖形

中右下方的‘'三角形數(shù)”中的所有點數(shù)是—.

4=1+39=3+616=6+10

圖1圖2圖3

思路引領(lǐng)：觀察圖象中點的個數(shù)的規(guī)律有第一個圖形是4=1+3,第二個圖形是9=3+6,

第三個圖形是16=6+10,…則按照此規(guī)律得到第10個圖形的規(guī)律即可.

解：?.,第1個圖形是4=1+(1+2),

第2個圖形是9=(1+2)+(1+2+3),

第3個圖形是16=(1+2+3)+(1+2+3+4),

.?.第10個圖形是“2=([+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)=

55+66.

故答案為：66.

總結(jié)升華：此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或

按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況.

典例5(2020秋?江夏區(qū)期中)按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案

中黑色小正方形地磚的數(shù)量是()

思路引領(lǐng)：觀察圖形可知，黑色與白色的地磚的個數(shù)的和是連續(xù)奇數(shù)的平方，而黑色地

磚比白色地磚多1個，求出第〃個圖案中的黑色與白色地磚的和，然后求出黑色地磚的

塊數(shù)，再把"=14代入進行計算即可.

解：第1個圖案只有(2X1-1)2=i=1塊黑色地磚，

第2個圖案有黑色與白色地磚共（2X2-1）2=32=9,其中黑色的有&（9+1）=5塊，

第3個圖案有黑色與白色地磚共（2X3-1）2=52=25,其中黑色的有-（25+1）=13塊，

2

第〃個圖案有黑色與白色地磚共（2〃-I）2,其中黑色的有j（2n-1）2+1],

1r1

當〃=14時，黑色地破的塊數(shù)有鼻X]（2X14-1）2+1]=|X730=365.

故選：C.

總結(jié)升華：本題考查圖形的變化規(guī)律，觀察圖形找出黑色與白色地磚的總塊數(shù)與圖案序

號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

針對訓練3

1.（2021秋?中山市期中）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依

照此規(guī)律，第10個圖形共有個O.

o

o

Oo

OO。OO

。%OOoooooooo

第

第

個o

第4個

思路引領(lǐng)：觀察圖形的變化先得前幾個圖形中圓圈的個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個圖形

共有（3〃+1）個O,進而可得結(jié)果.

解：觀察圖形的變化可知：

第1個圖形共有IX3+1=4個O；

第2個圖形共有2X3+1=7個O；

第3個圖形共有3X3+1=10個。：

所以第〃個圖形共有（3〃+1）個。；

所以第10個圖形共有10X3+1=31個O；

故答案為：31.

總結(jié)升華：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找

規(guī)律.

2.（2018秋?矯口區(qū)期中）對于大于或等于2的整數(shù)的平方進行如下“分裂”，如下分別將

2\32、42分裂成從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，依此規(guī)律，則20182的分裂數(shù)中最大的奇數(shù)

是

\

-一

-

一/

、

思路引領(lǐng)：由題意可知：每個數(shù)中所分解的最大的奇數(shù)是前邊底數(shù)的2倍減去1.由此

得出答案即可.

解：自然數(shù)“2的分裂數(shù)中最大的奇數(shù)是2"-1.

20182分裂的數(shù)中最大的奇數(shù)是2X2018-1=4035,

故答案為：4035.

總結(jié)升華：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，注意根據(jù)具體的數(shù)值進行分析分解的最大的奇數(shù)

和底數(shù)的規(guī)律，從而推廣到一般.

3.（2022?仙居縣校級開學）如圖，都是由棱長為1的正方體疊成的立體圖形，例如第（1）

個圖形由1個正方體疊成，第（2）個圖形由4個正方體疊成，第（3）個圖形由10個正

方體疊成，依次規(guī)律，第（10）個圖形由（）個正方體疊成.

回擊而

（1）（2）（3）

A.120B.165

思路引領(lǐng)：根據(jù)圖形的變換規(guī)律，可知第n個圖形中的正方體的個數(shù)為1+3+6+…+

嗎曲，據(jù)此可得第（6）個圖形中正方體的個數(shù).

解：由圖可得：

第（1）個圖形中正方體的個數(shù)為1；

第（2）個圖形中正方體的個數(shù)為4=1+3；

第（3）個圖形中正方體的個數(shù)為10=1+3+6：

第（4）個圖形中正方體的個數(shù)為20=1+3+6+10；

故第n個圖形中的正方體的個數(shù)為1+3+6+…+鳴曲，

.?.第10個圖形中正方體的個數(shù)為1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220.

故選：C.

總結(jié)升華：本題主要考查了圖形變化類問題，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)圖形得到變換規(guī)

律.解題時注意：第〃個圖形中的正方體的個數(shù)為1+3+6+…+吟

類型四乘方規(guī)律

典例6（2022?內(nèi)蒙古）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…，

根據(jù)其中的規(guī)律可得7°+7〃72+…+72°22的結(jié)果的個位數(shù)字是（）

A.0B.1C.7D.8

思路引領(lǐng)：由已知可得7"的尾數(shù)1,7,9,3循環(huán)，則70+7〔+…+72°22的結(jié)果的個位數(shù)

字與70+7172的個位數(shù)字相同，即可求解.

解：,.,7°=1,7'=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…

.?.7"的尾數(shù)1,7,9,3循環(huán)，

.,.7°+7'+72+73的個位數(shù)字是0,

V2023^-4=505-3,

.,.70+7'+-+72022的結(jié)果的個位數(shù)字與70+7'+72的個位數(shù)字相同，

.,.7°+7|+-+72022的結(jié)果的個位數(shù)字是7,

故選：C.

總結(jié)升華：本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

典例7（2022秋?東港區(qū)校級月考）求1+2+2?+23+.......+22007的值，可令5=1+2+22+23+........

+22007,則2s=2+22+23+24+......+22008,Hilt25-5=22<X）9-1,即5=22°"-1,仿照以

32023_I

上推理，計算出1+3+32+33+……+32°22值為-------.

—2-

思路引領(lǐng)：令S=1+3+32+3?+.......+32022,則35=3+32+33+........+32023,作差求出$即可.

解：令5=1+3+32+3?+........+32022,

貝3S=3+32+33+........+3”）23,

/.35-S=32023-1,

o2023_1

則S=~2~,

O20231

即1+3+32+33+……+32。22=

32023T

故答案為：一I—.

2

總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的求和方法，靈活應(yīng)用此方法求和

是解題的關(guān)鍵.

針對訓練4

1.（2021秋?羅湖區(qū)期中）觀察等式：2+2?=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=-2；........,

1000

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2501,2502,2503,……，2999,2.若25°°=",用含〃

的式子表示這組數(shù)之和是（）

A.2a2-2"B.2a'0-2a5-2C.2a2-aD.2a20-a

思路引領(lǐng)：把所求的數(shù)列的各數(shù)提取25°°,可得：2500X(2+22+23+-+2499+2500),利用

所給的等式的規(guī)律求解即可.

解：:2+22=23-2；2+22+23=24-2：2+22+23+24=25-2；…，

.,.2+22+23+—+2Z,=2,,+1-2,

A2501+2502+2503+...+2999+21000

=2500X(2+22+23+—+2499+2500)

=2500x(2500+1-2)

=2500X(2X2500-2),

'：25OO=a,

原式=a(2a-2)

—2a2-2a.

故選：A.

總結(jié)升華：本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是

由所給的等式總結(jié)出規(guī)律.

2.(2019秋?汾陽市期末)任意大于1的正整數(shù)m的三次基均可“分裂”成m個連續(xù)奇數(shù)

的和,如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此規(guī)律，若加分裂后,其中

有一個奇數(shù)是203,則，*的值是()

A.13B.14C.15D.16

思路引領(lǐng)：觀察可知，分裂成的奇數(shù)的個數(shù)與底數(shù)相同，然后求出到小的所有奇數(shù)的個

數(shù)的表達式，再求出奇數(shù)203的是從3開始的第101個數(shù)，然后確定出101所在的范圍

即可得解.

解：???底數(shù)是2的分裂成2個奇數(shù)，底數(shù)為3的分裂成3個奇數(shù)，底數(shù)為4的分裂成4

個奇數(shù)，

I7分裂成機個奇數(shù)，

所以，到小的奇數(shù)的個數(shù)為：2+3+4+…+5=6+2尸1),

V2n+1=203,n=IOI,

，奇數(shù)203是從3開始的第101個奇數(shù)，

..(13+2)(13-1)(14+2)(14-1),

?—7V*,—IU4,

22

.?.第101個奇數(shù)是底數(shù)為14的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個，

即，”=14.

故選：B.

總結(jié)升華：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出分裂的奇數(shù)的個數(shù)與底數(shù)相同是解題

的關(guān)鍵，還要熟練掌握求和公式.

3.在求兩位數(shù)的平方時，可以用“列豎式”的方法進行速算，求解過程如圖所示:

則第4個方框中x+y的值是（）

A.11B.12C.13D.14

思路引領(lǐng)：找出求解過程圖中的規(guī)律，利用此規(guī)律求得〃?，小x,y的值，將相應(yīng)字母的

值代入即可得出結(jié)論.

解：求解過程圖中的表格中的規(guī)律為：

第一行前兩個格為十位數(shù)字的平方，后兩個格為個位數(shù)字的平方，平方后不是兩位數(shù)，

十位數(shù)字用0代替，

第二行從第二個格開始表示的是兩位數(shù)中個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積的2倍，

第三行為從右開始將一二行數(shù)字相加的和，足10進I,

：62=36,

??3?幾=6,

76X7X2=84,

...x=8,y=4,

.\x+y=12.

故選：B.

總結(jié)升華：本題主要考查了有理數(shù)的乘方，求代數(shù)式的值，找出求解過程圖中的規(guī)律是

解題的關(guān)鍵.

類型五幻方規(guī)律

典例8（2021秋?江陰市期中）小學時候大家喜歡玩的幻方游戲，老師稍加創(chuàng)新改成了“幻

圓”游戲，現(xiàn)在將-1、2、-3、4、-5,6、-7、8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎

以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，老師已經(jīng)幫助同學們完成了部分填空，則圖中

a+b的值為（)

C.-1或-4D.1或-1

思路引領(lǐng)：由于八個數(shù)的和是4,所以需滿足兩個圈的和是2,橫、豎的和也是2.列等

式可得結(jié)論.

解：設(shè)小圈上的數(shù)為c,大圈上的數(shù)為"，

-1+2-3+47+6-7+8=4,

???橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，

兩個圈的和是2,橫、豎的和也是2,

則-7+6+%+8=2,得b=-5,

6+4+b+c—2,得c=-3,

a+c+4+d=2,a+d=1.

當a=-1時，d=2,則a+b--1-5--6,

當“=2時，d=-1,則a+b=2-5=-3,

故選：A.

總結(jié)升華：本題考查了有理數(shù)的加法.解決本題的關(guān)鍵是知道橫豎兩個圈的和都是2.

典例9（2020?冷水江市一模）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1?9

這九個數(shù)字填入3X3的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等.如圖

的幻方中，m=.

思路引領(lǐng)：根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等”解答即可.

解：1+2+3+…+9=45,

根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對角線上的

三個數(shù)之和都等于15,

第一列第三個數(shù)為：15-2-5=8,

第三列第二個數(shù)為：15-3-5=7,第三個數(shù)為：15-2-7=6,如圖所示：

.,.m—15-8-6=1.故答案為:1.

總結(jié)升華：本題考查數(shù)的特點和有理數(shù)的加法，抓住每行、每列、每條對角線上的三個

數(shù)之和相等，數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

針對訓練5

1.(2021秋?南安市期中)現(xiàn)有七個數(shù)-I,-2,-2,-4,-4,-8,-8將它們填入圖

1(3個圓兩兩相交分成7個部分)中，使得每個圓內(nèi)部的4個數(shù)之積相等，設(shè)這個積為

m,如圖2給出了一種填法，此時機=64,在所有的填法中，一的最大值為256.

思路引領(lǐng)：觀察圖象，可得這7個數(shù)，有的被乘了1次，2次，3次.要使得每個圓內(nèi)部

的4個數(shù)之積相等且最大所以-8,-8必須放在被乘兩次的位置.與-8,-8同圓的只

能為-I,-4,其中-4放在中心位置，可得用=256

解：觀察圖象，可得這7個數(shù)，有的被乘了1次，2次，3次.要使得每個圓內(nèi)部的4個

數(shù)之積相等艮最大所以-8,-8必須放在被乘兩次的位置.與-8,-8同圓的只能為-

1,-4,其中-4放在中心位置，如圖

圖1

：.m=(-8)X(-8)X(-1)X(-4)=256

總結(jié)升華：本題考查有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是找到兩個(-8)的位置.

2.將9個數(shù)填入幻方的九個方格中，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個

數(shù)的和相等，如表一：按此規(guī)律將滿足條件的另外6個數(shù)填入表二，則表二中這9個數(shù)

的和為—（用含。的整式表示）.

表一

思路引領(lǐng)：根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等作出圖形，根

據(jù)題意列出關(guān)于。與x的方程，可得x=a+2,進一步求出這9個數(shù)的和即可.

解：如圖所示：

4+x+a-1+。+3=。-3+a+l+a+3,

解得x=a-5>

a+3+x+a+3—2a+6+a~5=3。+1,

3（3a+l）=9a+3.

故答案為：9“+3.

總結(jié)升華：此題考查了列代數(shù)式，整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

類型六其他規(guī)律

典例10（2019秋?武昌區(qū)校級期中）某初中七（5）班學生軍訓排列成7X7=49人的方陣,

做了一個游戲，起初全體學生站立，教官每次任意點4個不同學號的學生，被點到的學

生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學生都正確完成指令，同一名學生可以多次被點，則

15次點名后蹲下的學生人數(shù)可能是（）

A.3B.27

C.49D.以上都不可能

思路引領(lǐng)：假設(shè)站立記為“+1”，則蹲下為“-1”.原來49個“+1”,乘積為“+1”，每

次改變其中的4個數(shù)，即每次運算乘以4個1”，即乘以了“+1”，乘積為“+1”，即

可得出結(jié)論.

解：假設(shè)站立記為“+1",則蹲下為“-1”.

原來49個“+1”,乘積為“+1”,每次改變其中的4個數(shù),

即每次運算乘以4個“-1”,即乘以了“+1”，

15次點名后，乘積仍然是“+1”，

所以，最后出現(xiàn)“-1”的個數(shù)為偶數(shù)，

即蹲下的學生人數(shù)為偶數(shù)，

選項A,B,C都不符合題意，

故選：D.

總結(jié)升華：此題主要考查了奇數(shù)與偶數(shù)，有理數(shù)乘法中積的符號的判斷，解決本題的關(guān)

鍵是利用有理數(shù)的乘法進行解決.

針對訓練6

1.（2019秋?研口區(qū)期中）把幾個不同的數(shù)用大括號括起來，相鄰兩個數(shù)之間用逗號隔開，

如：｛1,2｝；｛1,4,7｝；…我們稱之為集合，其中的每一個數(shù)稱為該集合的元素.規(guī)定：

當整數(shù)x是集合的一個元素時，100-x也必是這個集合的元素，這樣的集合又稱為黃金

集合，例如｛7,101｝就是一個黃金集合.若一個黃金集合所有元素之和為整數(shù)，小且

1180<^<1260,則該黃金集的元素的個數(shù)是（）

A.23B.24C.24或25D.26

思路引領(lǐng)：由黃金集合的定義，可知一個整數(shù)是無，則必有另一個整數(shù)是100-x,則這

兩個整數(shù)的和為x+100-x=100,只需判斷1180<〃?V1260內(nèi)100的個數(shù)即可求解.

解：在黃金集合中一個整數(shù)是x,則必有另一個整數(shù)是100-x,

.??兩個整數(shù)的和為x+100-x=100,

由題意可知，U80<m<1260時，

100X12=1200,100X13=1300,

...這個黃金集合的個數(shù)是24或25個；

故選：C.

總結(jié)升華：本題考查有理數(shù)，新定義；理解題意，通過兩個對應(yīng)元素和的特點，結(jié)合m

的取值范圍，進而確定元素個數(shù)是解題關(guān)鍵.

第二部分專題理優(yōu)訓練

11123111

1.觀察下面一列數(shù)：1,一，2,1,3,4,一，1,2,5,一，…（已寫出了

23432526

第1至第16個數(shù)）.

（1）第7,第8,第9,第10個數(shù)的積是—,前16個數(shù)的積是—；

（2）按此規(guī)律，第30個數(shù)是一；

（3）在上面這列數(shù)中，從左起第巾個數(shù)記為F（加），當尸（〃?）=薪時，求加的值.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)規(guī)律直接寫出數(shù)計算即可；

(2)根據(jù)題意將數(shù)字從左邊開始分別以1個數(shù)，2個數(shù)，3個數(shù)，…，為一組，每組數(shù)

據(jù)的積為1,且分子遞增1,分母遞減1,然后根據(jù)規(guī)律得出第30個數(shù)即可；

(3)根據(jù)F(%)=募判斷出F(俄)是第幾組第幾個數(shù)即可得出m的值.

123

解：(1)根據(jù)題意知，第7,第8,第9,第10個數(shù)的積是-x-x-x4=l,前16個數(shù)

432

一口1112312411

的積是IX(-x2)X(-x1x3)X(-x-x-x4)X(-x-xlxx5)X^=,

2343254526Z6

1

故答案為：1,二；

(2)由(1)知，將數(shù)字從左邊開始分別以1個數(shù)，2個數(shù)，3個數(shù)，…，為一組，每組

數(shù)據(jù)的積為1,且分子遞增1,分母遞減1,

V1+2+3+4+5+6+7=28,

.?.第30個數(shù)在第8組的第2個數(shù)，即3=4

8-17

故答案為：意

9

(3)'：F(w)=2020+9=2029,

：.F(m)是第2028組笫9個數(shù)，前面有2027組數(shù)，

1+2027

(1+2+3+4+--+2027)+9=X2027+9=2055387.

總結(jié)升華：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化分組分析規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.(2021秋?丹江口市期中)觀察一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7,將這列數(shù)排

成下列形式：

(1)在表中，第12行第6個數(shù)是；

(2)在表中，“2021”是其中的第行，第個數(shù)；

(3)將表中第，行的最后一個數(shù)記為3，如第1行的最后一個數(shù)記為m,即m=l,第2

行的最后一個數(shù)記為。2,即42=3,如此下去，。3=-6,“4=-10,…，第”行的最后

一個數(shù)記為an,則用含〃的式子表示|即|為；

1111111111

(4)在(3)的條件下，計算一+—————+—+—————+—+----

。10

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

思路引領(lǐng)：(1)先求出前11行一共有66,即可求解;

(2)求出前〃行共有個數(shù)，再求前63行共有2016個數(shù)，即可求2021的位置;

(3)由題意可得，1+2+3+......+〃="(羅,即可求解；

(4)原式=2(1一*+±4+寺-*+....+寺一卷+余一春)，再運算即可.

解：(1)由題可知，第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，…，第〃行〃個數(shù)，

.?.前11行一共有1+2+3+…+11=66,

.?.第12行第一個數(shù)是67,

.?.第12行第6個數(shù)是-72,

故答案為：-72；

(2)由題意可得，前〃行共有空羅個數(shù),

...當〃=63時，前63行共有2016個數(shù)，

?*.2021時第64行的第5個數(shù),

故答案為：64,5；

(3)由題意可得，1+2+3+......+〃=嗎曲，

...聞=或抖

n(n+l)

故答案為：-；

1111111111

(4)—十—————+—+----—+—+——

02a3a6a7a8a9a10

111111

=T+3+6+W+……+45+55

11111

=2^1x2+2x3+3x4+....+9x10+10x11)

11111111

2++++

=---一------

223349

1010

=2(1-備)

20

=IT

總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意探索數(shù)字的排列規(guī)律是解的關(guān)鍵.

3.(2022?東莞市校級一模)找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2022個圖形中黑色正方形的數(shù)

量是3033.

■o■□口■□■□o

■■■■■■■■■■■■■■■

(1)(2)(3)(4)(5)

思路引領(lǐng)：仔細觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案.

解：???當〃為偶數(shù)時第"個圖形中黑色正方形的數(shù)量為個；當〃為奇數(shù)時第〃個

圖形中黑色正方形的數(shù)量為（，7+1）個，

...當“=2022時，黑色正方形的個數(shù)為2022+1011=3033個.

故答案為：3033.

總結(jié)升華：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細的觀察圖形并正確的找到

規(guī)律.

4.（2020秋?西城區(qū)校級期中）古希臘畢達格拉斯學派的數(shù)學家常用小石子在沙灘上擺成各

種形狀來研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10,….由于這些數(shù)

能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16,…，這樣的

數(shù)為正方形數(shù).

（1）請你寫出一個既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的自然數(shù).

（2）類似地，我們將火邊形數(shù)中第〃個數(shù)記為N（〃，k）&23）.以下列出了部分左邊

形數(shù)中第〃個數(shù)的表達式：

三角形數(shù)：N（〃，3）=^n2+

正方形數(shù)：N（小4）=”2

五邊形數(shù)：N（〃，5）一］

六邊形數(shù)：N（〃，6）=2n2-n

根據(jù)以上信息，得出N（小k）=.（用含有〃和人的代數(shù)式表示）

13610

圖1

14916

圖2

思路引領(lǐng)：（1）由題意得第8個圖的三角形數(shù)是36,所以既是三角形數(shù)又是正方形數(shù),

且大于1的最小正整數(shù)為36；

（2）由已知等式進行變形進而可推出結(jié)果.

1

解：（1）由題意第8個圖的三角形數(shù)為&X8（8+1）=36,

.?.既是三角形數(shù)乂是正方形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)為36,

故答案為36.

2

(2):N(n,3)==(3-2)n+(4-3)n)

N(〃,4)2n^0xn=(4-2)^4-(4-4)n)

N"5)=/一如生笑吐包，

2

NCn,6)=2?-n==(6-2)n^(4-6)n(

由此推斷出N(",k)=?二2H：(4/里(%>3).

」"?田(fc-2)n2+(4-/c)n

故答案為f：-——1——723)