概率第7章課件

第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望重點(diǎn)理解數(shù)學(xué)期望的概念，掌握它的性質(zhì)與計(jì)算了解二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望這個(gè)名詞由賭博而來。甲乙兩人賭技相同，各出賭金100元，約定先勝三局者為勝，取得全部200元?，F(xiàn)在甲勝2局乙勝1局的情況下中止，問賭本該如何分？若繼續(xù)賭下去而不中止，則甲有3/4的機(jī)會(huì)(概率)取勝，而乙勝的機(jī)會(huì)為1/4。所以，在甲勝2局乙勝1局這個(gè)情況下，甲能“期望”得到的數(shù)目，為：乙能“期望”得到的數(shù)目為：若引入一個(gè)隨機(jī)變量X，X等于在上述局面之下繼續(xù)賭下去甲的最終所得，那么甲的“期望”所得，等于“X的可能值與其概率之積的累加”這就是“數(shù)學(xué)期望”(簡稱期望)這個(gè)名詞的由來。這個(gè)名詞源出賭博，聽起來不大通俗化，本不是一個(gè)很恰當(dāng)?shù)拿?，但它在概率論中已源遠(yuǎn)流長獲得公認(rèn)，也就站住了腳跟。例某服裝公司生產(chǎn)兩種套裝，一種是大眾裝，每套200元，生產(chǎn)900套，另一種是高檔裝，每套1800元，生產(chǎn)100套，該公司生產(chǎn)套裝平均價(jià)格是多少？這種平均稱為加權(quán)平均。定義給定權(quán)，滿足，則稱為關(guān)于權(quán)的加權(quán)平均。例某服裝公司生產(chǎn)兩種套裝，一種是大眾裝，每套200元，生產(chǎn)900套，另一種是高檔裝，每套1800元，生產(chǎn)100套，該公司生產(chǎn)套裝平均價(jià)格是多少？若利用隨機(jī)變量的觀點(diǎn)，設(shè)X為該公司生產(chǎn)套裝的單價(jià)，有平均價(jià)格是該公司生產(chǎn)套裝單價(jià)X的加權(quán)平均，在概率論中稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為

MathematicalExpectation定義離散型隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。它是隨機(jī)變量X的取值以概率為權(quán)的加權(quán)平均。連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義數(shù)學(xué)期望——

它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望，X有分布XP011-pp兩點(diǎn)分布例2

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若X~B(1,p),則E(X)

二項(xiàng)分布例3X～，求E(X)。解泊松分布的分布律為：泊松分布例4

X~N(,2),求E(X)

.解正態(tài)分布常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP(

)

分布期望概率密度N(,2)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型

概率密度為Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-2020.40.30.3求。服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。例2例設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-2020.40.30.3求。解服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)?/p>

所以

例

解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量C為常數(shù)..特別地，例一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車。如果到達(dá)一個(gè)車站，沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)，求E(X)。（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）解引入隨機(jī)變量，則由題意，任一旅客在第i站不下車的概率為20位旅客都不在第i站下車的概率為在第i站有人下車的概率為即所以將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望之和來求。這種處理方法具有一定的普遍意義。例(課本)將n個(gè)球隨機(jī)地放入M個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。練習(xí)獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，它們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+

p2Step1.設(shè)隨機(jī)變量X設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為XStep2.求X的分布律I.找出X的所有可能取值X=0,1,2II.計(jì)算每個(gè)取值的概率P(X=0)=(1-p1)(1-p2)P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2P(X=2)=p1p2E(X)=[p1(1-p2)+(1-p1)p2]+2p1p2=

p1+

p2Step3.計(jì)算E(X)解第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差重點(diǎn)理解方差的概念，掌握它的性質(zhì)與計(jì)算了解二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等的方差期望反映了隨機(jī)變量的平均值,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。但是，在許多實(shí)際問題中，僅僅知道均值是不夠的，常常還需要了解隨機(jī)變量與其均值的偏離程度。如，測(cè)量兩種手表，得知它們的日走時(shí)誤差(分鐘)的分布律分別為P-1010.20.60.2P-2-1120.30.20.20.3那一種手表的精確度高？為描述隨機(jī)變量X偏離其均值E(X)的情況，可以考慮考察的平均值。是否三個(gè)都能較好的描述偏離情況呢？方差Variance定義

設(shè)是一隨機(jī)變量，如果

的方差，記為存在，

則稱為或D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)均方差/標(biāo)準(zhǔn)差它與X有相同的度量單位(量綱相同)，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用。原點(diǎn)矩與中心矩一般地，我們稱為X的k階原點(diǎn)矩，稱為X的k階中心矩，其中k是正整數(shù)。例如，期望是一階原點(diǎn)矩，方差是二階中心矩。一維隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為離散型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)方差計(jì)算公式Proof.方差的計(jì)算步驟Step1:計(jì)算期望E(X)Step2:計(jì)算E(X2)Step3:計(jì)算D(X)兩點(diǎn)分布的方差XP011-pp分布律方差D(X)=pqq=1-p泊松分布的方差方差和期望值相等？！分布律方差正態(tài)分布的方差密度函數(shù)方差方差的性質(zhì).C為常數(shù).特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則.性質(zhì)1的證明：性質(zhì)2的證明：性質(zhì)3的證明：當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，注意到，

例2

設(shè)X~B(n,p)，求D(X).解引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故二項(xiàng)分布的方差P011-pp常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p

的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P(

)

分布方差概率密度N(,2)例

已知

X的密度函數(shù)為其中

A,B

是常數(shù)，且E(X)=0.5.求

A,B.(2)設(shè)Y=X2,求

E(Y),D(Y)解

(1)(2)第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)多維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映出隨機(jī)變量之間的關(guān)系。本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間相互依賴關(guān)系的一個(gè)重要特征。在證明方差的性質(zhì)時(shí)，我們得到，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有：反之說明，當(dāng)，X與Y一定不相互獨(dú)立。這說明，量在一定程度上反映了隨機(jī)變量X與Y之間的關(guān)系。稱為X,Y的協(xié)方差.記為定義利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可將協(xié)方差的計(jì)算簡化：特別地，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有。注：當(dāng)X與Y不相互獨(dú)立時(shí)，也有可能。例(課本)設(shè)~顯然X與Y不相互獨(dú)立。意義：協(xié)方差可以幫助我們了解兩個(gè)變量之間的關(guān)系。如果X取值比較大時(shí)(如X大于其期望E(X))，Y也取值比較大(也大于它的期望E(Y)),這時(shí)cov(X,Y)>0；如果X取值比較小時(shí)(如X小于E(X))，Y也取值比較小(也小于E(Y)),這時(shí)也有cov(X,Y)>0?？梢娬膮f(xié)方差表示兩個(gè)隨機(jī)變量傾向于同時(shí)取較大值或較小值。反過來，負(fù)的協(xié)方差反映了兩個(gè)隨機(jī)變量有相反方向的變化趨勢(shì)。性質(zhì)第五節(jié)中心極限定理定理一林德伯格-列維中心極限定理[獨(dú)立同分布的中心極限定理]定理二棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)前面學(xué)習(xí)正態(tài)分布時(shí)提到，若隨機(jī)變量X受眾多相互獨(dú)立隨機(jī)因素影響，每一因素的影響都是微小的，且這些正、負(fù)影響可以疊加，那么這樣的隨機(jī)變量X接近正態(tài)分布。若將各因素作用用表示，那么，X將服從或近似服從正態(tài)分布。如何從理論上、數(shù)學(xué)上給予解釋？由此引發(fā)中心極限定理的研究。粗略地說，所謂中心極限定理就是討論在什么條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布可用正態(tài)分布近似。獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同一分布,且有期望和方差：則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,定理1注即n

足夠大時(shí)，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)記近似近似服從中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機(jī)現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量為X

，是由于許多彼次沒有什么相依關(guān)系、對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機(jī)因素共同作用則它可被看成為許多相互獨(dú)立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個(gè)總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結(jié)果.高爾頓釘板03—釘子層數(shù)常常在賭博試驗(yàn)中見到。莊家常常在兩邊放置值錢的東西來吸引顧客?？捎弥行臉O限定理來解釋。棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace

）Yn

~N(np,np(1-p))(近似)定理2設(shè)是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且

~