2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題21.3 期中期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之平行四邊形二十二大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題21.3平行四邊形二十二大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】 1【考點(diǎn)2利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 3【考點(diǎn)3利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】 4【考點(diǎn)4利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 5【考點(diǎn)5利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】 6【考點(diǎn)6利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】 7【考點(diǎn)7平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 9【考點(diǎn)8根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】 10【考點(diǎn)9根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】 11【考點(diǎn)10根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】 12【考點(diǎn)11矩形與折疊問題】 14【考點(diǎn)12根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】 15【考點(diǎn)13根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】 16【考點(diǎn)14根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】 18【考點(diǎn)15根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】 20【考點(diǎn)16根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】 21【考點(diǎn)17根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】 23【考點(diǎn)18中點(diǎn)四邊形】 24【考點(diǎn)19特殊四邊形的證明】 26【考點(diǎn)20特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題】 28【考點(diǎn)21特殊四邊形的最值問題】 29【考點(diǎn)22特殊四邊形的存在性問題】 31【考點(diǎn)1格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】【例1】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上．請根據(jù)條件畫出符合要求的圖形．(1)在圖甲中畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(2)在圖乙中畫出線段AB的中點(diǎn)O．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．【變式1-1】（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．(2)找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【變式1-2】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)正方形的邊長為1），點(diǎn)A和點(diǎn)B都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為6；(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10．【考點(diǎn)2利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例2】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上的點(diǎn)，Q是BF中點(diǎn)，連接CQ并延長交AB于點(diǎn)E，連接AF與DE相交于點(diǎn)P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【變式2-1】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點(diǎn)A成中心對稱的△AB′C′，其中點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為CA．128 B．643 C．64 D．【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個(gè)等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內(nèi)（如圖），DE與FG交于點(diǎn)P，連結(jié)AP，F(xiàn)E．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【變式2-3】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【考點(diǎn)3利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】【例3】（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，且CF=1，則AB的長是（）A．2 B．1 C．3 D．2【變式3-1】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，四邊形APCQ的周長為_____．【變式3-2】（2022·廣東佛山·石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【變式3-3】（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AC、AE，AE交CD于點(diǎn)H，∠DCE的平分線交AE于點(diǎn)G．若AB=2AD=10，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，HE=6，則A．9 B．97 C．10 D．3【考點(diǎn)4利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例4】（2022春·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，AB=13，點(diǎn)D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD=8，點(diǎn)E在線段CD上，CE=3，連接BE．當(dāng)BE+AC最小時(shí)，∠ACD的度數(shù)為（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側(cè)分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，【變式4-2】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；(2)過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．【變式4-3】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接EO并延長交AD邊于點(diǎn)F、交CD延長線于點(diǎn)G．OE=OF，AD=BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數(shù)．【考點(diǎn)5利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】【例5】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A0,3，D5,0兩點(diǎn)．將直線l1：y=x向上平移2個(gè)單位長度得到直線l2，點(diǎn)B在直線l2上，過點(diǎn)B作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AB，BC，【變式5-1】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP=CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【變式5-2】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式5-3】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形AMNB各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1,?a<b，那么四邊形AMNB周長的最小值為（A．6+25 B．6+13 C．34+2【考點(diǎn)6利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】【例6】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=x+2與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與AB交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D(0,8)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3．(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P(t,0)作x軸垂線分別與直線AB、CD交于點(diǎn)M、N，求線段MN的長（用t表示）；(3)在（2）的條件下，t為何值時(shí)，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【變式6-1】（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位長度/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位長度/s的速度向點(diǎn)(1)當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)PQ=BC時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)PQ恰好垂直平分BO時(shí)，求t的值．【變式6-2】（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，【變式6-3】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(1)PD?=_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，PQ∥(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【考點(diǎn)7平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式7-1】（2022春·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校期中）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式7-2】（2022秋·浙江溫州·八年級樂清外國語學(xué)校?？计谀┠筹L(fēng)力發(fā)電設(shè)備如圖1所示，其示意圖如圖2，已知三個(gè)葉片OA，OB，OC均勻地∠AOB=∠BOC=∠COA分布在支點(diǎn)O上，OH垂直地面MN．當(dāng)光線與地面的夾角為60°，葉片CO與光線平行時(shí)，測得葉片影子【變式7-3】（2022春·江蘇·八年級期末）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個(gè)過程，當(dāng)遮陽蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形．(1)若遮陽蓬完全展開時(shí)，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）(2)長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是______．【考點(diǎn)8根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】【例8】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作AC的垂線，與邊BC分別交于點(diǎn)G，H．若BG=1,CH=4，則EG+FH=（

）A．41 B．34 C．42 【變式8-1】（2022春·廣東珠?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，AD∥BC，AD與BC之間的距離為4，AB=AD=CD=5，則邊BC的長為______．【變式8-2】（2022春·廣西防城港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，延長AB到E，使BE=AB，連接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求證：CD=BE；(2)求證：四邊形BECD是矩形；(3)連接AC，若AD=7，CD=2，求AC【變式8-3】（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)如圖2，M為AD的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的長．【考點(diǎn)9根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】【例9】（2022春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且AE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠BAE:∠EAD=4:5，求∠EAO的度數(shù)．【變式9-1】（2022春·陜西延安·八年級延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，∠OAD=30°，求∠OAB的度數(shù)．【變式9-2】（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，A，D關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當(dāng)E在邊AD上且DE＝2時(shí)，求∠AEM的度數(shù)．(2)當(dāng)N在BC延長線上時(shí)，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說明理由．(3)當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求DE的長．【變式9-3】（2022春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠EAO=15°，求∠BEO的度數(shù)．【考點(diǎn)10根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】【例10】（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，延長BM點(diǎn)E，EM=BM，連接DE，若BD=2AB，且DC=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式10-1】（2022春·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，延長BM至點(diǎn)E，使EM=BM，連接DE．（1）求證：△AMB≌△CND；（2）若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四邊形DEMN的面積．【變式10-2】（2022春·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE＝DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點(diǎn)．(1)求證：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面積．【變式10-3】（2022春·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，∠DAE的角平分線AF交CD于點(diǎn)G，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接EG，△AGE的面積為S．（1）求證：AE＝EF；（2）若EG⊥AF，試探究線段AE，EC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．【考點(diǎn)11矩形與折疊問題】【例11】（2022秋·廣東肇慶·八年級廣東肇慶中學(xué)?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，已知AB=6cm，BC=10cm，則CF的長是（A．83 B．2 C．52 【變式11-1】（2022秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD，AB=5，AD=3，矩形GBEF是由矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點(diǎn)H為CD邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形ABHD沿BH折疊得到四邊形A′BHD′，當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在EFA．175 B．72 C．185【變式11-2】（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC，直線DE垂直平分AB，把線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A落在直線DE上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)CF、BF，線段AC、BF交于點(diǎn)G，如果CF//AB，那么【變式11-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=5，AD=6，點(diǎn)P是射線AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP折疊得到△A′BP，點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線【考點(diǎn)12根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】【例12】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，P為菱形邊上的一點(diǎn)，且△PEF為直角三角形，那么BP的長度為______．【變式12-1】（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)校考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，則四邊形A．12 B．18 C．24 D．30【變式12-2】（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)E，連接（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）設(shè)AE與BF相交于點(diǎn)O，四邊形ABEF的周長為16，BF＝4，求AE的長和∠C的度數(shù)．【變式12-3】（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）已知，在長方形紙片ABCD中，AB=4，BC=8．將紙片沿對角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，連結(jié)AE．①求證：△ABF≌②求證：AE∥(2)如圖2，將△BDE沿BD翻折回去，則點(diǎn)F正好落在BC邊G處，連結(jié)FG，求FG【考點(diǎn)13根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】【例13】（2022春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EB，DF．(1)求證：四邊形EBFD為菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度數(shù)．【變式13-1】（2022春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：在數(shù)學(xué)課外小組活動(dòng)中，老師要求大家對“菱形的剪拼”問題進(jìn)行探究．如圖1，將邊長為4，∠A=45度的菱形紙片ABCD沿著對角線BD剪開，得到△ABD和△B′DC．將△初步探究：（1）“愛心小組”將△B′DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)D再次探究：（2）“勤奮小組”將△B′DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，連接AC，BB′深入探究：（3）“創(chuàng)新小組”將△B′DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，此時(shí)點(diǎn)B，D，B′恰好在一條直線上，延長BA，B′【變式13-2】（2022春·河北邯鄲·八年級校聯(lián)考期末）已知，四邊形ABCO是菱形，延長AO到D點(diǎn)，使OD=OC，連接AC、BO相交于E點(diǎn)，連接CD．（1）求證：∠ACD=90°；（2）過A作AF⊥BC于F點(diǎn)．①已知AD=15，AC=9，求AF的長；②點(diǎn)M是對角線OB上一點(diǎn)，∠BAF=∠D，若△ABM是銳角三角形，求∠BAM的取值范圍．【變式13-3】（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC，BD相交于點(diǎn)O．(1)求邊AB的長；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．【考點(diǎn)14根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】【例14】（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°．點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，連接CD．作AE∥DC，CE∥AB，連接ED．(1)如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：AC=ED；(2)如圖2，當(dāng)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，若AB=10，ED=8，求四邊形ADCE的面積．【變式14-1】（2022春·浙江·八年級期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，作CG⊥AB于點(diǎn)G，GF的延長線交CD的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形ABEF是菱形．（2）當(dāng)AB=5,BF=8時(shí)，①求GH的長．②如圖2，CG交BF于點(diǎn)P，記△FGP的面積為S1，△BCP的面積為S2，則【變式14-2】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上兩個(gè)點(diǎn)，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求∠BGD的度數(shù)；（2）如圖2，作CH⊥BG于H點(diǎn)，求證：2GH＝GB+DG；（3）在滿足（2）的條件下，且點(diǎn)H在菱形內(nèi)部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面積．【變式14-3】（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，四邊形ABCD、CEFG均為正方形．可知BE=DG．【拓展】如圖②，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，且∠A=∠F．求證：BE=DG．【應(yīng)用】如圖③，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在AD延長線上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面積為8，菱形CEFG的面積是_______．（只填結(jié)果）【考點(diǎn)15根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】【例15】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G．若BC=4,DE=AF=1，則CG的長是_____．【變式15-1】（2022春·天津南開·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=DF=2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為________．【變式15-2】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長為2，以AD為一邊向外作等腰直角三角形ADE，則點(diǎn)E到點(diǎn)B的距離為___________．【變式15-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△EAF中，∠A=90°，∠AEF，∠AFE的外角平分線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作直線AB，AD的垂線，B，D(1)【問題發(fā)現(xiàn)】∠ECF=______°（直接寫出結(jié)果，不寫解答過程）．(2)【問題探究】①求證：四邊形ABCD是正方形．②若AF=DF=4，求BE的長．(3)【問題拓展】如圖2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=4，HR=1，則HQ的長度是______（直接寫出結(jié)果，不寫解答過程）．【考點(diǎn)16根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】【例16】（2022秋·重慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．則∠CDF的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【變式16-1】（2022秋·福建泉州·七年級?？计谥校┤鐖D所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則α、β、γ三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（

）A．α+β+γ=90° B．α+β?γ=90° C．α?β+γ=90° D．α+2β?γ=90°【變式16-2】（2022春·全國·八年級期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上．

（1）填空：∠PBC=________度；（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE、PC，求PE+PC的最小值；（3）若點(diǎn)E是直線AP與射線BC的交點(diǎn)，當(dāng)△PCE為等腰三角形時(shí)，求∠PEC的度數(shù)．【變式16-3】（2022春·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是CD垂直平分線上的點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)是E'，直線DE與直線BE'交于點(diǎn)F．(1)若點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AF，則∠FAD＝___°；(2)小明從老師那里了解到，只要點(diǎn)E不在正方形的中心，則直線AF與AD所夾銳角不變．他嘗試改變點(diǎn)E的位置，計(jì)算相應(yīng)角度，驗(yàn)證老師的說法．①如圖，將點(diǎn)E選在正方形內(nèi)，且△EAB為等邊三角形，求出直線AF與AD所夾銳角的度數(shù)；②請你繼續(xù)研究這個(gè)問題，可以延續(xù)小明的想法，也可用其它方法．我選擇___小明的想法；（填“用”或“不用”）并簡述求直線AF與AD所夾銳角度數(shù)的思路．【考點(diǎn)17根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】【例17】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的角平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四邊形GECF的面積．【變式17-1】（2022秋·江西南昌·九年級期中）如圖，E、F在正方形ABCD的邊上，∠EAF=45（1）△ABG是由△ADE旋轉(zhuǎn)而來，旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是多少度？（2）求證：GF=EF；（3）若BG=2,BF=3，求正方形ABCD的面積．【變式17-2】（2022·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點(diǎn)A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點(diǎn)A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnD【變式17-3】（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接AE、BE和DE，過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③點(diǎn)B到直線AE的距離為7；④S正方形ABCD＝8+14．則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)18中點(diǎn)四邊形】【例18】（2022春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A1，B1，C1，D1分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點(diǎn)A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中點(diǎn)A3，B3，C3，D3……以此類推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中點(diǎn)An，Bn，Cn，Dn，若四邊形AnBnCnDn的面積為1532，則nA．5 B．6 C．7 D．8【變式18-1】（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蜛BCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷：①對于任意四邊形ABCD，四邊形MNPQ都是平行四邊形；②若四邊形ABCD是平行四邊形，則MP與NQ交于點(diǎn)O；③若四邊形ABCD是矩形，則四邊形MNPQ也是矩形；④若四邊形MNPQ是正方形，則四邊形ABCD也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【變式18-2】（2022春·福建福州·八年級福州華倫中學(xué)?？计谥校┮阎涸诰匦蜛BCD中，AB=6，AD=4．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD，AB，CD上，DE=1①連接BG，若BG=5，求AF②設(shè)AF=m，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式S=3?12m．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH【變式18-3】（2022春·浙江·八年級期中）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、M；（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時(shí)四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)AE=6，EB=3，求此時(shí)四邊形PQMN的周長（結(jié)果保留根號）．【考點(diǎn)19特殊四邊形的證明】【例19】（2022春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，點(diǎn)G在邊BA的延長線上，且CE=BF=AG．(1)求證：①DE=DG；②DE⊥DG；(2)尺規(guī)作圖：以線段DE、DG為邊作出正方形DEHG（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；(3)連接（2）中的FH，猜想四邊形CEHF的形狀，并證明你的猜想；(4)當(dāng)CECB=1【變式19-1】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，這是一張三角形紙片，小紅想用這張紙片剪出一個(gè)菱形圖案，貼在她制作的手抄報(bào)，使∠B為菱形的一個(gè)內(nèi)角．(1)請?jiān)趫D中畫出一個(gè)符合要求的菱形，并簡要說明畫圖步驟．(2)根據(jù)你的畫圖步驟，證明你所畫的圖形是一個(gè)菱形．【變式19-2】（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，E是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EC，點(diǎn)F在直線CD上，且EF=EC，將EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EG，過點(diǎn)C作EG的平行線，交射線AD于點(diǎn)H，連接HG．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB中點(diǎn)時(shí)，D，F(xiàn)重合，請判斷四邊形(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，補(bǔ)全圖形并回答下列問題：①四邊形HCEG的形狀是否發(fā)生改變，請說明理由；②連接HE，交DC于點(diǎn)M，若MC=5，EF=53，請直接寫出ME【變式19-3】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n滿足關(guān)系式d?a?c+b+|m﹣n(1)判斷四邊形ABCD的形狀并證明你的結(jié)論．(2)在圖1中，若∠ABC＝60°，BD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P為線段FD上一點(diǎn)，連接PA，且點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，連接PE，若PE＝PA，①試求∠APE的度數(shù)；②試求PFBF+PD(3)如圖2，在（2）的條件下，若PE與CD交于點(diǎn)M，且∠CME＝45°，請直接寫出BC+CEBC?CE的值【考點(diǎn)20特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題】【例20】（2022春·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ACBO是矩形，A（a，0）、B（0，b）滿足a?b+a?22=0，P是對角線AB上一動(dòng)點(diǎn)，D是x軸正半軸上一點(diǎn)，且PO=PD，DE⊥(1)求a、b的值．(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE的值是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．(3)若∠OPD=45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式20-1】（2022春·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）已知正方形ABCD，M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)（M與點(diǎn)B，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．(1)當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上時(shí)（如圖1），線段BM與DF有怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)果______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段BD的延長線上時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；(3)若正方形AMEF的邊長為5，DM=1，求BF的長．【變式20-2】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．(1)如圖1，連接AF、CE，求AF的長；(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒1cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①問在運(yùn)動(dòng)的過程中，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度，若不可能，請說明理由；②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．【變式20-3】（2022春·遼寧沈陽·八年級東北育才學(xué)校?？计谥校┌匆蠡卮鹣铝袉栴}發(fā)現(xiàn)問題如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，易證：EF=DF+BE．（不必證明）(1)類比延伸①如圖（2），在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請寫出證明過程；②如圖（3），如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°則EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系是________．（不要求證明）(2)拓展應(yīng)用：如圖（1），若正方形的ABCD邊長為6，AE=35，求EF【考點(diǎn)21特殊四邊形的最值問題】【例21】（2022秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在長方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線AP與DC的延長線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△ABP≌△ECP；(2)將△APB沿直線AP折疊得到△APB′，點(diǎn)B′落在長方形ABCD的內(nèi)部，延長PB′①證明FA=FP，并求出在（1）條件下AF的值；②連接B′C，直接寫出【變式21-1】（2022春·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形OABC，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長方形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10,OC=6，在AB上取一點(diǎn)M使得△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在x軸上，記作B′點(diǎn)，(1)求B(2)求折痕CM所在直線的表達(dá)式；(3)求折痕CM上是否存在一點(diǎn)P，使PO+PB'【變式21-2】（2022春·遼寧沈陽·八年級期末）在正方形ABCD中，BD是對角線，直線BD上有一點(diǎn)E（不與B、D重合），連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交直線BC于點(diǎn)F.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，求證：∠BAE=∠EFC；(2)當(dāng)AE=CF，且AB=23+2時(shí)，直接寫出線段(3)設(shè)S=2AE+BE，AB=2，當(dāng)S取最小值時(shí)，直接寫出S2【變式21-3】（2022春·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）在?ABCD中，AB=6，BC=8．(1)如圖①，將?ABCD沿直線BE折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F落在BC邊上，求證：四邊形ABFE是菱形．(2)如圖②，若?ABCD是矩形，①按（1）中操作進(jìn)行，求證：四邊形ABFE是正方形．②在矩形ABCD中折疊出一個(gè)菱形，并使菱形的各個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上，則菱形面積的最大值為______，最小值為______．【考點(diǎn)22特殊四邊形的存在性問題】【例22】（2022春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形紙片ABCD置于坐標(biāo)系中，AB∥x軸，BC∥y軸，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)A（﹣3，4），翻折矩形紙片使點(diǎn)D落在對角線AC上的H處，AG是折痕．(1)求DG的長；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)N，使BN+DN的值最小，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，是否存在一點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式22-1】（2022春·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1:y=?x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與y(1)求直線l2(2)如圖1，點(diǎn)P為直線l1一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△PAC的面積等于10時(shí)，請求出點(diǎn)P(3)如圖2，將△ABC沿著x軸平移，平移過程中的△ABC記為△A1B1C1，請問在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)【變式22-2】（2022春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AD∥BC∥x軸，AD與y軸交于點(diǎn)E，OE=1，且AE,DE的長滿足AE?3+|DE?1|=0(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若P(?2,?1)，①求△EPC面積；②正方形ABCD的邊CD上是否存在點(diǎn)M，使S△ECM=S【變式22-3】（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BE、DG．直線BE與DG交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系是，∠BHD的度數(shù)為；(2)如圖2，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度．①請你判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)H在直線AD左側(cè)時(shí)，連接AH，則存在實(shí)數(shù)m、n滿足等式：m·AH＋DH＝n·BH，猜想m、n的值，并予以證明；(3)若AB＝5，AE＝1，則正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F、H是否能重合？若能，請直接寫出此時(shí)線段BG的長；若不能，請說明理由．專題21.3平行四邊形二十二大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】 1【考點(diǎn)2利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 7【考點(diǎn)3利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】 10【考點(diǎn)4利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 15【考點(diǎn)5利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】 20【考點(diǎn)6利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】 25【考點(diǎn)7平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 31【考點(diǎn)8根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求線段長】 36【考點(diǎn)9根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求角度】 42【考點(diǎn)10根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求面積】 47【考點(diǎn)11矩形與折疊問題】 54【考點(diǎn)12根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求線段長】 59【考點(diǎn)13根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求角度】 65【考點(diǎn)14根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求面積】 71【考點(diǎn)15根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求線段長】 79【考點(diǎn)16根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求角度】 85【考點(diǎn)17根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)求面積】 95【考點(diǎn)18中點(diǎn)四邊形】 100【考點(diǎn)19特殊四邊形的證明】 108【考點(diǎn)20特殊四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題】 119【考點(diǎn)21特殊四邊形的最值問題】 129【考點(diǎn)22特殊四邊形的存在性問題】 140【考點(diǎn)1格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】【例1】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上．請根據(jù)條件畫出符合要求的圖形．(1)在圖甲中畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(2)在圖乙中畫出線段AB的中點(diǎn)O．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出平行四邊形即可；（2）如圖：取格點(diǎn)P、Q，連接PQ交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求．【詳解】（1）解：如圖甲中，四邊形ABCD即為所求．（2）解：如圖乙中，點(diǎn)O即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．(2)找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【答案】(1)∠BCD不是直角，證明見解析(2)見解析（答案不唯一）【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出BC（2）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點(diǎn)E，再利用等高模型畫出圖形即可．（1）解：∠BCD不是直角，證明如下：∵BC2=52∴BC∴∠BCD不是直角．（2）解：如圖，點(diǎn)E和四邊形ABED即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于常考題型．【變式1-2】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)正方形的邊長為1），點(diǎn)A和點(diǎn)B都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為6；(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的面積公式及對邊平行的性質(zhì)即可求解；(2)根據(jù)平行四邊形的面積公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解．（1）解：如下圖所示，均以AB為邊作平行四邊形，且面積為6．（2）解：如下圖所示，均以AB為對角線作平行四邊形，且面積為10．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、性質(zhì)及平行四邊形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1-3】（2022春·福建龍巖·八年級校考期中）由邊長為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A、B，C都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定9×12的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，并回答下列問題：(1)直接寫出AB的長是；(2)在圖1中，畫以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)且周長最大的平行四邊形；(3)在圖2中，畫△ABC的角平分線AD．【答案】(1)5(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以AC為對角線畫出平行四邊形；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，延長AC至E，使得AE=52，則△ABE是等腰三角形，再找到BE的中點(diǎn)D，連接AD【詳解】（1）解：AB=7故答案為：52（2）如圖1中，四邊形ABCE即為所求作；（3）如圖2中，延長AC至E，使得AE=52，則△ABE是等腰三角形，再找到BE的中點(diǎn)D，連接AD，線段AD【點(diǎn)睛】本題考查了畫平行四邊形，勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例2】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上的點(diǎn)，Q是BF中點(diǎn)，連接CQ并延長交AB于點(diǎn)E，連接AF與DE相交于點(diǎn)P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【答案】C【分析】連接EF，證明四邊形EBCF是平行四邊形，求出S△BEF=16cm【詳解】解：連接EF，∵F是□ABCD的邊CD上的點(diǎn)，∴BE∥∴∠EBF=∠CFB，∵BQ=FQ，∴△EBQ?△CFQ，∴EQ=CQ，∴四邊形EBCF是平行四邊形，∴S∵S△AED∴S△APD∴S陰影故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明與計(jì)算．【變式2-1】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點(diǎn)A成中心對稱的△AB′C′，其中點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為CA．128 B．643 C．64 D．【答案】D【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得AC=2，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理，得出四邊形CB【詳解】解：如圖所示，∵△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．∴∠ABC=30°,AB=2AC=8,∴BC=43∵作出△ABC共于點(diǎn)A成中心對稱的△AB∴AB=AB′,∴四邊形CB∴四邊形CB′C故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，得出四邊形CB【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個(gè)等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內(nèi)（如圖），DE與FG交于點(diǎn)P，連結(jié)AP，F(xiàn)E．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理得S△ABC=S△AFG+S△BDE，F(xiàn)G∥BC，CG【詳解】解：由題意得S△ABC=S△AFG+∴四邊形CEPG是平行四邊形，∴S△CEG∵S△ABC∴S四邊形∴S△CEG故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了以直角三角形三邊組成的圖形的面積，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意．【變式2-3】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【答案】4.5##9【分析】由條件可證明四邊形HPFD、BEPG為平行四邊形，可證明S四邊形AEPH=S四邊形【詳解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG為平行四邊形，∴S同理可得SΔPHD=∴S即S四邊形∵CG=3BG，S?BEPG∴S故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對邊分別平行?四邊形為平行四邊形，②兩組對邊分別相等?四邊形為平行四邊形，③一組對邊平行且相等?四邊形為平行四邊形，④兩組對角分別相等?四邊形為平行四邊形，⑤對角線互相平分?四邊形為平行四邊形．【考點(diǎn)3利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】【例3】（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，且CF=1，則AB的長是（）A．2 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=DE，從而可得CE=2AB，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CE=2，由此即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE，∴CE=CD+DE=AB+AB=2AB，∵∠BCD=120°，∴∠ECF=60°，∵EF⊥BC，∴∠CEF=30°，∴CE=2CF=2×1=2，∴AB=1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，四邊形APCQ的周長為_____．【答案】

平行四邊形

2+10【分析】根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求解；當(dāng)PQ是AQ和BC間距離時(shí)PQ取得最小值，計(jì)算四邊形APCQ的周長即可．【詳解】解：如圖，∵AQ∥BC，CQ∥AP，∴四邊形APCQ是平行四邊形．當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，PQ取得最小值，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AH=HC=12AC，QH=PH=12∵∠ABC=45°，AB=2，BC=22∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=22∴PQ=2，∴QC=PC∴四邊形APCQ的周長為：2PC+2QC=2×22+2×102=故答案為：平行四邊形；2+【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂線段最短的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．【變式3-2】（2022·廣東佛山·石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【答案】10?4【分析】方法一、延長ED交FC于G，延長BA，DE交于點(diǎn)M，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理得出四邊形BFEM是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等角對等邊即可得出答案；延長CA和FB相交于點(diǎn)H，根據(jù)折疊的性質(zhì)及等邊對等角得出∠EFC=∠ECF，再根據(jù)等角的余角相等以及等角對等邊得出【詳解】解：方法一、如圖，延長ED交FC于G，延長BA，DE交于點(diǎn)M，∵將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，∴EF=EC，DF=∴EG⊥CF，又∵∠BFC=∴BF∥EG，∵AB∥EF，∴四邊形BFEM是平行四邊形，∴BM=∴AM=∵AB∥EF，∴∠M=∴∠M=∴AE=方法二、延長CA和FB相交于點(diǎn)H，∵折疊，∴EF=∴∠EFC=又∵∠BFC=∴∠H=∴EF=∵AB∥EF，∴∠ABH=∴AB=∴AE=故答案為：10?43【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AC、AE，AE交CD于點(diǎn)H，∠DCE的平分線交AE于點(diǎn)G．若AB=2AD=10，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，HE=6，則A．9 B．97 C．10 D．3【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，得出AD∥BC，由點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)可得△ADH≌△ECH(AAS)，則CH=CE=AD=5，由等腰三角形三角形合一的性質(zhì)可得出HG=GE=3，進(jìn)而求出AG的長，由勾股定理可得出【詳解】解：∵AB∥∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=2AD=10，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，∴AD=BC=5，AB=CD=10，DH=CH=5，∵AD∥∴∠D=∠DCE，∠DAE=∠E，∴△ADH≌△ECH(AAS∴AH=HE=6，AD=CE=5，∴CH=CE=5，∵CG平分∠DCE，∴CG⊥HE，HG=GE=3，∴AG=9，在Rt△CGE中，GE=3，CE=5由勾股定理可得CG=C∴AC=9故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例4】（2022春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，AB=13，點(diǎn)D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD=8，點(diǎn)E在線段CD上，CE=3，連接BE．當(dāng)BE+AC最小時(shí)，∠ACD的度數(shù)為（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】過點(diǎn)E作l∥AB，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,則BB′=2DE=10，B′E=BE，過點(diǎn)A作AA′∥CE，則AA′⊥AB，且AA′=CE=3，連接A′E，則四邊形ACE【詳解】解：∵點(diǎn)D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD=8，點(diǎn)E在線段CD上，CE=3，∴DE=CD?CE=5，過點(diǎn)E作l∥AB，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′∴BB′=2DE=10過點(diǎn)A作AA′∥CE，則AA′⊥AB，且AA由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E在A′B′與直線l的交點(diǎn)處即點(diǎn)E′時(shí)，此時(shí)，過點(diǎn)A′作A′F⊥BB′交B′B∴A∴B′∴∠B∴∠AA此時(shí)，四邊形AC′E′A′是平行四邊形，設(shè)∴∠AC即當(dāng)BE+AC最小時(shí)，∠ACD的度數(shù)為45°．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側(cè)分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，【答案】150°【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，根據(jù)周角的定義得∠DAE=360°?∠BAC?∠BAD?∠CAE=150°，根據(jù)平行四邊形的對角相等即可求解．【詳解】解：∵△ABD和△FBC和△ACE，都是等邊三角形，加上和△ACE∴BD＝BA在△ABC與△DBF中，AB=DB∠ABC=∠DBF∴△ABC≌∴AC＝同理可證△ABC≌∴AB＝∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵AB＝∴AB∴∠BAC＝又∠DAB＝∴∠DAE＝∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠DFE＝【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定、勾股定理的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；(2)過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)16°【分析】（1）①由AD//BC，可得∠OAE＝∠OCF，然后根據(jù)ASA即可證明△AOE≌△COF；②同理可證△AOD≌△COB，由全等三角形的性質(zhì)可得AD＝CB，又AD//BC，則可證四邊形ABCD為平行四邊形；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EBD=∠DBF=32°，∠ABC＝180°?∠BAD=80°，由線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=DE，則∠EBD=∠EDB=32°，然后根據(jù)∠ABE＝∠ABC?∠EBD?∠DBF即可求得答案.【詳解】（1）證明：①∵AD//BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，{∴△AOE≌△COF（ASA）；②∵AD//BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，{∠OAD=∠OCB∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD//BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；（2）解：∵AD//BC，∠DBF=32°∴∠EDB＝∠DBF=32°，由（1）②得：四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴EF是BD的垂直平分線∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB=32°，∵AD//BC，∠BAD=100°∴∠ABC＝180°?∠BAD=180°?100°=80°，∴∠ABE＝∠ABC?∠EBD?∠DBF＝80°?32°?32°=16°【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接EO并延長交AD邊于點(diǎn)F、交CD延長線于點(diǎn)G．OE=OF，AD=BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）102°【分析】（1）證△BOE≌△DOF（SAS），得出∠OBE＝∠ODF，證出AD∥BC，由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠C＝∠A＝62°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵O是對角線BD的中點(diǎn)，∴OB=OD．在△BOE和△DOF中，OB=OD∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF(SAS∴∠OBE=∠ODF，∴AD//BC，又∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）由（1）可知四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠A=62°，∴∠BEG=∠C+∠G=62°+40°=102°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定以及三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】【例5】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A0,3，D5,0兩點(diǎn)．將直線l1：y=x向上平移2個(gè)單位長度得到直線l2，點(diǎn)B在直線l2上，過點(diǎn)B作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AB，BC，【答案】2【分析】先證四邊形ABCF是平行四邊形，可得AB=CF，則AB+BC+CD=CF+2+CD，即當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，CF+CD有最小值為DF的長，即【詳解】解：如圖，將點(diǎn)A沿y軸向下平移2個(gè)單位得到E(0，1)，以AE為斜邊，作等腰直角三角形AEF，則點(diǎn)F(1，2)，連接CF，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF=EF=2，∠∵將直線l1：y=x向上平移2個(gè)單位長度得到直線l∴∠AOC=45°，∴BC=AF=2，∠∴EF//OC，∵AF⊥EF，BC⊥OC，∴AF//BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AB=CF，∴AB+BC+CD=CF+2∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，CF+CD有最小值為DF的長，即AB+BC+CD有最小值，∵點(diǎn)D5，0∴DF=(5?1∴折線ABCD的長AB+BC+CD的最小值為25故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP=CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接BP，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=12，連接PE、CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，∵AP=CQ，∴AD?AP=BC?CQ，∴DP=QB，DP∥∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，則PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=12，連接PE，則BE=2AB=24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，連接CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∴CE=B∴PC+PB的最小值為26，即PC+QD的最小值為26，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】當(dāng)B在x軸上時(shí)，對角線OB長度最小，由題意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS證明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)B在x軸上時(shí)，對角線OB長度最小，如圖所示：直線x＝1與x軸交于點(diǎn)D，直線x＝4與x軸交于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOD＝∠CBE，在△AOD和△CBE中，∠AOD＝∠CBE∠ADO＝∠CEB∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5，故答案為5.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.【變式5-3】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形AMNB各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1,?a<b，那么四邊形AMNB周長的最小值為（A．6+25 B．6+13 C．34+2【答案】A【分析】如圖，把A(0，?2)向上平移一個(gè)單位得：A1(0，?1)，作A1關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)A2(6，?1)，連接A2B，交直線x=3于N，

連接A1N，則此時(shí)四邊形AMNB【詳解】解：如圖，把A(0，?2)向上平移一個(gè)單位得：A1(0，?1)，作A1關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)A2(6，?1)，連接A2B，交直線∴A由MN=AA∴四邊形AMNA∴A所以此時(shí)：四邊形AMNB的周長最短，∵A(0，?2)，B(2，2)，A∴AB=(0?2)A2C四邊形AMNB=AB+MN+A=25故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形與坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】【例6】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=x+2與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與AB交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D(0,8)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3．(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P(t,0)作x軸垂線分別與直線AB、CD交于點(diǎn)M、N，求線段MN的長（用t表示）；(3)在（2）的條件下，t為何值時(shí)，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【答案】(1)y=?x+8(2)?2t+6(t≤3)或2t?6(t>3)(3)12或【分析】（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式；（2）先用t表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后分類兩種情況分別表示出MN的長；（3）根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）當(dāng)x=3時(shí)，y=x+2=3+2=5，∴C(3,5)，設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，將C(3,5)，D(0,8)坐標(biāo)代入得，3k+b=5b=8解得：k=?1∴直線CD的解析式是y=?x+8．（2）由題知xP∵點(diǎn)M在直線AB上，∴yM∴M(t,t+2)，∵點(diǎn)N在直線CD上，∴yN∴N(t,?t+8)，當(dāng)t≤3時(shí)，MN=y當(dāng)t>3時(shí)，MN=y（3）∵CE⊥x軸，MN⊥x軸，∴CE//MN，若四邊形MNCE是平行四邊形，則CE=MN，即：?2t+6=5或2t?6=5，∴t=12或【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離及平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用一次函數(shù)和平行四邊形的相關(guān)知識，用t表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位長度/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位長度/s的速度向點(diǎn)(1)當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)PQ=BC時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)PQ恰好垂直平分BO時(shí)，求t的值．【答案】(1)t=8(2)t=8或t=(3)t=【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．（2）分兩種情形：四邊形PBCQ是平行四邊形，四邊形PBCQ是等腰梯形，分別求解即可．（3）利用線段垂直平分線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）∵AB∥y，∴當(dāng)PB=CQ時(shí)，四邊形PBCQ是平行四邊形，∵BP=24?t，CQ=2t，∴24?t=2t，∴t=8（2）①當(dāng)四邊形PBCQ是平行四邊形時(shí)，CQ=BP，∴24?t=2t，∴t=8②當(dāng)四邊形PBCQ是等腰梯形時(shí)，BC=PQ，此時(shí)CQ?PB=2(OC?AB)，∵C0,26∴OC=26，∴2t?(24?t)=2(26?24)，∴t=綜上，t=8或t=（3）∵A?8,0∴OA=8．當(dāng)PQ垂直平分BO時(shí)，則BP=PO，∴24?t2解得t=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰梯形，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式6-2】（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，【答案】t=1或7【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BE上時(shí)，再根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：∵AD=3，BC=8，E是BC的中點(diǎn)，AD∥∴PD=QE時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE上時(shí)，QE=4?2t，PD=3?t，即：4?2t=3?t，解得：t=1；②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BE上時(shí)，QE=2t?4，PD=3?t，即：2t?4=3?t，解得：t=7所以當(dāng)t=1或73時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D【點(diǎn)睛】此題考平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由已知明確有兩種情況，不能漏解．【變式6-3】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學(xué)校考期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(1)PD?=_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，PQ∥(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【答案】(1)6?t；3t；(2)t為1.5秒時(shí)，PQ∥CD(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為1秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)PQ∥CD、AD∥BC可判定四邊形PQCD為平行四邊形，此時(shí)PD=CQ，可得方程6?t=3t，解方程即可得解；（3）分別從當(dāng)Q在CE上時(shí)，四邊形PDQE為平行四邊形和當(dāng)Q在BE上時(shí)，四邊形PQED為平行四邊形兩方面分析求解即可求得答案；【詳解】（1）解：∵AD=6，BC=16，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，∴PD?=6?t，CQ=3t，故答案為：6?t；3t；（2）解：如圖示，∵PQ∥CD，AD∥BC∴四邊形PQCD為平行四邊形∴PD=CQ又∵PD=AD?AP=6?t