2023-2024學年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題22.10 二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題22.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 2【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 3【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 4【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 6【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 7【知識點1】當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設為一般式（，，為常數(shù)，），轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當x取什么值時，y＞0？【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．【知識點2】若已知拋物線的頂點或對稱軸、最值，則設為頂點式．這頂點坐標為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當x=h時，y最值=k來求出相應的系數(shù).【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點坐標；（3）觀察圖象，當y＞0時，求自變量x的取值范圍．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為.（直接寫出答案）【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【知識點3】已知圖像與x軸交于不同的兩點，設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點D的坐標及△ABD的面積．【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標M的坐標．（2）求直線CM的解析式．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．【知識點4】將一個二次函數(shù)的圖像經過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x–h上加上（減去）n；當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點在直線AB上；②設平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．【變式4-1】（（2022秋?河東區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點坐標，對稱軸；（2）當x＝時，y隨x的增大而減??；（3）若將拋物線進行平移，使它經過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且-12＜x1＜x2，試比較y1，【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應的拋物線解析式．【知識點5】根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線W1的表達式；（2）將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標．【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關于原點成中心對稱的拋物線的解析式．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達式為．【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關于y軸對稱．（1）求拋物線L的表達式；（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【知識點6】此類題目只給出一些條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一．【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】【例6】（2022?林州市一模）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式．【變式6-1】（2022?虹口區(qū)二模）請寫出一個圖象的對稱軸為y軸，開口向下，且經過點（1，﹣2）的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是．【變式6-2】（2022秋?二道江區(qū)校級月考）老師給出一個二次函數(shù)，甲，乙，丙三位同學各指出這個函數(shù)的一個性質：甲：函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限；乙：當x＜2時，y隨x的增大而減小，當x＞2時，y隨x的增大而增大；丙：函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個交點；已知這三位同學敘述都正確，請構造出滿足上述所有性質的一個函數(shù)．【變式6-3】（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：．專題22.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 4【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 8【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 10【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 14【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 18【知識點1】當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設為一般式（，，為常數(shù)，），轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當x取什么值時，y＞0？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．（2）描點、連線畫出圖象即可；（3）令y＝0，解方程求得拋物線與x軸交點的橫坐標，根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經過點（2，﹣1），（0，1），（4，1）則4a+2b+c=-1c=1解得：a=1∴二次函數(shù)解析式為y=12x2﹣2（2）用描點法畫出函數(shù)圖象，如圖所示：（3）令y＝0，則12x2﹣2x解得：x1＝2-2，x2＝2+由圖象知，當x＞2+2或x＜2-2時，【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．【分析】先設所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函數(shù)解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進而可得函數(shù)解析式．【解答】解：設所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)題意，得a-b+c=10a+b+c=4解得a=4b=-3∴所求二次函數(shù)解析式為y＝4x2﹣3x+3．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程組4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程組可得b=-5c=6，即可求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的公式x=-b2a，頂點坐標公式(-b2a，【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，得4+2b+c=0①16+4b+c=2②②﹣①，得2b＝﹣10，解得：b＝﹣5，把b＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c＝0，解得：c＝6，∴b=-5c=6∴這個二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，∴二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6對稱軸是直線x=-b由二次函數(shù)的頂點坐標公式（-b2a，二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6頂點坐標：x=-b2a=5即（52【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．【分析】（1）將（m，0）代入直線解析式求解．（2）根據(jù)拋物線對稱軸為直線x＝﹣2可得a與b的關系，再將（﹣1，0），（1，﹣32）代入拋物線解析式求解．（3）聯(lián)立兩方程，根據(jù)圖象交點橫坐標求解．【解答】解：（1）將（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由題意可得拋物線對稱軸為直線x=-b∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得-32=a解得a=-4∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=-13∴拋物線與直線交點橫縱標為﹣1和-13如圖，∴-134＜x＜﹣1時，y1【知識點2】若已知拋物線的頂點或對稱軸、最值，則設為頂點式．這頂點坐標為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當x=h時，y最值=k來求出相應的系數(shù).【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點坐標；（3）觀察圖象，當y＞0時，求自變量x的取值范圍．【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣1，可設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，再通過待定系數(shù)法求解．（2）由拋物線頂點式求解．（3）根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一交點坐標，進而求解．【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，將（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k解得a=-1k=4∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線頂點坐標為（﹣1，4）．（3）∵拋物線經過（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經過（1，0），∴﹣3＜x＜1時，y＞0．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．【分析】由題意設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，拋物線與x軸的交點坐標分別為（﹣4，0）或（2，0），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【解答】解：由拋物線頂點知，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，又與x軸交點間的距離為6，∴交點橫坐標為﹣4與2，∴兩個交點坐標分別為（﹣4，0）、（2，0），設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，把點（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+9．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為﹣4≤y≤0.（直接寫出答案）【分析】（1）根據(jù)頂點坐標設y＝a（x+1）2﹣4，直接把點（1，0）代入即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分別代入解析式，再根據(jù)頂點可得y的取值范圍．【解答】解：（1）∵頂點為（﹣1，﹣4），∴設二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）當x＝﹣2時，y＝﹣3，當x＝1時，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范圍是﹣4≤y≤0．故答案為：﹣4≤y≤0．【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【分析】（1）已知了頂點C坐標，可用頂點式的二次函數(shù)通式設出這個二次函數(shù)，然后根據(jù)A點的坐標可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)（1）中求出的二次函數(shù)的解析式，求出B點的坐標，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標求出AB所在直線的解析式，求出對稱軸與直線AB的交點D的坐標，求三角形CAB的面積轉化為三角形BCD和三角形ACD面積之和即可．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B點的坐標為（0，3），設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3解得：k=-1b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，設對稱軸直線x＝1與直線AB相交與點D，∴當x＝1時，y＝2，∴D點坐標（1，2），所以CD＝4﹣2＝2，S△CAB＝S△BCD+S△ACD=1∴△ABC的面積為3．【知識點3】已知圖像與x軸交于不同的兩點，設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．【分析】設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵拋物線經過點A（﹣1，0），B（3，0），∴設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點D的坐標及△ABD的面積．【分析】（1）先設函數(shù)的交點式，然后將點A和點B代入函數(shù)解析式得到二次函數(shù)的一般式；（2）將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，得到頂點D的坐標，然后求得△ABD的面積．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點D的坐標為（1，﹣4），∴點D到AB的距離為4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD=1【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標M的坐標．（2）求直線CM的解析式．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式．【解答】解：（1）設二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），將C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴頂點坐標M（2，﹣1），（2）設直線CM的解析式為y＝kx+b，將C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：b=32k+b=-1∴k=-2b=3∴y＝﹣2x+3．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點（﹣1，0），（3，0）可設解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入求得a即可．【解答】解：根據(jù)題意可設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴該二次函數(shù)解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．25．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，對稱軸是直線x=52，頂點坐標是（【知識點4】將一個二次函數(shù)的圖像經過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x–h上加上（減去）n；當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點在直線AB上；②設平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線M和直線AB的解析式；（2）先求出直線AB與y軸的交點坐標為（0，4），設平移后拋物線的頂點坐標為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，接著表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面積公式得到12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝4×【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a-b+c=316a+4b+c=8c=0，解得∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x；設直線AB的解析式為y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得-m+n=34m+n=8，解得m＝1，n∴直線AB的解析式為y＝x+4；（2）當x＝0時，y＝x+4＝4，則直線AB與y軸的交點坐標為（0，4），設平移后拋物線的頂點坐標為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，當x＝0時，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，則C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝3×即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12沒有實數(shù)解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【變式4-1】（（2022秋?河東區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點坐標，對稱軸；（2）當x＝＞1時，y隨x的增大而減小；（3）若將拋物線進行平移，使它經過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【分析】（1）先把解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到物線的頂點坐標，對稱軸；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質求解；（3）先設平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出平移后的拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（b2，0），利用兩交點間的距離可計算出b【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以拋物線的頂點坐標為（1，5），對稱軸為直線x＝1；（2）當x＞1時，y隨x的增大而減??；故答案為＞1；（3）因為平移后的拋物線過原點，所以設平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=所以平移后的拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（b2所以|b2|＝4，解得b所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且-12＜x1＜x2，試比較y1，【分析】（1）求得A的坐標，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．【解答】解：（1）∵直線y＝x+1與x軸交于點A，∴A（﹣1，0），∵拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合，∴平移后的拋物線C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線開口向下，故當-12＜x1＜x2，y1＞【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應的拋物線解析式．【分析】（1）利用交點式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進而得出a的值，再利用配方法求出頂點坐標即可；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=-1【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），可設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴頂點坐標（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5個單位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵頂點坐標（2，1）；∴向下平移5個單位，拋物線的頂點為（2，﹣4）；②向左平移2.5個單位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=-1∴向左平移2.5個單位，拋物線的頂點為（-1【知識點5】根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線W1的表達式；（2）將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；（2）由題意求得拋物線W2的頂點坐標和解析式，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，過點M作MN∥x軸，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代數(shù)式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結論．【解答】解：（1）∵拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴a+b-3=09a-3b-3=0解得：a=1b=2∴拋物線W1的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，∴D′（﹣1，4），∴拋物線W2的解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如圖，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，當x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC=1過點M作MN∥x軸，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直線DD′為y＝﹣4x，設點M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m2+2m-34，﹣m2∴MN=m2+2m-3∴S△DD′M=12×m2-2m-3∵△D'DM的面積等于△ABC的面積，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1±10．當m＝1+10時，﹣m2﹣2m+3＝﹣410當m＝1-10時，﹣m2﹣2m+3＝410∴M（1+10，﹣410-10）或（1-10【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關于原點成中心對稱的拋物線的解析式．【分析】求出頂點坐標關于原點對稱的坐標，然后利用頂點式解析式寫出，再整理成一般形式即可．【解答】解：拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其頂點（﹣1，﹣2）關于原點對稱的點的坐標為（1，2），所以，拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為﹣4≤y＜0；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達式為y＝﹣（x+1）2+4．【分析】（1）設頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）計算自變量為﹣3、0對應的函數(shù)值，然后利用函數(shù)圖象寫出對應的函數(shù)值的范圍；（3）利用關于x軸對稱點的性質進而得出答案．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4；（2）當x＝﹣3時，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；當x＝0時，y＝﹣3；所以當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為﹣4≤y＜0，故答案為﹣4≤y＜0；（3）∵函數(shù)y＝（x+1）2﹣4圖象的頂點為（﹣1，﹣4），a＝1∴該函數(shù)的圖象沿x軸翻折后得到的函數(shù)圖象頂點為（﹣1，4），a＝﹣1∴翻折后得到的函數(shù)表達式為y＝﹣（x+1）2+4，故答案為y＝﹣（x+1）2+4．【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關于y軸對稱．（1）求拋物線L的表達式；（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把A點坐標代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，從而得到拋物線L的表達式；（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配方得y＝（x﹣1）2﹣4，則D（1，﹣4），利用關于y軸對稱的點的坐標特征和頂點式得到拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，設P（t，t2+2t﹣3），易得直線BC的解析式為y＝x﹣3，接著計算出四邊形OCDB的面積為152，所以12×3×|t2+t|=152【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴拋物線L的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∴點D關于y軸的對稱點的坐標為（﹣1，﹣4），∴拋物線L關于y軸對稱的拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，設P（t，t2+2t﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∵四邊形OCDB的面積＝S△OCD+S△ODB=12×3×1+而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，∴S△PBC=12×3×|t2+t∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，解方程t2+t＝5得t1=-1+212，t方程t2+t＝5無實數(shù)解，∴P（-1+212，3+212）或（【知識點6】此類題目只給出一些條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一．【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】【例6】（2022?林州市一模）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+1．【分析】根據(jù)二次項系數(shù)小于零，圖象開口向下，一次項系數(shù)等于零，圖象的對稱軸為y軸，常數(shù)項不等于零，圖象不過原點，可得答案．【解答】解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+1，故答案為：y＝﹣x2+1．【變式6-1】（2022?虹口區(qū)二模）請寫出一個圖象的對稱軸為y軸，開口向下，且經過點（1，﹣2）的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【分析】設二次函數(shù)解析式為y＝ax2+c，將（1，﹣2）代入解析式，得到關于a、c的關系式，從而推知a、c的值．【解答】解：∵對稱軸為y軸，∴設二次函數(shù)解析式為y＝ax2+c，將（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式為y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案為：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【變式6-2】（2022秋?二道江區(qū)校級月考）老師給出一個二次函數(shù)，甲，乙，丙三位同學各指出這個函數(shù)的一個性質：甲：函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限；乙：當x＜2時，y隨x的增大而減小，當x＞2時，y隨x的增大而增大；丙：函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個交點；已知這三位同學敘述都正確，請構造出滿足上述所有性質的一個函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3．【分析】利用二次函數(shù)的性質可判斷拋物線開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，于是可設a＝1，c＝1，再利用二次函數(shù)的確定拋物線的對稱軸為直線x＝2，然后利用函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個交點得到拋物線的頂點坐標為（2，0），再設頂點式求拋物線解析式．【解答】解：由函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限可判斷拋物線開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，可設a＝1，c＝1，因為當x＜2時，y隨x的增大而減小，當x＞2時，y隨x的增大而減大，則拋物線的對稱軸為直線x＝2，由函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個交點，則拋物線的頂點坐標為（2，0），所以拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+m，把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，即拋物線解析式為y＝（x﹣2）2﹣3．故答案為y＝（x﹣2）2﹣3．【變式6-3】（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：y＝x2﹣2x+4．【分析】拋物線y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2個單位求解．【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2+1向上平移2個單位可得拋物線y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案為：y＝x2﹣2x+4．第22章二次函數(shù)章末題型過關卷【人教版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋?長汀縣校級月考）在平面直角坐標系中，對于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，下列說法中錯誤的是（）A．y的最小值為1 B．圖象頂點坐標為（2，1），對稱軸為直線x＝2 C．當x＜2時，y的值隨x值的增大而增大 D．當x≥2時，y的值隨x值的增大而增大2．（3分）（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經過點P（﹣2，4），則該圖象必經過點（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．（3分）（2022?浦東新區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣（x+1）2上的兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列結論一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜04．（3分）（2022秋?環(huán)翠區(qū)期中）已知a＞0，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax與y＝﹣ax2的圖象有可能是（）A． B． C． D．5．（3分）（2022?銅仁市）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸有兩個交點A（﹣1，0），B（3，0），拋物線y＝a（x﹣h﹣m）2+k與x軸的一個交點是（4，0），則m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣16．（3分）（2022?黃石）以x為自變量的二次函數(shù)y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤7．（3分）（2022?北京一模）某汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）與行駛的時間t（單位：s）之間近似滿足函數(shù)關系y＝at2+bt（a＜0）．如圖記錄了y與t的兩組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該汽車剎車后到停下來所用的時間為（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s8．（3分）（2022秋?南召縣期中）根據(jù)下面表格中的對應值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.269．（3分）（2022?洪山區(qū)校級自主招生）已知函數(shù)y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，則A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-1210．（3分）（2022秋?江陰市期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，對稱軸為過點（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022?興安盟）若拋物線y＝﹣x2﹣6x+m與x軸沒有交點，則m的取值范圍是．12．（3分）（2022?牡丹江）拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），對稱軸是直線x＝﹣1，則a+b+c＝．13．（3分）（2022秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，函數(shù)y＝ax2+c與y＝mx+n的圖象交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則關于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是．14．（3分）（2022?大連）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A、B（m+2，0）與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為（m，c），則點A的坐標是．15．（3分）（2022?滕州市校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．對于下列命題：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有．16．（3分）（2022秋?任城區(qū)校級期中）已知拋物線y＝x2﹣2x的頂點為點A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為點B，若點M為坐標軸上一點，且MA＝MB，則點M的坐標是．三．解答題（共9小題）17．（6分）（2022秋?翔安區(qū)校級月考）拋物線y＝a（x﹣2）2經過點（1，﹣1）（1）確定a的值；（2）求出該拋物線與坐標軸的交點坐標．18．（6分）（2022?包河區(qū)校級模擬）已知：如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（﹣1，0），點C（0，5），另拋物線經過點（1，8），M為它的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）求△MCB的面積S△MCB．19．（8分）（2022?牧野區(qū)校級三模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．20．（8分）（2022?舟山一模）路橋區(qū)某水產養(yǎng)殖戶利用溫棚養(yǎng)殖技術養(yǎng)殖南美白蝦，與傳統(tǒng)養(yǎng)殖相比，可延遲養(yǎng)殖周期，并從原來的每年養(yǎng)殖兩季提高至每年三季．已知每千克白蝦的養(yǎng)殖成本為8元，在某上市周期的70天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t為整數(shù))-1（1）求日銷售量y與時間t的函數(shù)關系式；（2）求第幾天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克白蝦，就捐贈m（m＜8）元給公益事業(yè)．在這前40天中，已知每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．21．（8分）（2022?蘭州）如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；（2）求這條拋物線的解析式；（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD﹣DC﹣CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？22．（8分）（2022?順義區(qū)期末）某班數(shù)學興趣小組對函數(shù)y＝x2﹣2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請完成下面各小題．（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值如下表：x…﹣3-5﹣2﹣1012523…y…354m﹣10﹣10543…其中，m＝；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分；（3）利用表格與圖象指出，當x取何值時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；（4）進一步探究函數(shù)圖象．①求方程x2﹣2|x|＝2的實數(shù)根的個數(shù)；②關于x的方程x2﹣2|x|＝a有4個實數(shù)根時，求a的取值范圍．23．（8分）（2022?南崗區(qū)校級開學）如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-316ax2+58ax+3a（a≠0）與x軸交于A和點B（A在左，B在右），與y軸的正半軸交于點C，且（1）求拋物線的解析式；（2）若D為OB中點，E為CO中點，動點F在y軸的負半軸上，G在線段FD的延長線上，連接GE、ED，若D恰為FG中點，且S△GDE=272，求點（3）在（2）的條件下，動點P在線段OB上，動點Q在OC的延長線上，且BP＝CQ．連接PQ與BC交于點M，連接GM并延長，GM的延長線交拋物線于點N，連接QN、GP和GB，若角滿足∠QPG﹣∠NQP＝∠NQO﹣∠PGB時，求NP的長．第22章二次函數(shù)章末題型過關卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋?長汀縣校級月考）在平面直角坐標系中，對于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，下列說法中錯誤的是（）A．y的最小值為1 B．圖象頂點坐標為（2，1），對稱軸為直線x＝2 C．當x＜2時，y的值隨x值的增大而增大 D．當x≥2時，y的值隨x值的增大而增大【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確．【解答】解：二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，1），當x＝2時，y有最小值1，當x≥2時，y的值隨x值的增大而增大，當x＜2時，y的值隨x值的增大而減小；故選項A、B、D的說法正確，C的說法錯誤；故選：C．2．（3分）（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經過點P（﹣2，4），則該圖象必經過點（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2的對稱軸為y軸，∴若圖象經過點P（﹣2，4），則該圖象必經過點（2，4）．故選：A．3．（3分）（2022?浦東新區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣（x+1）2上的兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列結論一定成立的是（）A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質得到拋物線y＝﹣（x+1）2的開口向下，有最大值為0，對稱軸為直線x＝﹣1，則在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1時，y1＜y2＜0．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，∴a＝﹣1＜0，有最大值為0，∴拋物線開口向下，∵拋物線y＝﹣（x+1）2對稱軸為直線x＝﹣1，而x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2＜0．故選：A．4．（3分）（2022秋?環(huán)翠區(qū)期中）已知a＞0，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax與y＝﹣ax2的圖象有可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質、正比例函數(shù)的性質對各個選項中的圖象進行判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)正比例函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，則a＞0，二次函數(shù)圖象開口向上，則﹣a＞0，則a＜0，故選項錯誤；B、根據(jù)正比例函數(shù)圖象y隨x的增大而減小，則a＜0，與已知矛盾，故選項錯誤；C、根據(jù)正比例函數(shù)圖象y隨x的增大而減小，則a＜0，二次函數(shù)圖象開口向下，則﹣a＜0，則a＞0，故選項錯誤；D、根據(jù)正比例函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，則a＞0，二次函數(shù)圖象開口向上，則﹣a＜0，則a＞0，故選項正確．故選：D．5．（3分）（2022?銅仁市）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸有兩個交點A（﹣1，0），B（3，0），拋物線y＝a（x﹣h﹣m）2+k與x軸的一個交點是（4，0），則m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1【分析】先利用二次函數(shù)的性質得到兩拋物線的對稱軸，然后利用A點或B點向右平移得到點（4，0）得到m的值．【解答】解：∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k的對稱軸為直線x＝h，拋物線y＝a（x﹣h﹣m）2+k的對稱軸為直線x＝h+m，∴當點A（﹣1，0）平移后的對應點為（4，0），則m＝4﹣（﹣1）＝5；當點B（3，0）平移后的對應點為（4，0），則m＝4﹣3＝1，即m的值為5或1．故選：C．6．（3分）（2022?黃石）以x為自變量的二次函數(shù)y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（）A．b≥54 B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤【分析】由于二次函數(shù)y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，所以拋物線的頂點在x軸上或上方或在x軸的下方經過一、二、四象限，根據(jù)二次項系數(shù)知道拋物線開口方向向上，由此可以確定拋物線與x軸有無交點，拋物線與y軸的交點的位置，由此即可得出關于b的不等式組，解不等式組即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，∵二次項系數(shù)a＝1，∴拋物線開口方向向上，當拋物線的頂點在x軸上或上方時，則b2﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，解得b≥5當拋物線的頂點在x軸的下方時，設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1，x2，∴x1+x2＝2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0，∴△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①b﹣2＞0，②b2﹣1≥0，③由①得b＜54，由②得∴此種情況不存在，∴b≥5故選：A．7．（3分）（2022?北京一模）某汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）與行駛的時間t（單位：s）之間近似滿足函數(shù)關系y＝at2+bt（a＜0）．如圖記錄了y與t的兩組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該汽車剎車后到停下來所用的時間為（）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【分析】直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進而得出對稱軸即可得出答案．【解答】解：將（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：6=1解得：a=-6b=15故拋物線解析式為：y＝﹣6t2+15t，當t=-b2a=-則該汽車剎車后到停下來所用的時間為1.25秒．故選：B．8．（3分）（2022秋?南召縣期中）根據(jù)下面表格中的對應值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.03，則x取2.24到2.25之間的某一個數(shù)時，使ax2+bx+c＝0，于是可判斷關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.03，∴關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．故選：C．9．（3分）（2022?洪山區(qū)校級自主招生）已知函數(shù)y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-54，則A．m≥﹣2 B．0≤m≤12 C．﹣2≤m≤-12【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再求得函數(shù)在頂點處的函數(shù)值，根據(jù)已知條件最小值是-54，得出m≤-12；再求得當【解答】解：解法一：∵函數(shù)y＝x2+x﹣1的對稱軸為直線x=-1∴當x=-12時，y有最小值，此時y=1∵函數(shù)y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是-5∴m≤-1∵當x＝1時，y＝1+1﹣1＝1，對稱軸為直線x=-1∴當x=-12-[1﹣（-∵函數(shù)y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤-1∴﹣2≤m≤-1解法二：畫出函數(shù)圖象，如圖所示：y＝x2+x﹣1＝（x+12）2∴當x＝1時，y＝1；當x=-12，y=-54，當∵函數(shù)y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是-5∴﹣2≤m≤-1故選：C．10．（3分）（2022秋?江陰市期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，對稱軸為過點（-12，0）且平行于A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個選項中的結論是否成立，從而可以解答本題．【解答】解：由圖象可得，a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，故選項A錯誤；∵對稱軸為直線x=-1∴-b2a=-12，得a＝b，a∵當x＝1時，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故選項C錯誤；∵對稱軸為直線x=-12，當x＝1時，∴x＝﹣2時的函數(shù)值與x＝1時的函數(shù)值相等，∴x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故選項D正確；故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022?興安盟）若拋物線y＝﹣x2﹣6x+m與x軸沒有交點，則m的取值范圍是m＜﹣9．【分析】根據(jù)拋物線y＝﹣x2﹣6x+m與x軸沒有交點，可知當y＝0時，0＝﹣x2﹣6x+m，Δ＜0，從而可以求得m的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2﹣6x+m與x軸沒有交點，∴當y＝0時，0＝﹣x2﹣6x+m，∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，解得，m＜﹣9故答案為：m＜﹣9．12．（3分）（2022?牡丹江）拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），對稱軸是直線x＝﹣1，則a+b+c＝0．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一交點為（1，0），由此求出a+b+c的值．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），對稱軸是直線x＝﹣1，∴y＝ax2+bx+c與x軸的另一交點為（1，0），∴a+b+c＝0．故答案為：0．13．（3分）（2022秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，函數(shù)y＝ax2+c與y＝mx+n的圖象交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則關于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關系，即可得出結論．【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：當x＜﹣1或x＞3時，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+c的下方，∴關于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案為：x＜﹣1或x＞3．14．（3分）（2022?大連）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A、B（m+2，0）與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為（m，c），則點A的坐標是（﹣2，0）．【分析】根據(jù)函數(shù)值相等兩點關于對稱軸對稱，可得對稱軸，根據(jù)A、B關于對稱軸對稱，可得A點坐標．【解答】解：令x＝0，得到x＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=m設A點坐標為（x，0），由A、B關于對稱軸x=mx+m+22解得x＝﹣2，即A點坐標為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）．15．（3分）（2022?滕州市校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．對于下列命題：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有③④．【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向可得a＞0，根據(jù)圖象與y軸交點可得c＜0，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=-b2a，結合圖象與x軸的交點可得對稱軸為直線x＝1，結合對稱軸公式可判斷出①的正誤；根據(jù)對稱軸公式結合a的取值可判定出b＜0，根據(jù)a、b、c的正負即可判斷出②的正誤；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，即可判斷出③的正誤；利用當x＝4時，y＞0，則16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+【解答】解：根據(jù)圖象可得：拋物線開口向上，則a＞0．拋物線與y交與負半軸，則c＜0，對稱軸：x=-b①∵它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0），∴對稱軸是直線x＝1，∴-b∴b+2a＝0，故①錯誤；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②錯誤；③∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，又由①得b＝﹣2a，∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，故③正確；④根據(jù)圖示知，當x＝4時，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴8a+c＞0；故④正確；綜上所述，正確的結論是：③④，故答案為：③④16．（3分）（2022秋?任城區(qū)校級期中）已知拋物線y＝x2﹣2x的頂點為點A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為點B，若點M為坐標軸上一點，且MA＝MB，則點M的坐標是（1，0）或（0，1）．【分析】先將拋物線頂點A的坐標求出來，作AC⊥x軸于點C，取AB中點E，作直線EC交y軸于點C，直線與CE與坐標軸交點坐標即為所求．【解答】解：把x＝0代入y＝x2﹣2x得x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴點B坐標為（2，0），∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴點A坐標為（1，﹣1），連接AB，作AC⊥x軸于點C，取AB中點E，作直線EC交y軸于點C，則點C坐標為（1，0），點E坐標為（1+22，-1+02）即（∴AC＝BC＝1，點C滿足題意，直線CE為線段AB的垂直平分線，設直線CE解析式為y＝kx+b，把（1，0），（32，-0=k+b-解得k=-1b=1∴y＝﹣x+1，∴點D坐標為（0，1），∴點M的坐標為（1，0）或（0，1），故答案為：（1，0）或（0，1）．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋?翔安區(qū)校級月考）拋物線y＝a（x﹣2）2經過點（1，﹣1）（1）確定a的值；（2）求出該拋物線與坐標軸的交點坐標．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直接把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2可求出a＝﹣1；（2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征，分別計算出自變量為0時的函數(shù)值和函數(shù)值為0時對應的自變量的值，即可得到該拋物線與坐標軸的交點坐標．【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a?（1﹣2）2＝﹣1解得a＝﹣1（2）拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）2，當y＝0時，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，所以拋物線與x軸交點坐標為（2，0）；當x＝0時，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，所以拋物線與y軸交點坐標為（0，﹣4）．18．（6分）（2022?包河區(qū)校級模擬）已知：如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（﹣1，0），點C（0，5），另拋物線經過點（1，8），M為它的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）求△MCB的面積S△MCB．【分析】（1）將已知的三點坐標代入拋物線中，即可求得拋物線的解析式．（2）可根據(jù)拋物線的解析式先求出M和B的坐標，由于三角形MCB的面積無法直接求出，可將其化為其他圖形面積的和差來解．過M作ME⊥y軸，三角形MCB的面積可通過梯形MEOB的面積減去三角形MCE的面積減去三角形OBC的面積求得．【解答】解：（1）依題意：a-b+c=0a+b+c=8解得a=-1∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0）．由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y軸于點E，可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC=12（2+5）×9-119．（8分）（2022?牧野區(qū)校級三模）已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．【分析】（1）設拋物線解析式為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2，把點（0，11）代入求值即可；（2）①利用拋物線解析式求得點A、B的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性質和方程思想求得m的值即可；②根據(jù)拋物線的對稱性質知：當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．結合圖象，得n≥﹣2且n+1≤4．解該不等式組得到：﹣2≤n≤3．【解答】解：（1）∵頂點為（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y(tǒng)＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵拋物線過點（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性質知，平移后的拋物線的表達式為y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情況討論：若點A，B均在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（3x，0），由對稱性可知：12（x+3x）＝1，解得x=故點A的坐標為（12將點A的坐標代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0=14-解得m=若點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，設A（x，0），則B（﹣3x，0），由對稱性可知：12（x﹣3x解得x＝﹣1，故點A的坐標為（﹣1，0），同理可得m＝6，綜上：m=94或②∵新拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＝4和x＝﹣2時，函數(shù)值相等．又∵當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，∴結合圖象，得n≥-2n+1≤4∴﹣2≤n≤3．20．（8分）（2022?舟山一模）路橋區(qū)某水產養(yǎng)殖戶利用溫棚養(yǎng)殖技術養(yǎng)殖南美白蝦，與傳統(tǒng)養(yǎng)殖相比，可延遲養(yǎng)殖周期，并從原來的每年養(yǎng)殖兩季提高至每年三季．已知每千克白蝦的養(yǎng)殖成本為8元，在某上市周期的70天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如下：p=14t+20，(1≤t≤40，t為整數(shù))-1（1）求日銷售量y與時間t的函數(shù)關系式；（2）求第幾天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克白蝦，就捐贈m（m＜8）元給公益事業(yè)．在這前40天中，已知每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；（2）設日銷售利潤為w元，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤＝每千克利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質分別求得最值即可判斷；（3）依據(jù)（2）中相等關系列出函數(shù)解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數(shù)的性質可得答案．【解答】解：（1）設所求解析式為y＝kx+b（k≠0），將（1，198）、（70，60）代入，得：k+b=19870k+b=60解得：k=-2b=200∴y＝﹣2t+200（1≤t≤70，t為整數(shù)），∴日銷售量y與時間t的函數(shù)關系式y(tǒng)＝﹣2t+200；（2）設日銷售利潤為w元，則w＝（p﹣8）y，①在1≤t≤40時，w＝（14t+20﹣8）（﹣2t=-12（t﹣26）∵-1∴當t＝26時，wmax＝2738；②當40＜t≤70時，w＝（-12t+50﹣8）（﹣2＝（t﹣92）2﹣64，∵1＞0，∴當t＜92時，w隨t的增大而減小，∴當t＝41時，w最大，最大值＝（41﹣92）2﹣64＝2537，∵2738＞2537，∴第26天利潤最大，最大