2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題41 空間點、直線、平面的位置關系-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練(解析版)

專題41空間點、直線、平面的位置關系題型一平面的概念與特點【例1】下列命題中正確命題的個數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根據(jù)基本事實3可知①④正確，②③錯誤．故選B.【變式1-1】關于平面的說法，正確的有（）①平面是絕對平的且是無限延展的；②平面的形狀是平行四邊形；③三角形可以表示平面；④某一個平面的面積為1m2；⑤8個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來厚．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【解析】對于①，由平面的概念可得平面是絕對平的且是無限延展的，故①正確；對于②，由平面的概念可判斷②錯誤；對于③，可以用三角形表示平面，故③正確；對于④，平面是無限延展的，所以④錯誤；對于⑤，平面沒有厚度，所以⑤錯誤.所以說法正確的有2個.【變式1-2】下列敘述中，一定是平面的是（）A．一條直線平行移動形成的面B．三角形經(jīng)過延展得到的面C．組成圓錐的面D．正方形圍繞一條邊旋轉形成的面【答案】B【解析】直線平行移動可以形成平面成曲面，只有在方向不變的情況下才能得到平面，所以A不對；組成圓錐的面叫曲面，所以C不對；正方形圍繞一條邊旋轉形成的面可能是曲面，所以D不對.【變式1-3】有以下命題：①8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；②有一個平面的長是，寬是；③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】根據(jù)平面的特點：沒有厚度、寬度、長度、以及平面是無限延展的，三個命題均錯.題型二符號的正確使用【例2】根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．（1）點P與直線AB；（2）點C與直線AB；（3）點M與平面AC；（4）點A1與平面AC；（5）直線AB與直線BC；（6）直線AB與平面AC；（7）平面A1B與平面AC.【解析】（1）點P∈直線AB.（2）點C?直線AB.（3）點M∈平面AC.（4）點A1?平面AC.（5）直線AB∩直線BC＝點B.（6）直線AB?平面AC.（7）平面A1B∩平面AC＝直線AB.【變式2-1】下列命題中，正確命題的個數(shù)為()①平面的基本性質1可用集合符號敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；②四邊形的兩條對角線必相交于一點；③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四條邊作為平面的邊界線．A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】A【解析】①中，l∈α不對，應為l?α；②中，當四邊形的四個頂點不共面時，兩條對角線不能相交；③中，平面是無限延展的，用平行四邊形表示平面，但是平行四邊形的邊并不表示平面的邊界線，故選A．【變式2-2】文字語言敘述“平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內(nèi)”用符號表述是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A?α,A?a))?A?αB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,A∈a))?A∈αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A?a))?A∈αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A∈a))?A?α【答案】B【解析】點與線或面之間的關系是元素與集合的關系，用“∈”表示，線與面之間的關系是集合與集合的關系，用“?”表示．【變式2-3】如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?αB．l?αC．l∩α＝MD．l∩α＝N【答案】A【解析】∵M∈a，a?α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.題型三基本事實與推論理解【例3】下列說法錯誤的是（）A.平面與平面相交，它們只有有限個公共點B.經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面C.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面D.如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合【答案】（1）A（2）D【解析】A.平面與平面相交，它們只有有限個公共點；平面與平面相交成一條直線，因此它們有無限個公共點.A錯誤.B.經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；直線和直線外一點確定一個平面，B正確C.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；兩條相交直線確定一個平面，C正確D.如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合；不共線的三點確定一個平面，D正確故答案選A．【變式3-1】（多選）下列說法中錯誤的是（）A．不共面的四點中，任意三點不共線B．三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)C．有三個不同公共點的兩個平面重合D．依次首尾相接的四條線段不一定共面【答案】BC【解析】由公理2易知選項AD正確；對于選項B：如正方體中，具有同一頂點的三條棱不在同一平面內(nèi)，故選項B錯誤;對于選項C:三個不同的公共點可在兩平面的交線上.,故選項C錯誤;故選:BC【變式3-2】若一直線上有兩點在已知平面外，則下列結論中正確的是（）A.直線上所有的點都在平面外B.直線上至少有一個點在平面內(nèi)C.直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D.直線上有無數(shù)多個點都在平面外【答案】D【解析】一直線上有兩點在已知平面外，則直線與平面平行或相交.直線與平面相交時，有且只有一個點在平面內(nèi)，故A，C不對；直線與平面平行時，直線上沒有一個點在平面內(nèi)，故B不對.【變式3-3】下列命題中，正確的命題是（）A．任意三點確定一個平面B．三條平行直線最多確定一個平面C．不同的兩條直線均垂直于同一個平面，則這兩條直線平行D．一個平面中的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行【答案】C【解析】在A中，不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；在B中，三條平行直線最多確定三個平面，故B錯誤；在C中，不同的兩條直線均垂直于同一個平面，則由線面垂直的性質定理得這兩條直線平行，故C正確；在D中，一個平面中的兩條相交直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行，故D錯誤．故選：C．題型四四點共面的證明【例4】如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H，分別為AB，AC，BD，CD的中點.求證E，F(xiàn)，G，H，四點共面.【解析】證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，AC，BD，CD的中點，∴EF∥BC，GH∥BC由平行的傳遞性可知，EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面【變式4-1】如圖，已知ABCD?A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且【解析】證明：如圖，在DD1上取點N，使DN=1，連接EN，則AE=DN=1，CF=ND因為AE∥DN，ND所以四邊形ADNE，CFD從而EN∥AD，且EN=AD，F(xiàn)D又因為AD=BC，AD∥BC，所以EN=BC，EN∥BC，故四邊形BCNE是平行四邊形，所以CN∥BE，從而FD因此E，B，F(xiàn)，D1【變式4-2】如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：E、C、D1、F四點共面。【解析】連接.∵分別是和的中點，∴.又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴與確定一個平面，∴四點共面．【變式4-3】下列如圖所示是正方體和正四面體，分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．【答案】①②③【解析】在④圖中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面．可證①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如圖所示取A1A與BC的中點為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．題型五多線共面的證明【例5】已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求證：直線AB，BC，AC共面．【證明】法一：因為AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個平面α.因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α.因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．法二：因為A不在直線BC上，所以點A和直線BC可確定一個平面α.因為B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：因為A，B，C三點不在同一條直線上，所以A，B，C三點可以確定一個平面α.因為A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．【變式5-1】已知四點和直線，且，，，，求證：直線共面.【解析】證明：因為，所以直線與點可以確定平面，如圖所示，因為，所以，又，所以.同理可證，，所以，，在同一平面內(nèi)，即直線，，共面【變式5-2】證明：兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).【證明】如圖，直線a，b，c，d兩兩相交，交點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，∵直線a∩直線b=∴直線a與直線b確定平面設為α，即a,b?α，∵B,C∈a，E,F∈∴B,C,E,F∈α，而B,F∈c，C,E∈∴c,d?α，綜上，a,b,c,d在同一平面內(nèi).【變式5-3】已知一直線與三條平行線都相交，求證：這四條直線在同一個平面內(nèi)．【解析】設直線l分別與直線a,b,c相交于點A,B,C，因為l與a相交，所以直線l與a共面，又l與b相交，所以直線l與b共面，因為a∥b，所以a,b也共面，所以l與a,b都共面，同理可以證明出l與a,b,c都共面，即四條直線都在同一平面內(nèi)。題型六三線共點的證明證明三線共點的步驟（1）首先說明兩條直線共面且交于一點；（2）說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；（3）得到交線也過此點，從而得到三線共點．【例6】如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：CE、D1F、DA三線共點．【解析】由題意知：，且，∴直線與必相交，設.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面與平面的公共點，又平面平面，∴，∴三線共點．【變式6-1】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點).【解析】因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.所以AB，CD必定相交于一點.設AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點(相交于一點).【變式6-2】如圖，四面體A-BCD中，E，G分別為BC，AB的中點，證明：EF，BD交于一點.【解析】連接GH，EF，∵E,G分別是BC，AB的中點，∴EG∥AC，∵F∈CD，H∈AD，DFFC∴FH∥AC，∴FH∥GE，F(xiàn)H≠GE，則EF，設EF∩GH=O，∵O∈lEF?∴O∈平面∵平面BCD∩由基本事實3可知，EF，GH，BD交于一點.題型七三點共線的證明證明三點共線的方法（1）首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．（2）選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．【例7】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．【解析】在正方體AC1中，設平面A1ACC1確定的平面為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.則Q是α與β的公共點，同理P是α與β的公共點，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ.故P，Q，R三點共線．【變式7-1】如圖，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求證：B，E，D三點共線.【證明】∵AB∥CD，∴AB，CD可確定一個平面，設為平面β，∴AC在平面β內(nèi)，即E在平面β內(nèi).而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E為平面α與平面β的公共點，根據(jù)