2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題46 直線與平面垂直-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題46直線與平面垂直題型一對(duì)判定定理和性質(zhì)定理的理解【例1】下列說法正確的有________(填序號(hào))．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直．【答案】②【解析】因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．由線面垂直的定義可得，故②正確．因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確．【變式1-1】下面四個(gè)命題：①過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條；②過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條；③過一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)；④過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè)．其中正確的是()A．①④B．②③C．①②D．③④【答案】B【解析】過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條，故①不正確；過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故④不正確；易知②③均正確．故選B.【變式1-2】若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【答案】C【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.【變式1-3】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________(填序號(hào))．【答案】①③④【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直．而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．故填①③④.題型二線面垂直的判斷【例2】如果直線與平面滿足，，，，那么必有（）A.且B.且C.且D.和【答案】A【解析】∵，∴.∵，∴，故選A.【變式2-1】設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，則下列判斷正確的是()A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，則【答案】B【解析】A選項(xiàng)不正確，根據(jù)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)直線平行，可得；B選項(xiàng)正確，若，則存在，在平面內(nèi)存在，由，可得，由線面垂直的判定定理可得；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)楦鶕?jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上“在平面內(nèi)或者平行于”這個(gè)條件，才能判定；D選項(xiàng)不正確，直線可能在平面上．【變式2-2】直線a⊥直線b，a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系是()A．b⊥βB．b∥βC．b?βD．b?β或b∥β【答案】D【解析】以如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1為模型．A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD，故選D．【變式2-3】下列命題①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))?a⊥b;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b?α,c?α))?a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))?b∥α．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】因?yàn)閍⊥α，則a與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，∴①正確．又若b∥α，a⊥α，由線面平行的性質(zhì)及空間兩直線所成角的定義知，a⊥b成立，∴③對(duì)；兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也垂直于這個(gè)平面；∴②正確；由線面垂直的判定定理知④錯(cuò)；a∥α，b⊥a時(shí)，b與α可以平行相交(垂直)也可以b?α，∴⑤錯(cuò)．當(dāng)a⊥α，b⊥a時(shí)，有b∥α或b?α，∴⑥錯(cuò)．【變式2-4】如圖已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又∵ABCD為矩形，∴BC⊥AB，CD⊥AD，又PA⊥BC，PA⊥CD，PA∩AB＝A，PA∩AD＝A，∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，∴BC⊥PB，CD⊥PD，∴直角三角形為：Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PBC，Rt△PDC共4個(gè)．題型三線面垂直的證明【方法小結(jié)】利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟：（1）在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；（2）確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；（3）根據(jù)判定定理得出結(jié)論?！纠?】在正方體中ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC．【解析】如圖所示，連接AB1、CB1、B1D1、PB1、PO.設(shè)AB＝a，則AB1＝CB1＝B1D1＝eq\r(2)a，AO＝OC＝eq\f(\r(2),2)a，∴B1O⊥AC．∵B1O2＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋a2＝eq\f(3,2)a2，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋(eq\r(2)a)2＝eq\f(9,4)a2，OP2＝PD2＋DO2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3,4)a2，∴B1O2＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)，∴B1O⊥OP.又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．【變式3-1】如圖，在四面體A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.【解析】取CD的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G.又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.【變式3-2】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．（1）求證：AN⊥平面PBM.（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【解析】（1）∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.（2）由（1）知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.【變式3-3】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．證明：A1D⊥平面A1BC；【答案】見解析【解析】設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接A1E，AE.由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.連接DE，由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DE∥B1B且DE＝B1B，從而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE為平行四邊形．于是A1D∥AE.因?yàn)锳E⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.【變式3-4】如圖所示，已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心．求證：PH⊥平面ABC．【解析】H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC．∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC．又AH∩PA＝A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH.同理AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC．【變式3-5】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：BD⊥平面PAC．【解析】∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．∵∠BAD和∠ABC都是直角，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．題型四線面垂直證明線線垂直【方法小結(jié)】若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)；【例4】如圖，已知正方體A1C.（1）求證：A1C⊥B1D1.（2）M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.【解析】（1）如圖，連接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.（2）如圖，連接B1A，AD1.∵B1C1∥AD，B1C1=AD，∴四邊形ADC1B1為平行四邊形，∴C1D∥AB1.∵M(jìn)N⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵M(jìn)N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由（1）知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1，∴A1C∥MN.【變式4-1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1【解析】∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.【變式4-2】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF與以異面直線AC,A1D都垂直相交，求證：EF//BD1.【解析】連接AB1，B1C，BD，B1D1，BD1，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC，又AC⊥BD，所以AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BD1.同理B1C⊥BD1，所以BD1⊥平面AB1C.又EF⊥A1D，A1D∥B1C，又EF⊥AC，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.【變式4-3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，PB＝PD.求證：PC⊥BD；【解析】取BD的中點(diǎn)O，連接CO，PO，因?yàn)镃D＝CB，所以△CBD為等腰三角形，所以BD⊥CO因?yàn)镻B＝PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，所以BD⊥平面PCO因?yàn)镻C?平面PCO，所以PC⊥BD；題型五線面垂直證明線線平行【例5】如圖在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，點(diǎn)A在SB和SC上的射影分別是N、M，求證：MN⊥SC．【解析】∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴AN⊥BC，又AN⊥SB，∴AN⊥平面SBC，∴AN⊥SC，又AM⊥SC，∴SC⊥平面AMN，∴MN⊥SC．【變式5-1】如圖，正四棱錐S－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的eq\r(2)倍，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．（1）求證：AC⊥SD；（2）F為SD的中點(diǎn)，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC．【解析】（1）如圖，連接SO.∵SA＝SC，O為AC的中點(diǎn)，∴SO⊥AC，又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SD.（2）如圖，連接OP.∵SD⊥平面PAC，PO?平面PAC，∴SD⊥OP.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∴BD＝eq\r(2)a.又∵SB＝eq\r(2)a，∴SB＝BD.又∵F為SD的中點(diǎn)，∴SD⊥BF.又∵BF?平面SBD，OP?平面SBD，∴BF∥OP.又OP?平面PAC，BF?平面PAC，∴BF∥平面PAC．【變式5-2】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠DAB＝60°.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；（2）求證：AD⊥PB.【解析】（1）如圖，在菱形ABCD中，連接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形，∵G是AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PA