《自動控制原理》課件第7章

第七章線性離散系統(tǒng)的分析7.1離散系統(tǒng)的基本概念7.2信號采樣與保持7.3Z變換7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析習(xí)題七

前面幾章所研究的控制系統(tǒng)中，所有變量都是時間

的連續(xù)函數(shù)，

這類系統(tǒng)被稱為連續(xù)控制系統(tǒng)，其中控制器是由模擬裝置實(shí)現(xiàn)的。隨著數(shù)字計算機(jī)及微處理器的快速發(fā)展，

其在控制系統(tǒng)的應(yīng)用已相當(dāng)普遍。根據(jù)工程需要，數(shù)字控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論，

即離散系統(tǒng)理論的發(fā)展非常迅速。

離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析研究方法上的相似性。線性離散系統(tǒng)，可用差分方程來描述，其中采用Z變換的方法分析離散系統(tǒng)，使其分析方法與連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法非常相似，從而使得連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，可以推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)。

本章基于Z變換的方法討論線性離散系統(tǒng)的基本理論、基本概念和基本方法。

7.1離散系統(tǒng)的基本概念

一般來說，當(dāng)離散控制系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式(時間上離散)時，系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng);而當(dāng)離散系統(tǒng)中的離散信號是數(shù)碼或數(shù)字序列形式(時間上離散、幅值上量化)時，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機(jī)控制系統(tǒng)。在理想采樣及忽略量化誤差情況下，數(shù)字控制系統(tǒng)近似于采樣控制系統(tǒng)，將它們統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)，從而使采樣控制系統(tǒng)與數(shù)字控制系統(tǒng)的分析在理論上統(tǒng)一了起來。

7.1.1采樣控制系統(tǒng)

采樣控制最早出現(xiàn)在某些慣性非常大或具有較大時延特性的被控對象的控制中，因?yàn)檫@類系統(tǒng)采用連續(xù)控制方式往往不能得到滿意的控制效果。如圖7－1所示工業(yè)爐溫自動

控制系統(tǒng)，其工作原理如下:當(dāng)給定爐溫與溫度傳感器檢測到的實(shí)際爐溫不相等時，通過比較器會產(chǎn)生誤差信號，誤差信號經(jīng)過放大環(huán)節(jié)和執(zhí)行環(huán)節(jié)帶動燃料供應(yīng)閥開度變化，當(dāng)

實(shí)際爐溫高于給定爐溫時，閥門開度變小，以使?fàn)t溫降低;當(dāng)實(shí)際爐溫低于給定爐溫時，閥門開度變大，以使?fàn)t溫升高，從而達(dá)到自動控制爐溫的目的。圖7－1爐溫連續(xù)控制系統(tǒng)

在爐溫控制過程中如果采用連續(xù)控制方式，無法解決控制精度和動態(tài)性能之間的矛盾。因?yàn)楸豢貙ο蠊I(yè)爐通常是一個具有時延的慣性單元，其傳遞函數(shù)可以表示為:e-τs/(

Ts+1)，且時延τ可達(dá)數(shù)秒或數(shù)十秒，慣性時間常數(shù)T

可達(dá)千秒以上，因此爐溫的變化需要相當(dāng)長的時間。而在整個控制器中，執(zhí)行電機(jī)的時間常數(shù)相對于工業(yè)爐的延遲時間和時間常數(shù)顯得很小，因此，可將放大器、執(zhí)行電機(jī)和溫度傳感器等環(huán)節(jié)都看成是比例環(huán)節(jié)K

，燃料供應(yīng)閥是一個積分環(huán)節(jié)。

在這個系統(tǒng)中，比例系數(shù)K

的設(shè)計非常困難，因?yàn)楫?dāng)K

選取較大值時，系統(tǒng)靈敏度高，電機(jī)對很小的溫度偏差也很敏感，如當(dāng)有一個很小的溫度偏差(爐溫低于給定溫度)時，電機(jī)很快轉(zhuǎn)動，開大燃料供應(yīng)閥，但由于爐子的延時和大慣性特性，爐溫的上升過程很緩慢，因此，等到爐溫達(dá)到給定值時，閥門開度早已過量，這時，電機(jī)即使停轉(zhuǎn)甚至反轉(zhuǎn)，爐溫仍繼續(xù)升高。同理，此后減小閥門開度，同樣會調(diào)節(jié)過度。如此反復(fù)調(diào)節(jié)閥門，造成爐溫大幅度振蕩。如果K

選擇過小，系統(tǒng)的靈敏度低，反應(yīng)遲鈍，只有誤差信號足夠大才能使電機(jī)克服“死區(qū)”(靜摩擦)而轉(zhuǎn)動，從而使閥門開度變化，這樣會使調(diào)節(jié)誤差很大，調(diào)節(jié)時間變長。

為了克服上述缺陷，可以采用采樣控制。如圖7－2所示，在誤差信號和放大器與執(zhí)行電機(jī)之間裝一個采樣開關(guān)S，則系統(tǒng)成為爐溫的采樣控制系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)中，采樣開關(guān)每隔T秒接通一次，每次接通時間為τ秒。這樣當(dāng)爐溫誤差如圖7－3(a)所示連續(xù)變化時，采樣開關(guān)輸出的是一串離散誤差信號，如圖7－3(b)所示。由此可知，在每個采樣周期T秒中，只有在開關(guān)S接通的很小的τ秒?yún)^(qū)間內(nèi)，誤差信號才能經(jīng)放大器來驅(qū)動執(zhí)行電機(jī)，控制燃料供應(yīng)閥，調(diào)節(jié)閥門開度，而在其余大部分時間內(nèi)，電機(jī)處于停機(jī)狀態(tài)，等待爐溫慢慢變化，從而使調(diào)節(jié)過量的情況大大減輕，甚至于采用較大的放大倍數(shù)K，系統(tǒng)仍能保證穩(wěn)定，并使?fàn)t溫調(diào)節(jié)過程無超調(diào)。圖7－2爐溫采樣控制系統(tǒng)圖7－3誤差信號及其采樣

在上述系統(tǒng)中，作用于放大器和執(zhí)行電機(jī)上的信號是具有一定時間間隔的脈沖信號序列，即信號變量是時間的離散函數(shù);同時系統(tǒng)中有些變量是時間的連續(xù)函數(shù)，如爐溫。在

采樣控制系統(tǒng)中，為了使連續(xù)信號和離散信號之間能互相傳遞，在連續(xù)信號和脈沖序列之間需要采樣開關(guān)，又稱采樣器;在脈沖序列和連續(xù)信號之間需要保持器，以實(shí)現(xiàn)信號的變換。采樣器和保持器是采樣控制系統(tǒng)的兩個特殊環(huán)節(jié)，將在后面對它們進(jìn)行敘述。

根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同，可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)。如果采樣器位于系統(tǒng)的閉合回路之外，或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路，則稱為開環(huán)采樣系統(tǒng);如果采樣器位于

系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)，則稱為閉環(huán)采樣系統(tǒng)。其中，用得最多的是誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，其典型結(jié)構(gòu)圖如圖7－4所示。圖中，

S為理想采樣開關(guān)，其采樣瞬時的脈沖幅值等于相應(yīng)采樣瞬時誤差信號e(t

)的幅值，且采樣持續(xù)時間τ趨于零;Gh(s)為保持器的傳遞函數(shù);Gp(s)為被控對象的傳遞函數(shù);H(s)為測量變送反饋元件的傳遞函數(shù)。圖7－4采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

7.1.2數(shù)字控制系統(tǒng)

隨著數(shù)字控制器和計算機(jī)的出現(xiàn)，采樣控制方式在現(xiàn)代工業(yè)控制中應(yīng)用更為廣泛，形成了數(shù)字控制系統(tǒng)。所謂數(shù)字控制系統(tǒng)，是指一種以數(shù)字計算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)

工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)，通常又稱為計算機(jī)控制系統(tǒng)。由于數(shù)字計算機(jī)具有運(yùn)算速度快、精度高、集成化、容量大、功能多、體積小以及使用上的通用性和靈活性等特

點(diǎn)，因此在軍事、航空航天以及工業(yè)過程控制中，得到了廣泛應(yīng)用。

數(shù)字控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖7－5所示。它由工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字控制器(數(shù)字計算機(jī)及接口電路)Gc

(s)和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象G0

(s)和測量元件

H(s)組成。因此在數(shù)字控制系統(tǒng)中，需要設(shè)置A/D和D/A轉(zhuǎn)換裝置，以實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號和數(shù)字信號之間的轉(zhuǎn)換。即數(shù)字計算機(jī)在對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時控制時，在每個采樣周期中，計算機(jī)首先對連續(xù)信號進(jìn)行采樣并編碼，即A/D轉(zhuǎn)換，將連續(xù)信號e(t)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號

e*(t)，然后按控制律或控制算法進(jìn)行運(yùn)算，形成離散的運(yùn)算結(jié)果，即數(shù)字量控制信號u*(t);最后將計算結(jié)果u*(t)通過D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號uh

(t)控制被控對象。因此，

A/D轉(zhuǎn)換器和D/A轉(zhuǎn)換器是計算機(jī)控制系統(tǒng)中的兩個特殊環(huán)節(jié)。圖7－5數(shù)字控制系統(tǒng)典型原理圖

1.A/D轉(zhuǎn)換器

A/D轉(zhuǎn)換器是把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號的裝置。A/D轉(zhuǎn)換包括兩個過程，其一是采樣過程，即每隔一定的時間間隔T對輸入的連續(xù)信號e(t)(如圖7－6(a)所示)進(jìn)行一次采樣，得到采樣后的離散信號e*(t)，如圖7－6(b)所示;二是量化過程，在計算機(jī)中，任何數(shù)值的離散信號都必須用二進(jìn)制表示，成為離散數(shù)字信號，才能進(jìn)行運(yùn)算。通常把采樣信號e*(t)在數(shù)值上表達(dá)為最小位二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)倍的過程稱為量化，

A/D轉(zhuǎn)換器的最小的二進(jìn)制單位稱為量化單位。采樣信號e*(t)經(jīng)量化后變成數(shù)字信號e*(t)的過程，如圖7－6(c)所示，也稱編碼過程。因此，數(shù)字計算機(jī)中的離散數(shù)字信號在時間上和幅值上都是斷續(xù)的。

通常，假定A/D轉(zhuǎn)換器有足夠的字長來表示數(shù)碼，則量化單位q足夠小，故由量化引起的幅值的斷續(xù)性(即量化誤差)可以忽略。此外，還可以認(rèn)為采樣編碼過程瞬時完成，可用理想脈沖的幅值來等效代替數(shù)字信號的大小，則A/D轉(zhuǎn)換器就可以用一個每隔T秒瞬時閉合一次的理想采樣開關(guān)S來表示。圖7－6A/D轉(zhuǎn)換過程

2.D/A轉(zhuǎn)換器

D/A轉(zhuǎn)換器是把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號的裝置。D/A轉(zhuǎn)換也有兩個過程:一是解碼過程，把離散數(shù)字信號u*(t)轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號u*(t)，如圖7－7(a)所示;二是復(fù)現(xiàn)過程，因?yàn)殡x散的模擬信號無法直接控制連續(xù)的被控對象，需要將離散的模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號，實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的裝置稱為信號保持器。經(jīng)過保持器將離散模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)模擬信號uh

(t)，如圖7－7(b)所示。圖7－7D/A轉(zhuǎn)換過程

如果令被控對象的傳遞函數(shù)為Go

(s)，測量元件的傳遞函數(shù)為H(s

)，則數(shù)字控制系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖如圖7－8所示。由計算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字控制器Gc

(s

)將按照一定的控制規(guī)律，將周期為T的理想采樣開關(guān)S采樣后的誤差信號e*(t)處理成所需要的數(shù)字信號e*(t)，并以一定的周期給出運(yùn)算后的數(shù)字信號u*(t)，將數(shù)字量轉(zhuǎn)換為模擬量的D/A轉(zhuǎn)換器可以用保持器取代，其傳遞函數(shù)為Gh

(s)，它把數(shù)字信號u*(t)轉(zhuǎn)換成連續(xù)模擬信號uh

(t)。圖7－8數(shù)字控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

7.1.3離散控制系統(tǒng)特點(diǎn)

雖然離散控制系統(tǒng)中，信號采樣后，采樣點(diǎn)間信息會丟失，而且采樣信號經(jīng)保持器輸出后會有一定的延遲，因此與連續(xù)系統(tǒng)相比，在確定的條件下，離散控制系統(tǒng)的性能會有所降低。然而數(shù)字化帶來的好處顯而易見，離散控制系統(tǒng)較之相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)具有以下優(yōu)點(diǎn):

(1)由數(shù)字計算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置或數(shù)字控制器，其控制規(guī)律由軟件實(shí)現(xiàn)，因此，與連續(xù)式控制裝置相比，控制規(guī)律修改調(diào)整容易，控制靈活。

(2)采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力，可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳送。

(3)可以采用高靈敏度的控制元件，提高系統(tǒng)的控制精度。

(4)可用一臺計算機(jī)分時控制若干個系統(tǒng)，提高設(shè)備的利用率，經(jīng)濟(jì)性好。

(5)計算機(jī)控制系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)控制和管理的一體化。

(6)對于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，可以引入采樣的方式使系統(tǒng)穩(wěn)定。

在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的一處或多處信號是脈沖序列或數(shù)碼，控制的過程是不連續(xù)的，因此連續(xù)系統(tǒng)的研究方法不再適用。研究離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是Z變換，通過Z變換，可以把我們熟悉的穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差計算、時間響應(yīng)以及系統(tǒng)校正方法等，經(jīng)過適當(dāng)?shù)母淖冎苯討?yīng)用于離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計之中。

7.2信號采樣與保持

在離散控制系統(tǒng)中，既有連續(xù)信號，又有離散信號。為了使兩種信號能夠在系統(tǒng)中互相傳遞，在連續(xù)信號和離散信號之間要用采樣器，在離散信號和連續(xù)信號之間要用保持器。為了定量研究離散系統(tǒng)，有必要對信號的采樣過程和保持過程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。

7.2.1信號的采樣

1.采樣信號的數(shù)學(xué)表示

把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采樣開關(guān)。假設(shè)采樣器每隔T秒閉合一次，閉合的持續(xù)時間為τ。由于在實(shí)際采樣過程中，采樣開關(guān)的閉合時間非常小，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)，因此為便于分析，可以認(rèn)為τ趨于零。這種情況下，采樣器就可以用一個理想采樣器來代替。采樣過程可以看成是一個理想

單位脈沖序列δT

(t)與連續(xù)輸入信號e(t)相乘的結(jié)果，如圖7－9所示。圖7－9信號的采樣過程

用數(shù)學(xué)形式描述上述采樣過程，則有

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，總是認(rèn)為信號從

t=0時刻開始，即當(dāng)t<0時，

e(t)=0。因此理想單位脈沖序列δT

(t)可以表示為

其中，

δ(t-nT)是出現(xiàn)在時刻t=nT，強(qiáng)度為1的單位脈沖，故式(7－1)可以寫為

由于e(t)的數(shù)值僅在采樣的瞬時才有意義，所以e*(t)又可表示為

2.采樣信號的拉普拉斯變換

對采樣信號e*(t)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得

根據(jù)拉普拉斯變換的位移定理，有

所以，采樣信號的拉普拉斯變換

因此只要已知連續(xù)信號e(t)采樣后的脈沖序列e(nT)的值，相應(yīng)采樣信號e*(t)的拉普拉斯變換E*(s)就可以求得，且如果e(t)是一個有理函數(shù)，則E*(s)總可以表示成eTs的有理函數(shù)形式。顯然，如果采用拉普拉斯變換法研究離散系統(tǒng)，雖然E*(s)可以表示成eTs

的有理函數(shù)，但卻是復(fù)變量s的超越函數(shù)，不便于進(jìn)行定量分析和設(shè)計。為了解決這個問題，通常采用Z變換法研究離散系統(tǒng)。Z變換可以把離散系統(tǒng)的s超越方程變換為變量Z的代數(shù)方程。

3.采樣信號的頻譜

由式(7－2)可知，理想單位脈沖序列δT

(t)是周期函數(shù)，可以展開為傅里葉級數(shù)的形式，即

對式(7－9)兩邊取拉普拉斯變換，由拉普拉斯變換的復(fù)數(shù)位移定理，得

式(7－10)在描述采樣過程的性質(zhì)方面是非常重要的，因?yàn)樵撌教峁┝死硐氩蓸悠髟陬l域中的特點(diǎn)。如果E*(s)沒有右半s平面的極點(diǎn)，則可令s=jω，得到采樣信號e*(t)的傅里葉變換

圖7－11中由于采樣角頻率ωs

>2ωh

，采樣頻譜的主分量與高頻分量沒有發(fā)生頻率混疊，利用圖7－12所示的理想低通濾波器可恢復(fù)原來連續(xù)信號的頻譜。如果加大采樣周期T，采樣角頻率ωs相應(yīng)減小，當(dāng)ωs

<2ωh時，采樣頻譜的主分量與高頻分量會產(chǎn)生頻譜混疊，如圖7－13所示。這時，即使采用理想低通濾波器也無法恢復(fù)原來連續(xù)信號的頻譜。因此，要從采樣信號e*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號e(t)，對采樣角頻率ωs應(yīng)有一定的要求。圖7－10連續(xù)信號頻譜圖7－11采樣信號頻譜(ωs>2ωh)圖7－12理想低通濾波器的頻率特性圖7－13連續(xù)信號頻譜E(jω)與采樣信號頻譜E*(jω)(ωs<2ωh)的比較

4.香農(nóng)采樣定理

顯然，采樣周期T越小(即采樣頻率ωs越高)，離散信號越接近連續(xù)信號;若采樣周期T過大(即采樣頻率ωs過低)，則離散信號無法準(zhǔn)確反映連續(xù)信號的變化。通過上述分析可知，如果采樣器的輸入信號e(t)具有有限帶寬，即有直到ωh

的頻率分量，則使信號e(t)能完整地從采樣信號e*(t)中恢復(fù)過來的采樣周期T，或采樣角頻率ωs必須滿足下列

條件:

5.采樣周期T的確定

香農(nóng)采樣定理是確定采樣周期T的理論依據(jù)。但它只給出了一個指導(dǎo)原則，并未給出具體的采樣周期T選取的公式。采樣周期T選得越小，對系統(tǒng)控制過程的信息了解越多，但將增加一些不必要的運(yùn)算負(fù)擔(dān)，并使控制規(guī)律更復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)更困難，并且采樣周期T小到一定程度后，再減小就沒有多大意義了。反之，采樣周期T選得過大，將使控制誤差較大，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，采樣周期T的選擇要根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮，有時需要反復(fù)試驗(yàn)才能最終確定。

況綜合考慮，有時需要反復(fù)試驗(yàn)才能最終確定。在大多數(shù)的工業(yè)過程控制系統(tǒng)中，微型計算機(jī)所能提供的運(yùn)算速度，對于采樣周期來說，可選的余地較大。工程實(shí)踐證明，采樣周期T根據(jù)表7－1給出的參考數(shù)據(jù)選取時，可以取得比較滿意的控制效果。

對于隨動系統(tǒng)，采樣周期的選取很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。從頻域性能指標(biāo)來看，一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)具有低通濾波特性，當(dāng)隨動系統(tǒng)的輸入信號的頻率高于閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率ωr

時，信號通過系統(tǒng)時會很快地衰減。一般可認(rèn)為，開環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的截止頻率ωc

與閉環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的諧振頻率ωr非常接近，可近似認(rèn)為ωc

=ωr

，即通過隨動系統(tǒng)的控制信號的最高頻率分量為ωc

，超過ωc的分量通過系統(tǒng)時將被大幅度衰減。根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，隨動系統(tǒng)的采樣頻率或采樣周期可近似選取為

從時域性能指標(biāo)來看，采樣周期可通過單位階躍響應(yīng)的上升時間或調(diào)節(jié)時間按下列經(jīng)驗(yàn)公式選取:

7.2.2信號保持

信號保持是將離散信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的轉(zhuǎn)換過程，用于這種轉(zhuǎn)換過程的元件稱為保持器。從數(shù)學(xué)上來說，保持器的任務(wù)是解決各采樣時刻之間的插值問題。由采樣過程的數(shù)學(xué)描述可知，在采樣時刻，連續(xù)信號的函數(shù)值與脈沖序列的脈沖強(qiáng)度相等。即在t=nT時刻，

有

而在(n+1)T時刻

那么在nT與(n+1)T時刻之間，即0<Δt<T時，連續(xù)信號e(nT+Δt)的值為多少，這就是保持器要解決的問題。在工程上應(yīng)用最為廣泛的是零階保持器。

零階保持器是按常值外推的保持器，其外推公式為

即，零階保持器是把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)作為常值一直保持到下一采樣時刻(n+1)T到來之前，其保持時間為一個采樣周期T，零階保持器的輸出特性如圖7－14所示。零階保持器使采樣信號e*(t)變成階梯信號eh

(t)。

若給零階保持器輸入一個理想單位脈沖δ(t)，則其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)是幅值為1，持續(xù)時間為T的矩形脈沖，如圖7－15所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7－14零階保持器的輸出特性圖7－15零階保持器的脈沖響應(yīng)

對單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh

(t)取拉普拉斯變換，得到零階保持器的傳遞函數(shù)為

令s=jω，得到零階保持器的頻率特性

若以采樣角頻率ωs=2π/T來表示，則上式可表示為

(3)時間滯后特性。在圖7－14中，如果把階t)的中點(diǎn)連接起來，如圖中點(diǎn)劃線所示，則可以得到與連續(xù)信號e(t)形狀一致但在時間上滯后T/2的響應(yīng)e(t-T/2)，即零階保持器輸出的平均響應(yīng)，這相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個延遲時間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)總的相角滯后增大，同樣對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。圖7－16零階保持器的頻率特性

在工程上，零階保持器可以采用不同的方法近似實(shí)現(xiàn)。如果將零階保持器傳遞函數(shù)中的eTs項展開成冪級數(shù)，則有

若取前兩項，則有

就可以用如圖7－17所示的RC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。圖7－17零階保持器的RC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)

若取前三項，則有

可以用如圖7－18所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。圖7－18零階保持器的RLC無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)

更高階的近似，將使無源網(wǎng)絡(luò)變得比較復(fù)雜，在實(shí)際中較少采用。

在數(shù)字控制系統(tǒng)中的D/A轉(zhuǎn)換器所實(shí)現(xiàn)的功能就是零階保持器的功能。D/A轉(zhuǎn)換器輸出的階梯波形信號經(jīng)過簡單的RC濾波作平滑，濾去高頻分量，就可以得到相對于離散時間序列x(kT

)的連續(xù)時間信號x(t)。

7.3Z變換

Z變換是從拉普拉斯變換引申出來的一種變換方法，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。與線性連續(xù)系統(tǒng)通過拉普拉斯變換的方法來研究其動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能相似，線性離散系統(tǒng)也可以通過Z變換來分析其性能。

7.3.1Z變換的定義

由式(7－5)，采樣信號e*(t)的拉普拉斯變換為

由于各項均含有esT

因子，即E*(s)為s的超越函數(shù)，不便于計算，因此引進(jìn)一個新變量:

將式(7－19)代入式(7－18)，則采樣信號e*(t)的Z變換定義為

注意，在Z變換的過程中，由于考慮的僅是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值，因此式(7－20)表達(dá)的僅是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻上的信息，而不反映采樣時刻之間的信息。從這個意義上來說，連續(xù)時間函數(shù)e(t)與相應(yīng)的離散時間函數(shù)e*(t)具有相同的Z變換，即

7.3.2Z變換的方法

求離散時間函數(shù)e*(t)的Z變換的方法有很多種，下面介紹其中三種常用的方法。

1.級數(shù)求和法

將式(7－20)展開成級數(shù)表達(dá)形式，即

顯然，只要將連續(xù)信號e(t)按周期T進(jìn)行采樣，將采樣點(diǎn)處的值代入式(7－29)，便可得到Z變換的級數(shù)表達(dá)形式，但級數(shù)具有無窮多項，是開式，如不能寫成閉式，則很難應(yīng)用?；旧铣Ｓ煤瘮?shù)的Z變換都可寫成閉式。

2.部分分式法(查表法)

首先求出連續(xù)信號e(t)的拉普拉斯變換E(s)，將E(s)展開成部分分式之和的形式，如

使每一部分對應(yīng)簡單的時間函數(shù)，這樣就可以通過這些簡單時間函數(shù)的Z變換(可查表7－2)得到E(s)的Z變換。

常用函數(shù)的Z變換表見表7－2。由該表可見，常用函數(shù)的Z變換都是Z的有理分式，且分母多項式的次數(shù)大于或等于分子多項式的次數(shù)。

3.留數(shù)計算法

設(shè)已知連續(xù)信號e

(t)的拉普拉斯變換E(s)及其全部極點(diǎn)pi

(i=1，

2，

3，…，

n)，則E(s)的Z變換可以通過下列留數(shù)計算式求得，即

當(dāng)

E(s)具有s=pi的一階極點(diǎn)時，對應(yīng)的留數(shù)為

當(dāng)E(s)具有s=pi的q

階重極點(diǎn)時，對應(yīng)的留數(shù)為

7.3.3Z變換的基本性質(zhì)

Z變換也有和拉普拉斯變換類似的一些基本性質(zhì)，熟悉這些性質(zhì)，可以使Z變換的應(yīng)用變得簡單方便，有利于分析和設(shè)計離散系統(tǒng)。下面介紹常用的幾種Z變換性質(zhì)。

1.線性定理

2.實(shí)數(shù)位移定理(滯后超前定理)

實(shí)數(shù)位移是指整個采樣序列e(nT)在時間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移e(nT+kT)為超前，向右平移e(nT-kT)為滯后。實(shí)數(shù)位移定理如下:

如果函數(shù)e(t)是可Z變換的，其Z變換為E(z)，則有滯后定理

以及超前定理

其中k為正整數(shù)。

z-k代表時域中的延遲算子，它將采樣信號滯后k個采樣周期;zk代表時域中的超前算子，它把采樣信號超前k個采樣周期。這些算子僅用于運(yùn)算，在實(shí)際物理系統(tǒng)中并不存在。

實(shí)數(shù)位移定理的作用相當(dāng)于拉普拉斯變換中的微分或積分定理。應(yīng)用實(shí)數(shù)位移定理，可將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為z域的代數(shù)方程。

【例7－4】試用實(shí)數(shù)位移定理計算滯后函數(shù)(t-5T)

3的Z變換。

解

由式(7－28)并通過查Z變換表可得

3.復(fù)數(shù)位移定理

如果連續(xù)函數(shù)e(t)是可Z

變換的，其Z

變換為E(z

)，則有

4.終值定理

如果信號e(t)的Z變換為E(z)，信號序列e(nT)為有限值(n=0，

1，

2，…)，且極限)存在，則信號序列的終值為

在離散系統(tǒng)分析中，常采用終值定理求取系統(tǒng)輸出序列的穩(wěn)態(tài)值和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

5.卷積定理

設(shè)x(nT)和y(nT)，

n=0，

1，

2，…，為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為

則卷積定理可描述為:在時域中，若

則在z域中必有

在離散系統(tǒng)分析中，卷積定理是溝通時域與z域的橋梁。利用卷積定理可建立離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

7.3.4Z反變換

已知Z變換表達(dá)式E(z)，求相應(yīng)離散函數(shù)序列e(nT)的過程，稱為Z反變換，記為

當(dāng)n<0時，

e(nT)=0，函數(shù)序列e(nT)是單邊的，對單邊序列常用的Z反變換法有:部分分式法，冪級數(shù)法和反演積分法。

1.部分分式法(查表法)

部分分式法又稱查表法，由于Z變換表內(nèi)容有限，因此首先將較復(fù)雜的E(z)展開成部分分式形式，然后通過查Z變換表找出相應(yīng)的e*(t)，或者e(nT)。考慮到Z變換表中，所有Z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z，所以，通常先將E(z)/z展成部分分式之和，然后將等式左邊分母中的z乘到等式右邊各分式中，再逐項查表反變換。

在MATLAB中，求解Z反變換的函數(shù)為iztrans()，計算上述函數(shù)的Z反變換的程序?yàn)?

2.冪級數(shù)法(長除法)

在工程上，

E(z)一般為有理分式，可以直接通過長除法，得到一個無窮項冪級數(shù)的展開式

變量z-n的系數(shù)代表連續(xù)時間函數(shù)在nT時刻上的采樣值，根據(jù)上式可直接寫出e*(t)的脈沖序列表達(dá)式:

3.留數(shù)計算法(反演積分法)

在實(shí)際問題中遇到的Z變換函數(shù)E(z)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，此時將無法應(yīng)用部分分式法及冪級數(shù)法來求Z反變換，只能采用留數(shù)計算法。當(dāng)然，留數(shù)計算法對E(z)為有理分式的情形也適用。

E(z)的冪級數(shù)展開形式為

該級數(shù)的各系數(shù)e(nT)，

n=0，

1，

2，…，可以由積分的方法求得，而在求積分值時要用到柯西留數(shù)定理，故稱為留數(shù)計算法。

設(shè)函數(shù)E(z)zn

-1除有限個極點(diǎn)z1

，

z2

，…zk外，在z域上是解析的，則留數(shù)計算法的公式為

留數(shù)計算方法如下:

若zi

，

i=0，

1，

2，…，

k，為單極點(diǎn)，則

若zi為m階重極點(diǎn)，則

7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

與連續(xù)系統(tǒng)的分析方法相類似，研究離散系統(tǒng)的性能也必須先建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。與線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型類似，線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式三種。本節(jié)主要針對差分方程、脈沖傳遞函數(shù)進(jìn)行介紹。

7.4.1線性常系數(shù)差分方程及其解法

對于線性定常離散系統(tǒng)，

k時刻的輸出c(k)，不但與k時刻的輸入r(k)有關(guān)，而且與k時刻以前的輸入r(k-1)，

r(k-2

)，…有關(guān)，同時還與k時刻以前的輸出c(k-1)，

c(k-2)，…有關(guān)。這種關(guān)系一般可以用n階后向差分方程來描述，即

式中，

ai(i=1，

2，…，

n)和bj(j=0，

1，…，

m)為常系數(shù)，

m≤n。式(740)稱為n性常系數(shù)差分方程。

線性定常離散系統(tǒng)也可以用n階前向差分方程來描述，即階線

工程上常系數(shù)差分方程通常采用迭代法和Z變換法來求解。

1.迭代法

若已知差分方程式(7－40)或式(7－41)，并且給定輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，通過迭代一步一步地算出輸出序列，這個過程可在計算機(jī)中完成。

2.Z變換法

設(shè)差分方程如式(7－41)所示，對差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的實(shí)數(shù)位移定理，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解C(z)取Z反變換，可求得輸出序列c(k)。

查Z變換表，求出Z反變換

或?qū)懗?/p>

求解差分方程可以得到線性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出響應(yīng)序列特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對離散系統(tǒng)性能的影響。因此，與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，對

于線性定常離散系統(tǒng)需要重點(diǎn)研究其另一種數(shù)學(xué)模型———脈沖傳遞函數(shù)。

7.4.2脈沖傳遞函數(shù)

1.脈沖傳遞函數(shù)定義

設(shè)離散系統(tǒng)如圖7－19所示，如果系統(tǒng)的輸入信號為r(

t)，其采樣信號r*(t)的Z變換函數(shù)為R(z)，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸出為c(t)，其采樣信號c*(t)的Z變換函數(shù)為C(z)，則線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為:在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換C(z)與輸入采樣信號的Z變換R(z)之比，記作

所謂零初始條件，是指在t<0時，輸入脈沖序列各采樣值r(-T)，

r(-2T)，…以及輸出脈沖序列各采樣值c(-T)，

c(-2T)，…均為零。

式(7－

42)表明，如果已知R(z)和G(z)，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸

出采樣信號為

實(shí)際上許多采樣系統(tǒng)輸出是連續(xù)信號c(t)，而不是采樣信號c*(t)，如圖7－20所示。在這種情況下為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個開關(guān)，如圖7－20中虛線所示，并且它與輸入采樣開關(guān)同步工作，具有相同的采樣周期。必須指出，虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函數(shù)所能描述的是輸出連續(xù)函數(shù)c(t)在采樣時刻的離散值c*(t)。圖7－19開環(huán)離散系統(tǒng)圖7－20實(shí)際開環(huán)離散系統(tǒng)

2.脈沖傳遞函數(shù)求法

傳遞函數(shù)G(s)的拉普拉斯反變換是單位脈沖函數(shù)c(t)，將c(t)離散化得到脈沖響應(yīng)序列c(nT)，將c(nT)進(jìn)行Z變換可得到脈沖傳遞函數(shù)G(z)。上述變換過程表明，只要將G(s)表示成Z變換表中的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接查表可得G(z)。所以常把上述過程表示為

并稱之為G

(s

)的Z變換。這一表示應(yīng)理解為根據(jù)上述過程求G(s)所對應(yīng)的G(z

)，而不能理解為G(z)是對G(s)直接進(jìn)行Z變換的結(jié)果。圖7－21開環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

7.4.3開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

在求取離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時，如果系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)相串聯(lián)，則采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7－

22所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1

(s

)和G2

(s)之間，有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，有

G1(z)和G2

(z)分別為G1

(s)和G2

(s)的脈沖傳遞函數(shù)。于是有

因此，系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

式(7－43)表明，由理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。這一結(jié)論，可以推廣到類似的n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的情形。圖7－22環(huán)節(jié)間有理想采樣開關(guān)的串聯(lián)開環(huán)離散系統(tǒng)

2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7－23所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1

(s)和G2

(s)之間沒有理想采樣開關(guān)隔開。此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義

式(7－44)表明，沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)Z變換。這一結(jié)論也可以推廣到類似的n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的情形。

顯然，式(－43)與(7－

44)不等，即圖7－

23環(huán)節(jié)間無理想采樣開關(guān)的串聯(lián)離散系統(tǒng)

3.有零階保持器時

設(shè)有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7－24(a)所示。將圖7－24(a)變換為圖7－24(b)所示的等效開環(huán)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

7.4.4閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

由于在閉環(huán)系統(tǒng)中采樣器有多種配置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖形式并不唯一。圖7－25是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖中，虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了便于分析而設(shè)的，所有理想采樣開關(guān)都同步工作，采樣周期為T。圖7－25閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)結(jié)構(gòu)圖以及脈沖傳遞函數(shù)的定義，對圖7－25可建立如下方程組:

解上述方程組，可得該閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)

與連續(xù)系統(tǒng)相類似，令Φ(z)或Φe(z)的分母多項式為零，便可得到閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程:

式中，

GH(z)為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。

用與上面類似的方法，還可以推導(dǎo)出采樣器為不同配置形式的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。需要注意的是，如果誤差信號e(t)處沒有采樣開關(guān)，則不能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z)。

【例7－15】設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7－26所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖7－26閉環(huán)離散系統(tǒng)

【例7－16】設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7－27所示，試證其輸出采樣信號的Z變換為圖7－27閉環(huán)離散系統(tǒng)

證明由圖7－27有

證畢。

由于誤差信號e(t)處無采樣開關(guān)，從上式解不出C(z)/R(z)，因此求不出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，但可以求出C(z)，進(jìn)而確定閉環(huán)系統(tǒng)的采樣輸出信號c*(t)。

7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差

與線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差是線性離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。而線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的分布決定的。為了借助連續(xù)系統(tǒng)在s平面上穩(wěn)定性的分析方法，首先需要研究s平面與z平面的映射關(guān)系。

7.5.1s域到z域的映射

在Z變換定義中，

z=esT(T為采樣周期)給出了s域到z域的映射關(guān)系。s域中的任意點(diǎn)可表示為s=σ+jω

，映射到z域則為

于是s域到z域的基本映射關(guān)系式為

當(dāng)σ=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，此時若ω

從-∞變到∞時，由式(7－

50)知，映射到z平面的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。當(dāng)s平面上的點(diǎn)沿虛軸從-ωs

/2移到ωs

/2時(其中ωs

=2π/T為采樣角頻率)，對應(yīng)z平面上相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓從-π逆時針變化到π，正好轉(zhuǎn)了一圈;而當(dāng)s平面上的點(diǎn)在虛軸上從ωs

/2移到3ωs

/2時，對應(yīng)z平面上相應(yīng)點(diǎn)又將逆時針沿單位圓轉(zhuǎn)過一圈。依次類推，如圖7－28所示。這樣就把s平面劃分為無窮多條平行于實(shí)軸的周期帶，其中從-ωs/2到ωs

/2的周期帶稱為主帶，其余的周期帶稱為輔帶。圖7－28s平面虛軸在z平面上的映射

顯然，在s平面的左半部，復(fù)變量s的實(shí)部σ<0，此時z<1，這樣s平面的左半部就映射到z平面單位圓的內(nèi)部;而在s平面的右半部，復(fù)變量s的實(shí)部σ>0，此時z>1，這樣s平面的右半部就映射到z平面單位圓的外部。

7.5.2線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

對于一個線性定常離散系統(tǒng)，當(dāng)其脈沖響應(yīng)序列趨于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

設(shè)離散控制系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換可以寫為

式中，是系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，一般為有理分式，并且D(z)的階數(shù)高于M(z)的階數(shù)。設(shè)輸入信號為單位脈沖信號，則有

式中，

pi

(i=1，

2，

3，…n)為脈沖閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

對上式取Z反變換得

由上式可知，如果離散系統(tǒng)的全部極點(diǎn)均位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓之內(nèi)，則有

由此得出結(jié)論，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均分布在z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，或者系統(tǒng)所有特征根的模均小于1

【例7－17】閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7－29所示，其中

采樣周期T=1s，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

顯然，系統(tǒng)的特征根全部在單位圓內(nèi)，所以離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較高時，直接求解特征方程的根是很不方便的，因此與連續(xù)系統(tǒng)相類似，希望尋找到間接的穩(wěn)定判據(jù)。

7.5.3離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

由于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要確定系統(tǒng)特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)，而連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)，實(shí)質(zhì)上是用來判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半s平面。因

此不能直接套用勞斯判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而必須用一種新的線性變換，將z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，映射到w平面上的左半平面，從而使勞斯穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用于離散控

制系統(tǒng)。這種新的坐標(biāo)變換，稱為w變換。

實(shí)現(xiàn)上述變換的方式是一種雙線性變換。令

上式中z，

w均為復(fù)變量，令

代入式(7－52)，得

即有

由于上式的分母(x-1)2+y2始終為正，因此u=0可等價為x2

+y2

=1，表明w平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓周;u<0等價為x2

+y2

<1，表明左半w平面對應(yīng)于z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域;u>0等價為x2

+y2

>1，表明右半w平面對應(yīng)于z平面單位圓外的區(qū)域。

z平面和w平面的這種對應(yīng)關(guān)系，如圖7－30所示。

經(jīng)過w變換之后，可以直接應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱之為w域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。．

即將式(7－51)帶入z平面系統(tǒng)特征方程1+GH(z)=0中，將其轉(zhuǎn)換為w平面上的特征方程1+GH(w)=0，于是離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程1+GH(z)=0的所有根位于z平面單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH(w)=0的所有根位于左半w平面。因此可根據(jù)w域中特征方程系數(shù)，直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

7.5.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

與線性連續(xù)控制系統(tǒng)類似，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能也是用系統(tǒng)在輸入信號作用下輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差來表征的，并且只有在穩(wěn)定的前提下，研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能才有意

義。線性連續(xù)系統(tǒng)中計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值定理法和靜態(tài)誤差系數(shù)法，在一定的條件下可以推廣到離散系統(tǒng)中。

1.終值定理法

由于采樣系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)形式，因此以如圖7－31所示的單位反饋誤差采樣系統(tǒng)為例，介紹采用Z變換的終值定理法，求取在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7－31中，系統(tǒng)誤差采樣信號e*(t)的Z變換為

因此有

如果該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即Φe(z)的極點(diǎn)全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，則可用Z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差

式(7－53)表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與輸入序列的形式及幅值有關(guān)，而且與采樣周期的選取也有關(guān)。

2.靜態(tài)誤差系數(shù)法

在連續(xù)控制系統(tǒng)中，我們把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有s=0的極點(diǎn)個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，以此來討論不同型別的連續(xù)系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下采用靜態(tài)誤差系數(shù)法求取穩(wěn)態(tài)誤差的方法。由Z變換算子z=esT

關(guān)系式可知，如果連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)有v個s=0的極點(diǎn)，即v個積分環(huán)節(jié)，與G(s)相應(yīng)的G(z)必有v個z=1的極點(diǎn)。

因此，在線性離散系統(tǒng)中，我們對應(yīng)地把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點(diǎn)個數(shù)v作為劃分離散系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，即v=0，

1，

2時，系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型離散系統(tǒng)。

下面討論在穩(wěn)定的前提下，如圖7－31所示的不同型別的單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)在階躍信號、斜坡信號以及加速度信號等典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)

誤差系數(shù)的概念。

1)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為階躍函數(shù)r(t)=R·1(t)時，其Z變換函數(shù)

因而，由式(7－53)知，穩(wěn)態(tài)誤差為

式(7－54)代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。式中

稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。在階躍輸入條件下，對0型離散系統(tǒng)，即G(z)沒有z=1的極點(diǎn)，此時Kp

≠∞，從而ess(∞)≠0，即系統(tǒng)存在位置誤差;對Ⅰ型或Ⅰ型以上的離散系統(tǒng)，

Kp=∞，從而ess

(∞)=0。

2)斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為斜坡函數(shù)r(t)=Rt時，其Z變換函數(shù)

因而系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為

式中