2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）專題08 一元二次方程及其應(yīng)用【九大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題08一元二次方程及其應(yīng)用【九大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的解法】 2【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】 2【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】 3【題型4一元二次方程的應(yīng)用之平均增長(zhǎng)（下降）率問(wèn)題】 4【題型5一元二次方程的應(yīng)用之幾何圖形的面積問(wèn)題】 4【題型6一元二次方程的應(yīng)用之與漲價(jià)、降價(jià)有關(guān)的商品利潤(rùn)問(wèn)題】 5【題型7中考最熱考法之以開(kāi)放性試題的形式考查解一元二次方程】 6【題型8中考最熱考法之以開(kāi)放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】 7【題型9中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】 7【知識(shí)點(diǎn)一元二次方程】1.定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。2.一元二次方程的解法(1)直接開(kāi)方法。適用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化簡(jiǎn)——把方程化為一般形式，并把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；②移項(xiàng)——把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到等號(hào)的右邊；③配方——兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫(xiě)成完全平方的形式；④開(kāi)方，即降次；⑤解一次方程。(3)公式法。當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根可寫(xiě)為：的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。，②b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。3.一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！绢}型1一元二次方程的解法】【例1】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2【變式1-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）解方程：xx【變式1-2】（2023·吉林·中考真題）解方程：x【變式1-3】（2023·山東·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．（1）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．①方程x2－2x＋1＝0的解為_(kāi)_______________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為_(kāi)_______________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為_(kāi)_______________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為_(kāi)_______________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請(qǐng)用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】【規(guī)律方法】判斷一般形式為一元二次方程根的情況時(shí)，使用根的判別式“b2-4ac”判斷，若方程形式為（mx+n）2=p,則可利用以下方法判斷：當(dāng)p＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)p=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)p＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.【例2】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+mxA．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【變式2-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x2【變式2-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【變式2-3】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點(diǎn)P(a,c)在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判定【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】【例3】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍；(2)當(dāng)k=1時(shí)，用配方法【變式3-1】（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0【變式3-2】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+cA．－2 B．2 C．－4 D．4【變式3-3】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2xA．k<13 B．k≤13 C．k<【題型4一元二次方程的應(yīng)用之平均增長(zhǎng)（下降）率問(wèn)題】【例4】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？【變式4-1】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）某種產(chǎn)品預(yù)計(jì)兩年內(nèi)成本將下降36％，則年平均下降率為．【變式4-2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書(shū)籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求2020-2022年買書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率．【變式4-3】（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元．假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．【題型5一元二次方程的應(yīng)用之幾何圖形的面積問(wèn)題】【例5】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m

A．5m B．70m C．5m或70【變式5-1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）為了便于勞動(dòng)課程的開(kāi)展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2

【變式5-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁(yè)邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁(yè)邊距分別為a?cm、b?

【變式5-3】（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=am,AD

（1）如圖1，若a=5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2sm2，則【題型6一元二次方程的應(yīng)用之與漲價(jià)、降價(jià)有關(guān)的商品利潤(rùn)問(wèn)題】【例6】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為200元時(shí)，每天可售出300個(gè)；若銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出5個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為100元，問(wèn)這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利32000元？【變式6-1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）石獅一水果店銷售的蘆柑，每箱進(jìn)價(jià)40元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱銷售價(jià)格：售價(jià)為50元時(shí)，平均每天可售出90箱；售價(jià)高于50元時(shí)，每提高1元，平均每天銷售量將減少3箱．(1)若每箱售價(jià)55元，則平均每天該蘆柑的銷售量為_(kāi)_____箱；(2)已知當(dāng)?shù)毓ど滩块T規(guī)定：蘆柑的售價(jià)每箱不得高于60元．設(shè)該店提價(jià)x（元），平均每天的銷售利潤(rùn)為w（元）．①當(dāng)天盈利w為1152元時(shí)，求x的值；②當(dāng)x為何值時(shí)，w取得最大？最大值是多少．【變式6-2】（2023·山西·中考真題）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【變式6-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問(wèn)T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【題型7中考最熱考法之以開(kāi)放性試題的形式考查解一元二次方程】【規(guī)律方法】以開(kāi)放性性的形式考查直接解一元二次方程，解題時(shí)可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問(wèn)題，有利于培優(yōu)策略性思維?！纠?】（2023·新疆·二模）請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x-1=0；②x2-【變式7-1】（2023·浙江·中考真題）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的四種解法：因式分解法，開(kāi)平方法，配方法和公式法．請(qǐng)從以下一元二次方程中任選一個(gè)，并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個(gè)方程．①x2-3x+1=0；②(x-【變式7-2】（2023·北京·北京市第五中學(xué)分校?？寄M預(yù)測(cè)）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x-1=0；

②x2-3x【變式7-3】（2023·北京朝陽(yáng)·二模）請(qǐng)從以下四個(gè)一元二次方程中任選三個(gè)，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@三個(gè)方程．（1）3x2-2x-1=0；（2）(y我選擇第__________小題．【題型8中考最熱考法之以開(kāi)放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】【例8】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+2【變式8-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出一組滿足條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根．【變式8-2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程x2+bx+①b=2,c=1；②b=3,c=1；注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【題型9中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書(shū)中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是尺．

【變式9-1】（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3×3個(gè)位置相鄰的數(shù)（如12，13，14，19，20，

A．18 B．13 C．7 D．3【變式9-2】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百步，一只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何？”意