2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 第24講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第24講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(精講)

題型目錄一覽

①平面向量的數(shù)量積的運算

②平面向量的模長

③平面向量的夾角

④兩個向量的垂直問題

⑤平面向量的投影數(shù)量'投影向量

⑥平面向量的應(yīng)用

、知識點梳理

一'平面向量的數(shù)量積

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量與方,我們把數(shù)量|。||切cos夕叫做。與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),

記作al,即a小=|a|S|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義

投影向量：設(shè)a,8是兩個非零向量，如圖(1)(2),云表示向量a,彷表示向量仇過點4作防所在直線的垂線,

垂足為點4.我們將上述由向量a得到向量況?的變換稱為向量a向向量》投影，向量況1稱為向量a在向量b上的

投影向量.

b_

，向量a在向量b上的投影向量為(|a|cos6)面.

二、數(shù)量積的運算律

已知向量a、b、c和實數(shù)彳，則：

@ab-ba；②(2a)-b=2(<zb)=a-(2Z>)；?[a+b)c=ac+bc.

三、數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a、方都是非零向量，e是與6方向相同的單位向量，。是“與e的夾角，則

@e-a=a-e^a\cos0.?al.b<^>a-b=0.

③當(dāng)。與〃同向時，a-b^a\\b\；當(dāng)。與〃反向時，a-b=-\a^b\.

特別地，〃?a=|a/或|〃|=daa.

@cos6?=-^-(|a||/>k0).⑤|a-"W|a|S|.

IaII*I

四'數(shù)量積的坐標(biāo)運算

已知非零向量a=(%,%),/>=(%,%),e為向量。、分的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y/a~al?1=G+y2

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0ab=x,x2+必必

衛(wèi)cos”,…產(chǎn)

夾角cose=

\a\\b\Jx；+y；?+￡

aD的充要

=0

ab=0占了2+X%

條件

。〃方的充要

a=九從bw0)%y2fx=。

條件

|a?川與|。||十leblSalSI(當(dāng)且僅當(dāng)

1占尤2+%%wJw+y；-

的關(guān)系a//b時等號成立)

【常用結(jié)論】

(1)6在。上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0.

(2)兩個向量a,5的夾角為銳角Ci山>0且a,方不共線；

兩個向量a,6的夾角為鈍角Ci仍〈。且a,6不共線

二、題型分類精講

題型一平面向量的數(shù)量積的運算

畬策略方法平面向量數(shù)量積的三種運算方法

已知向量的模與夾角時，可直接使用

定義法數(shù)量積的定義求解，即a-b=\a\\b

I,cos8（8是a與b的夾角）

計算由基底表示的向量的數(shù)量積時,

基向量法應(yīng)用相應(yīng)運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量

的數(shù)量積，進(jìn)而求解

碧而亶蓬拜正標(biāo)形一或；血而亶茁藪喜

坐標(biāo)法

積可應(yīng)用坐標(biāo)的運算形式進(jìn)行求解

【典例1】已知向量&力的夾角為￥，且|a|=l,|%|=g,貝|（2。一＞＞（。+＞）=（）

O

A.一1一立B.-cD

22-i-4

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)量積公式和運算律計算即可.

［詳解］(2a-Z>).(a+b)=2忖+|a,|-|z?|cos-^--|/?|=2+lx>/3xI--j-3=-y.

故選：D.

【典例2]已知:ABC的外接圓圓心為。，S.2AO=AB+AC＞|AO|=|AB|=2,則朋.8。=（）

A.0B.2C.4D.473

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知AABC為直角三角形，AA03為等邊三角形，即可求出848C的值.

【詳解】由2Ao=A2+AC知。是BC邊中點，

因為。是△A3c的外接圓圓心，所以△A3C為直角三角形，

且A=],因為|AO|=|Aq=2,所以△AQB為等邊三角形，

JT

所以NABC=§,3c=4,

所以BA.BC=B4gcosZABC=4.

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量。尸=（"3）繞坐標(biāo)原點。順時針旋轉(zhuǎn)75。得到op,則（）

V6-V2

A.B.y/6—V2

C.V6+V2D.^±2/2

2

【答案】B

【分析】利用向量的坐標(biāo)求出模長，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】因為8=("月，所以|詡=，(及『+(0)2=2,

因為向量。尸繞坐標(biāo)原點0順時針旋轉(zhuǎn)75。得到0P,

所以向量。尸與向量0P的夾角為75。，且|。制=2,

所以O(shè)P3=MHM<OS75=2X2XCOS(30+45)

=4(S也二義烏="_0.

2222

故選：B

2.(2023?遼寧朝陽?朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知向量二=(1,2),8=(3,4),c=(5,〃z)(加")，貝I]

(2a-b}c=()

A.5B.-5C.5mD.—5m

【答案】B

【分析】求出向量2a-b的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示，即可求得答案.

【詳解】由題意向量4=(1,2),6=(3,4),c=(5,間可得2°->=(一1,0),

故(2。一6>c=(-l,0)-(5,加)=一5,故選：B

3.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測)如圖，已知C的半徑為2,卜q=2,則AB.AC=()

【答案】C

【分析】判斷ABC形狀可得，。皿，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.

JT7T

【詳解】由題知，一ABC為正三角形，所以=所以ABAC=2X2COST=2.

故選：c

4.（2023春?海南?高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a力滿足|。|=2,|切=5,且a與心夾角的余弦值為g,貝。

（〃+20）.（3Q-/?）=（）

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】運用平面向量的數(shù)量積運算可求得結(jié)果.

【詳解】因為|a|=2,|6|=5,且d與b夾角的余弦值為：，

^Tiy.（d+2Z?）-（3G-Z?）=3|fl|2+5fl-Z?-2|z>|2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故選：A.

19

5.（2023廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若等邊_皿。的邊長為2,平面內(nèi)一點“滿足。1=/3+]04,則"/4?知5=（）

人8「13〃8-13

A.-B.——C.——D.

9999

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成，再利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】MA=CA-CM=CA-f^CB+^CA^=^CA-^CB=^BA,

（12\222

MB=CB-CM=CB-\-CB+-CA\=-CB——CA=-ABf

133J333

122228

:.MA-MB=-BA—AB=——AB=——x29=——.

33999

故選：C.

6.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,且N8AO=],貝ij（A8+AC>AO

的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運算律，結(jié)合菱形圖形特征，計算求解可得.

【詳解】由條件可知乙BA。=g,所以NABC=g,

在ABC中，由余弦定理AC2=4+4-2x2x2xcos1=12,可得卜o=2有，

7TTT

NBAD）,菱形ABCD的對角線互相垂直，則向量AC與向量A。的夾角為二，

36

/uunUIDHXuuuuunuumuumuum冗冗

貝！]AB+AC-AO=A5-AO+AC-AD=2x2xcos—+2x28xcos—=8.

\，36

故選：D.

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）在，ABC中，M是BC的中點，=1,點尸在4Wr上且滿足AP=2PAf，貝UP4（P8+PC）

等于（）

4444

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】A

【分析】先根據(jù)向量的加法求出依+PC=2PM,然后求出網(wǎng)，,M|,進(jìn)而可直接求解.

【詳解】因為M是8c的中點，所以PB+PC=2PM,

。1

又因為點尸在W上且滿足AP=2尸M，AM=1,所以網(wǎng)=5，，M=],

所以PA?（尸2+PC）=2PA-PM=2,4卜,“上0$兀=_2xgx；=_1.

故選：A.

8.（2023?湖南長沙?周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛8CD的邊長為1,ABAD=-^-,G是菱形ABC。內(nèi)一點，若

2

GA+GB+GC=0,則AG.AB=（）

A.gB.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】由題意可得出N3AD=120。，點G為ABC的重心，所以|AG|=g|AM|=半，ZBAM=30°,再由向量的

數(shù)量及定義求解即可.

【詳解】在菱形ABCD,菱形ABCD的邊長為1,ABAD=-^,

所以AB?AD=1AB,AD|cosZBAD=cos/BAD=一；，

所以N3AD=120。，貝!）ABC為等邊三角形，因為GA+G2+GC=0，

所以G4=-（GB+GC）,設(shè)點M為BC的中點，貝!）G4=-2G￡>,所以G4〃G。，

所以G,A,M三點共線，所以AM為BC的中線，

所以

同理可得點AB,AC的中線過點G,

所以點G為一ABC的重心，故|AG|=g|AM|=￥，

在等邊ABC中，M為BC的中點，則NBA"=30°,

所以AG-AB=|AGHA@1：05/加加=￥*1*￥=J

故選：A

9.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量。涉滿足|a|=l,|b|=2,c=2a+b,且a,6夾角為120,則a.c=（）

A.0B.1C.y/2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律結(jié)合數(shù)量積的定義，即可求得答案.

【詳解】由向量滿足|a|=l,g|=2,c=2a+6,且夾角為120,

可得。-c=a-（2a+方）=2a+a-b-2xI2+Ix2xcosl20

=2—1=19

故選：B

10.（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC與8。相交于點。，過點A作

AELBD于E,則（）

,12r24〃12r4

A.—B.—C.—D.一

252555

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)片（無,V）,由AEL8D和3E//B?？闪蟹匠糖蟪鳇cE,再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運算即可求解.

【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

則A(0,l),8(0,0),。(2,0),0(2,1),

設(shè)E(x,y),則=(%,y-1),BE=(x,y),%>=(2,1)

AE±BDAE_LBD且BE/IBD，

2

x=—

二2x+y-l。=O，解,得5

1

y=-

5

21248」

?e-￡（不二）,4￡二（不-？￡。二55"5

在矩形ABC。中，。為3。的中點,

所以由4（0,1）,

二、多選題

11.（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓。為銳角ABC的外接圓，AC=2AB=2,則0A08的值可能為（）.

A.；B.—C.-D.-

21688

【答案】BC

【分析】利用正弦定理表示出R,借助角C表示出所求，根據(jù)ABC為銳角三角形，結(jié)合圖形可得sinC范圍，然

后可得.

【詳解】記圓。的半徑為R,則心高

l-2sin2C1j_

又ZAOB=2C,所以。=------x------xcos2C=

2sinC2sinC4sin2C4sin2C2

因為ABC為銳角三角形，如圖，易知A<sinC<]4

所以《＜4sin2c＜1,

11313

所以即］＜OA.O8＜：

4sin2c24

12.（2023?全國?模擬預(yù)測）在菱形ABC。中，鉆=2,NZMB=60,點E為線段CD的中點，AC和80交于點O,

則（）

A.AC-BD=0B.ABAD=2

C.<9EBA=-1D.OEAE=^

【答案】ABD

【分析】以。為坐標(biāo)原點可建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算依次驗證各個選項即可.

【詳解】四邊形ABCD為菱形，

則以。為坐標(biāo)原點，。（7,?！辏┱较驗橛穑S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

AB^AD=2,ZDAB=60,:.BD=2,OA=OC=722-I2=>/3>

.0(0,0),A(-V3,0),B(0,-l),0(0,1),

對于A,ACABD,ACBD=0,A正確；

對于B,AB=(A/3,-1),A￡)=(V3,1),.-.AB-AD=3-1=2,B正確；

對于C,=,胡=卜6,1),.-.OEBA=-|+!=-1,C錯誤;

對于D,

故選：ABD.

13.（2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)。為一ABC的外心，AB=2,AC=4,/BAC的角平分線AM交BC

于點"，則()

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.AB-AO=2D.AM-AO=6

【答案】AC

【分析】對于A、B：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得籌二:‘結(jié)合平面向量的線性運算求AM；對于C、D：根據(jù)外

心的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求解.

ABBM一㈤BMsinZBAM

【詳解】在45M中，有正弦定理可得可得——二---------

sinZAMBsinZBAMABsinZAMB

ACCMCMsinZCAM

在△AOW中，有正弦定理可得,可得

sinZAMCsinZCAMAC-sinZAMC?

因為AB=2,AC=4,AM為-84C的角平分線,

可知ZBAM=ZCAM,ZAMB=7i-ZAMC,

貝！jsinZBAM=sinZCAM,sinZAMB=sin（兀一Z/4A/C）=sinZAMC,

—NsinZBAMsinZCAAf

可得---------二---------，

sinZAMBsinZAMC

nBMCMnnBMAB1

ABACCMAC2

-t1r\i

=AB+BM=AB+^BC=AB+^AC-AB^=^AB+^AC,

故A正確，B錯誤;

分別取AB,AC的中點￡E,連接OE,OR,可知OE，AC,OF，AB,

uunuunluunilUumiilUimp

因為。為..ABC的外心，則ARAO=|A8,AOkosNBAO=5Hq=2,

uuuuuu|UUU||UUU|i|Uuni|2

AC-AO=|AC|-|AO|cosZCAO=-1AC|=8,

<2]、ouunuuiniuunuumoi

所以AMAO=[mAB+]ACjAO=jAB-AO+|AC-AO=|x2+jx8=4,

故C正確；D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

14.(2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知向量機=(羽1),〃=(-3,2),若2加+〃=(1,4),則沅?2=

【答案】-4

【分析】根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得答案.

【詳解】因為根=(尤,1),"=(一3,2),所以2戊+?=(2x-3,4)=(1,4),

所以2x—3=1,即％=2,

所以帆?〃=—3x+2=—3x2+2=T.

故答案為：-4.

15.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）己知向量；=（2,1）,6=（0,1）,c=a+tb>若a-c=6，貝1.

【答案】1

【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示可得c=（2,l+r）,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即可求解.

【詳解】由題意知，C=4+仍=（2,1+%）,

因為=6，

所以q,c=2x2+（l+%）=6,解得，=1,

即t的值為1.

故答案為：1.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知非零向量），》的夾角為60。，忖=1,a-（a-2b）=-X,則（a+2b>6=

【答案】9

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.

【詳解】由卜|=1及a,夾角為60?？芍?lt;2力=忖|際60。=胴，

又-26）=忖-2°%=1-忖=-1,解得W=2,則。力=1，

故（。+26）.6=0.6+2慟2=1+8=9,

故答案為：9

17.（2023?河北?校聯(lián)考一模）已知。為一ABC的外心，若04=2,且N"4c=75。，則OB.OC=

【答案】-273

【分析】由平面向量數(shù)量積公式進(jìn)行求解.

【詳解】由圓的性質(zhì)可得NBOC=2NA4C=150。，OA=OB=OC=2,

故08-OC=.|oc|cosABAC=2x2xcos150°=-273.

故答案為：-273

18.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知菱形跳6〃中，歸尸-E”|=2,則“=

【答案】-2

【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.

【詳解】設(shè)EG與切交于。，則且。是線段制的中點，

H

：.\HF|=|EF-EH[=2,由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，

HGFH=-HGHF=-|HG|.阿COSZFHG=-|HF|-|HO|==-2.

故答案為：-2

19.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）已知正六邊形AAAA4AA的邊長為1,P為邊44的中點，。為正六邊形

的中心，則。尸。&=.

【答案】-4

【分析】利用平面向量數(shù)量積公式進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意得，|。耳=1,幺。尸=150。，

3

故OP.Q4=|0尸忸4卜05（。尸,。4）=xlxcosl50°

24

3

故答案為：下

20.（2023?北京通州?統(tǒng)考三模）已知等邊三角形A8C的邊長為2,的半徑為1,尸。為。A的任意一條直徑，則

BPCQ-AP-CB=.

【答案】1

【分析】根據(jù)平面向量基本定理并借助圓心和圓內(nèi)AP,A。向量互為相反向量即可求解.

【詳解】

BPCQ—APCB

=(BA+AP)-(CA+AQ^-AP\AB-AC)

=BACA+BAAQ+APCA+APAQ-APAB+APAC

=BACA-BAAP+APCA-APAP-APAB+APAC

=|BA||CA|cos60°-BA-AP+APCA-12-AP-AB-APCA

19

=2X2X-+ABAP+APCA-]2-APAB-APCA

2

=2X2X^-12+(ABAP-APAB)+(APCA-APCA)

=2x2x--l2

2

=1.

故答案為:1.

21.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模)在..ABC中，AB=2,AC=1,Zfi4c=60。，CD=；BC,求AZ).C￡>=

3

【答案】7

4

【分析】根據(jù)已知條件得出A。=；(3AC-AB),CD=1BC,化簡AD.CD應(yīng)用數(shù)量積公式計算求解即得.

【詳解】AB=2,AC=1,ZBAC=60°,AB-AC=|AB|-|AC|COSZBAC=2xlx^=1,

AB2=|AB|2=22=4,AC2=|AC|2=12=1.

CD=^BC:.^AD-AC)=^AC-AB),

AD=1(3AC-AB),

ADC￡>=1（3AC-AB）|BC

=^-（3AC-AB）-（AC-AB）

1/2-2

=-（3AC-4ABAC+AB

=；（3xl—4x1+4）

3

4

、3

故答案為：z

22.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，圓M為..ABC的外接圓，AB=5,AC=7,N為邊BC的中點，則

【答案】一37

【分析】由三角形中線性質(zhì)可知4V=g(A3+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知

|AM|COSZBAM=1|AB|,同理可得|AM|COSNCAV=1AC,再由數(shù)量積運算即可得解.

【詳解】N是BC中點，

:.AN=^AB+AC),

M為ABC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

AM-AB=|AM||AB|COSZBAM=||AB|2=1x52=y,

同理可得=1|_.i2=]49,

AM?AN=AM-(AB+AC\=-AMAB+-AM?AC=-x—+-^—=—.

2、>2222222

37

故答案為：y.

題型二3面向量的模長

畬策略方法求向量模的方法

(1)。2=〃.°=同2或同=犯々.

(2)|a±b\=y/a±b2=y^^la-b+b1.

(3)若a=(x,y),則⑷=M?+y2.

【典例1]已知a，6均為單位向量，且。與6夾角為60。，則卜-20=()

A.3B.夜C.2D.6

【答案】D

【分析】先求°小，再利用模長公式可得答案.

【詳解】因為a,b均為單位向量，且。與b夾角為60。，所以a%=|耶|cos60o=:；

因為卜-2目=a-Aa-b+^b=l-4x^+4=3,所以=6.

故選：D.

【典例2]|已知向量生6滿足同=1,忖=應(yīng)，0-6=(石,血)，則,+〃=()

A.272B.V10C.1D.275

【答案】C

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算和數(shù)量積運算的性質(zhì)，結(jié)合卜-叱=5可求得a.b，由此可得卜+萬:，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】"b=(6網(wǎng),...卜一6卜,陰2+(可=有,

|fz-Z?|=|。|-2tz,h+|=3-2a,b=5，解得：a-b=-l，

|a+Z?|=|?|~+2a-Z?+|/?|=l-2+2=l,解得：\a+b\^=1.

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023春?安徽?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知向量5=(2,-3),6=(1,4),d=(4-2),若卜+26+c|=5,則實數(shù)彳=

().

A.1或TB.-1或4

C.0或8D.0或-8

【答案】D

【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】由題意得，。+26+。=(2,-3)+2(1,4)+(4—2)=(4+43),

/.\a+2b+c\=^(4+2)2+32=5,解得久=0或-8.

故選：D.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))平面向量。與6的夾角為45,a=(Ll),叫=2,則南+可等于()

A.13+6后B.2逐C.屈D.734

【答案】D

【分析】由向量。=(1/)，求得卜卜友,再結(jié)合|3。+闿=79?2+6a-b+b,即可求解.

【詳解】由題意，向量。=(1,1),可得卜卜志，

又由向量0與b的夾角為45,忖=2,

貝!I13a+0=^9a+6a-b+b=J9x2+6x后x2cos45+4=5/34.

故選：D.

3.(2023?河北衡水?模擬預(yù)測)已知平面向量a1滿足|a|=2,|b|=l,a-6=(后-2),則囚-加卜()

A.715B.4A/2C.V21D.33

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由平面向量模長的計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.

【詳解】因為"6=(后-2),所以|a-b|2=|a|2-2a^+S『=5-2a/=7,則￡%=一1,

所以|2a—b『=4|a/_4a力+也『=21,即|2<7—切=@.故選：C.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知向量a,b，c滿足a=(2,l),b=(—1,1),a-c=10,b-c=\>則|c|=()

A.3B.5/17C.2A/5D.5

【答案】D

【分析】設(shè)出向量c=(x,y),根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模的公式，即可求出向量|c|.

【詳解】設(shè)c=(x,y),因為4=(2/)，6=(-1,1),

所以a-c=2x+y=10①，b-c=-x+y=l②，由①②解得x=3,y=4,

所以c=(3,4),Ic|=J32+42=5?

故選：D.

5.(2023?四川遂寧某中學(xué)校考模擬預(yù)測)己知平面向量|a|=2,\b\=l,。)的夾角為60,卜+仍卜石(teR),

則實數(shù)f()

A.—1B.1C.—D.+1

2

【答案】A

【分析】對卜+閉=石兩邊平方，再由數(shù)量積公式計算可得答案.

【詳解】因為卜+法卜有，所以@+2a.bi+/忖2=3,

即4+2x2xcos60.+/=3,解得，=一1.

故選：A.

6.(2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知向量。=。,加)，6=(-1,0),且卜-司=。/+6,則向=()

A.75B.

C.y/22D.276

【答案】C

【分析】根據(jù)卜-可=。m+6求得m,再利用向量的模公式求解.

【詳解】解：因為向量“=。,〃2),。=(-1,0),

所以Q-Z?=(2,m),a?Z?=—1,

又因為卜=〃2+6,

所以^2?+療=5，

解得4-21,

所以同=+/=-\/22,

故選：C

7.(2023?重慶?校聯(lián)考三模)在△ABC中，ABAC=2,忖葉=1且點。滿足=,則()

3

A.y/5B.-\/6C.y/sD.—

【答案】D

【分析】根據(jù)向量線性運算和題干條件得到AB2+AC2=5>從而得到卜|.

【詳解】由題意得—=平方得A/-ZAB.AC+AC?=c/=1，

^AB2+AC2=1+2AB-AC=5>

因為點D滿足8D=DC,所以AO=:(A8+AC),

平方得+2,ABAC+AC)=-x(5+4)=1,

故|叫《

故選：D

8.(2023廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)向量〃也。滿足〃+匕+°=0,(〃—b),c,〃，若=則|d+W+,=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】運用向量垂直的條件，即數(shù)量積為0,結(jié)合向量的平方即為模的平方，化簡整理，計算即可得到所求值.

【詳解】由Q+0+c=0，得。=—〃—0，

又(。―Z?)±C，

所以（〃_??（_〃_人）=0，

又a_Lb，則〃?0=()，|。|=1，

所以=_卜|-￡.1+￡力+忖=0,即M=|?|=1,

所以卜卜W=i,

3s,c=—a—b9

所以卜|=(-a-b)2=\c^+2tz-Z?+|/?|=2,

綜上，|^|+網(wǎng)+卜|=l+l+2=4,

故選：C.

9.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在ABC中，AB=2,AC=1,cosZBAC=；M為線段8C的中點，則14M

4?

()

A.3B.-C.75D.—

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，可得AM=g(AB+AC),再利用數(shù)量積的定義及運算律求解作答.

【詳解】在ABC中，M為線段BC的中點，貝惰AM=；(AB+AC),

由AB=2,AC=1,cosZBAC=-,AB-AC=\AB\\AC\cosZBAC=2xlx-=-,

442

1122113

所以|AM『=—(AB+AC)2=—(AB~+AC+2AB-AC)=-(22+12+2X-)=-.

44422

故選：B

二、填空題

10.(2023春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知a=(-2,1),6=(4/),若lb=2,貝中

【答案】80

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出入即可求出的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)法求出模.

【詳解】因為。=(一2,1),8=(4,。且〃.力=2,

所以2x4+ly=2,解得，=10,所以b=(4,10),

所以2a—b=2(—2』)—(4,10)=(-8,-8),

所以8一4=J(一8『+(一8)2=872.

故答案為：872

11.(2023?四川南充?闿中中學(xué)?？级?已知a,b為單位向量，且滿足k-后|=",貝"2。+6卜

【答案】75

【分析】將卜-‘豆卜布兩邊平方可得°包=0,進(jìn)而可得忖+4.

【詳解】“力為單位向量，且滿足卜-屜/而，所以/一2氐4+5/=6,

即1一2氐/+5=6,解得°m=0，

所以忸+*y/4a2+4a-b+b2=小?

故答案為：下.

12.(2023?安徽亳州?高三?？茧A段練習(xí))已知向量i=(f,2),6=(V,1),滿足|。-@=卜+@,貝「=

【答案】土立/夜或-0或百

【分析】利用卜-6|=卜+母，求出〃力的值，利用平面向量坐標(biāo)表示建立方程求解即可

【詳解】因為。=?,2),6=(-f,l),卜-6|=卜+0,

所以(a-b)2=(a+6)2=>a+。-2a-b=a+b+2a-b^a-b=0>

a-b=tx(—t)+2x1=-+2=0,

得/=±直.

故答案為：土垃

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知向量滿足卜-.=若，,+可=124?-可，則忖=.

【答案】V3

【分析】應(yīng)用向量|d=片的性質(zhì)即可列方程組求解.

【詳解】由卜小5得/一2口心+片=3,即2a/=J+/_3①.

又由”卜忤一年得入2荽+九/一。+二

.2/.2-2\

即31-6。/=0，代入①，得3。--3卜+6--3)=°，

整理，得『=3,所以W=K.

故答案為：V3

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知向量a=(cos0,sin0),6=(點,0),則|“-b|的最大值為.

【答案】V2+1

【分析】利用向量模的坐標(biāo)形式可求|。-們的最大值.

【詳解】T=(cos。-及,sin。)，所以

|<2-&|=^COS^-A/2^+sin2^=^cos20+cos26-2^/2cos0+1=J-20cos6+3

當(dāng)cos6=-l時，|〃-萬|的最大值為：［2應(yīng)+3=應(yīng)+1.

故答案為：^2+1.

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知忖=1,卜+4卜|6-4|=4,則的最小值是.

【答案】空

4

【分析】設(shè)。4=o=(L0),O5="=(x,y),根據(jù)條件1+。|+卜-。|=4得出點2滿足的條件，然后由向量的模長公式

求匕-%的最小值.

【詳解】設(shè)A(l,0),5(%,y。OA=a=(1,0),OB=b=(x,y)

貝！|Z?+a=(1+%,y),Z?_a=(%_1,y)

由|6+4卜忸一〃卜4,則J(x+l『+y2+J(x-i1+y2=4>2

即點3在以(LO),(T,0)為焦點，長軸為2a=4的橢圓上

22

所以3(x,y)滿足?+q=l

則人m=Jx［：+y2且一2<xW2

故當(dāng)x=l時，b-；。有最小值述，故答案為：通

444

題型三平面向量的夾角

畬策略方法求向量夾角問題的方法

當(dāng)力是非坐標(biāo)形式時，求。與〃的夾角化

需求出a?8及1al,16或得出它們之間

的關(guān)系，由cos0=|[|求何

\a\\b\

若已知a=（％，八）與b=（三，>2），則

/_”產(chǎn)2+八八

COS\U.U)—.\/U,￡/\/

'，/.22/22'''/

收+%?M+%

e[0,F]

可以把所求兩向量的夾角放到三角形中

進(jìn)行求解

【典例1】已知非零向量3，b，c滿足忖=1，（。-6）?+6）=-1,（2力=1，1=-26.則向量?與c的夾角（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

【答案】C

【分析】由向量的數(shù)量積運算公式，再應(yīng)用向量夾角公式求夾角，最后結(jié)合向量反向共線求出夾角即可.

【詳解】,.?（。一6）.（。+6）=-1,片工=-1，

M=>/2.a-b=l>

??C0SH=q^=^=T-同。?！?，則"）=%

設(shè)向量。與。的夾角為e,。=-24,與6反向，則。=兀-2=4.

44

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（江西省重點中學(xué)協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試卷）已知a,b為單位向量，且忖-6卜石，則d與

2b的夾角為（）

A.四B.qC.女D.女

6336

【答案】C

【分析】由卜-q=3,根據(jù)向量數(shù)量積定義和運算律可求得.涉夾角，即為。,2b的夾角.

【詳解】,一可=a2-2a-b+b2-2|tz|-|/?|cos<d,b>+|/?|=2-2cos<a,b>=3,

/.cos<a,b>=-g，又。與2。同向，cos<a,2b>=一g，

2兀

<a,1b>e[0,7r],:.<a,2b>=—.

故選：C.

2.（河南省青桐鳴大聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期5月考試文科數(shù)學(xué)試卷）在中，AC=2,AB=4,。為AC的

中點，BDAC=-2,則4=（）

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【分析】由向量的數(shù)量積公式及向量夾角的范圍可得答案.

【詳解】BD-AC=^AC-AB^AC=^AC2-AB-AC=2-4X?.COSA=-2,

貝!|cosA=；,又0<A<180,貝!lA=60.

故選:B.

3.（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三名校預(yù)測卷全國數(shù)學(xué)文科試卷）已知平面向量a,b滿足卜|=3,忖=1,卜+2目=4,

則a-3b，b夾角的余弦值為（）