新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第37講 指對(duì)函數(shù)問題之指數(shù)找基友（解析版）

第37講指對(duì)函數(shù)問題之指數(shù)找基友

1.若關(guān)于X的不等式』一疝Μ」〃恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

2

【解答】解：當(dāng)。<0時(shí)，/(幻=一—川加為((),+00)的增函數(shù)，/(χ)無最小值，不符合題意；

當(dāng)α=O時(shí)，e2x-alnx..)-cι即為顯然成立；

2

當(dāng)α>O時(shí)，/(x)=e2χ-HnX的導(dǎo)數(shù)為f,(χ)=2e2x,

X

由于丫=2^*-處在(O,+∞)遞增，設(shè)f'(x)=O的根為m，即有“=2松2"，，

X

當(dāng)OVXVm時(shí)，Γ(x)<O,/(幻遞減；當(dāng)X〉加時(shí)，∕,(x)>0,/(九)遞增，

可得X="處/(%)取得極小值，且為最小值-4加加,

由題意可得e2m-alnm..)-a,即———aInm..a,

22m2

化為m+2tnlnnτ,,1,設(shè)g(∕n)=m+2mlnm,g,{ιn)=1+2(1+Inni)，

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，g(1)=1,m>?B'J',g'(∕n)>O,g(m)遞增，

可得m+2mln∕n^1的解為O<1,

則〃=2勿/6￡(0,2e2],

2

綜上可得a∈[0,2e]f

故選：C?

2.已知函數(shù)f(X)=，-奴，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。為常數(shù).

(1)若對(duì)函數(shù)/(x)存在極小值，且極小值為0,求。的值；

(2)若對(duì)任意工€[0,夕，不等式/(x).."(l-SinX)恒成立，求。的取值范圍.

x,x

【解答】解：(1)?/?(?)≈e-ax9f(x)=e-af

當(dāng)凡()時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；

當(dāng)〃>0時(shí)，由/"(x)>0,可得x>∕w,由X)V0,可得xv/w,.?.x=/〃々為函數(shù)的極小值點(diǎn),

由已知，f(Ina)=O?即癡=1,:.a=e；

(2)不等式/(X)..CΛ(1-Sinx),即,sinX-Or..0,

設(shè)g(x)=exsinx-ax,則g,(x)=ex(sinx+cosx)-a,gf,(x)=2e"cosx,

x∈fθ,?]時(shí)，g”(x)..0,則g，(九)在％∈fθ,?]時(shí)為增函數(shù),/.g'(%)=g'(0)=?-a.

①l-α.0,即61時(shí)，g<x)>0,g(x)在x∈[0,泉時(shí)為增函數(shù)，「.g(x)哂=g(0)=0,此時(shí)g(x)..0恒成立.；

②l-αvθ,即a>l時(shí)，存在Λ0∈(0,,，使得g'(??)v0,從而x∈(0,面)時(shí)，g<x)vθ,g(x)在[0,XOl

上是減函數(shù)，

.?.x∈(O,Xo)時(shí)，g(χ)vg(0)=0,不符合題意.

綜上，。的取值范圍是(-∞,1].

3.已知/(x)=e"+αcosx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若/(x)在x=0處的切線過點(diǎn)P(l,6),求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)x∈[0,§時(shí)，/(x)..6恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

,x

【解答】解：(1)Vf(x)=e-asinχt."(O)=L/(0)=l+α,

.?./(x)在X=O處的切線方程為y=x+l+0,

?切線過點(diǎn)尸(1,6),.?.6=2+α,.?.0=4?

(2)由/(x)..ox,可得(X-COSx),(*)

令g(x)=x-cosx,X∈[O,g,

.,.gr(x)=l+sinx>O,且g(0)=-1<0,^(?)=>0,

.,.存在m∈(θ,?),使得g(fn)=0,

當(dāng)x∈(0,m)時(shí)，g(m)<0;當(dāng)x∈(m,g時(shí)，g(ni)>O.

(D當(dāng)X=加時(shí)，em>O，g(∕n)=m—cosm=O，

此時(shí)，對(duì)于任意a∈R(*)式恒成立；

②當(dāng)x∈Q∕ι,j∣<]時(shí)，g(x)=x-COSX>0,

由ex..a(x-cosx),得α,,-----------?

X-COSX

令Λ(x)=-----------，下面研究h(x)的最小值.

X-COSX

Λ,(x)=-COSX^_sirrx_1)與《幻二X-COSX-SinX-1同號(hào)，

jr

且f(x)=1+sinX-CoSX>O對(duì)x∈[0,-]成立，

2

.?.函數(shù)”x)在(加,芻上為增函數(shù)，Wr(-)=?-2<0,

222

:.X∈(〃2,—]時(shí)，t(x)<0?.,.h,(x)<O,

2

ππ

：.函數(shù)A(X)在(加,-]匕為減函數(shù)，；.h(x)=Λ(-)=—,0,,-

2mill2ππ

③當(dāng)X∈[0,〃7)時(shí)，g(x)=%-COSXVO,

/ex

由e”..4(x-COSX),得-------，

X-COSX

由②可知函數(shù)Mx)=」一在[0,⑼上為減函數(shù)，

X-COSX

,

當(dāng)x∈[0,M時(shí)，h(x)max=Λ(0)=—1,..a..-??

n

2。2

綜上，4∕∈[-l,-].

π

4.已知f(x)=asinx(aWR),g(x)=ex.

(1)求g(x)在X=C)處的切線方程；

(2)若α=l,證明：G*)=∕(x)+袱在(0,1)上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)F(X)=/w?a。)(αW0)對(duì)任意XW[0,芻,尸(X)..依成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

a2

【解答】解：(1)g'(x)=e',g<O)=l,g(O)=l,

所以g(χ)在X=O處的切線方程為y-↑=χf即x-y+l=O.

(2)G(X)=sinx+?nx,

則G，(X)=J+cosx,

X

由于X∈(0,1),故,

X

又CoSX∈[-l,1]?故8SA；,1,

故'+cosx>0,即G")>0在(0,1)上恒成立，

X

故G(X)在(0,1)遞增.

(3)F(x)=exsinx,

τr

由對(duì)任意X￡[0,耳],∕7(x)..Ax恒成立,

設(shè)〃(X)=e'sinX-Ax,

貝IJh,(x)=exsinx+e"cosx-k,

再設(shè)m(x)=exsinx÷excosx-k,

則ni{x}=exsinx+excosx+excosx-exsinx=2excosx,

x∈［0,g,.?.πZ(x)..0

因此∕n(x)在［0,芻上遞增，

2

故m(x)..∕n(0)=?-k,

①當(dāng)匕,1時(shí),∕n(x)..0BpΛ,(x)..0,%(x)在［0,芻遞增,故∕z(x).∕(O)=O,

2

即鼠1適合題意,

π￡

②當(dāng)無>1時(shí)，m(0)=l-Z<0,m(-)=e2-k,

2

Ξπ

若"一女<0,則取為二萬，X∈(O,AO)時(shí)，m(x)<0,

若海-人..0,則在(0,&］上皿X)存在唯一零點(diǎn)，記為用,

當(dāng)X∈(O,xo)時(shí),m{x)<0,

JT

總之，存在χo∈(0q］使K∈(O,ΛO)時(shí)MX)<0,

即〃(X)V0,故MX)遞減，力(X)<Zz(O)=O,

故左>1時(shí)，存在(0,玉))使∕z(x)<O,不合題意，

綜上，?,,1.

所以Z的取值范圍為(-00,1］.

5.已知函數(shù)/(x)=Ox2-ex~i.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：/(x)在R上為減函數(shù).

(2)當(dāng)xe［0g］時(shí)，/(x),,αcosx,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解答】(1)證明：當(dāng)“=」時(shí)，f(x)=-x2-eχ-',貝Uf'(x)=x-e*τ,

22

令g(x)=x-ex~x,貝IJg,(x)=1-ex~l,

當(dāng)x∈(-∞,l)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)x∈(l,+∞)時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+00)上單調(diào)遞減，

貝IJg(X)”g(1)=0,/'(x),,0,故/(x)在A上為減函數(shù).

(2)解：f(x),,“cosX等價(jià)于e*τ..”(χ2-cosx)對(duì)于xe［O,g恒成立，

設(shè)力(X)=X2-cos》,則"(X)=2x+sinx,易知〃'(x)在［0,匹］上為增函數(shù)，

2

所以/?'(X)..Λ,(0)=0,所以h(x)在［0,-］上為增函數(shù)，

2

因?yàn)椤?O)=T<0,〃(g=9>0,所以存在唯?的Λoe(0,g,使得∕z(Λo)=O,

e?--］

2xl2

當(dāng)x∈［0，x0)時(shí)，Λ(x)=X-cosx<0,由e~..a(x-CoSX)得a..—-------,

X-COSX

令S(X)==J,則"⑴=5?絲W二包R<0,

X-COSX(尸一CC)SJt)

所以C(X)在［0,x0)上為減函數(shù)，則0(x),S=奴0)=」，所以α..-L

ee

x,2

當(dāng)X=X0時(shí)，Λ(x0)=xθ-COSx0=0,對(duì)于任意實(shí)數(shù)α∈R,e~..a(x一CoSx)恒成立,

e>v-］

當(dāng)x∈(/,工］時(shí)，∕z(x)=x2-COSX>0,由/T..α(χ2-COSX)得6—--------,

2X2-COSX

由上可矢口φ,(x)=--"-ys"-2：-sinx),令加。)=產(chǎn)一?()$χ—2x—sin?,

(X-COSX)

則m,(x)=2x+sinX-2-cos?,易知加(X)在(X0,自上為增函數(shù)，

又加(%)=2x0+sinx0-2-cosx0,因?yàn)楱MZ(A0)=片-cosx0=O,x0∈(θ,?),

,2

所以m(x0)=2x0+sinx0-2-xθ=-1+sinx0-(x0-1)<-l+sinx0<0,

乂加弓)=乃-1>0,所以存在唯一萬∈(Λ?,?∣0,使得加(N)=0,

JT

當(dāng)XW(X0,%)時(shí)，加(X)V0；當(dāng)x∈(χ,5］時(shí)，tn,(x)>0,

所以加(X)在(%,XJ上遞減，在(XI,g上遞增，

2

因?yàn)椤?(Λ0)=X-COSX0-2X0-sin?=-2AO-sinx0<0,/n(?)=--π-?<0,

所以M(X)<0,即0'(x)vθ,所以火x)在C%,g?］為減函數(shù)，

C(X)而〃=(Pq=號(hào)一，所以6,若一，

綜上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍為[-1,埠].

eπ一

6.已知函數(shù)/(x)=gχ3-sinx.

(1)證明：函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

(2)若對(duì)VXe[0,勺，不等式e"+αcosx..or?恒成立，求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

2

【解答】解：(1)證明：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且/(0)=0，

只需證/(X)在(0,”)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)即可.

當(dāng)x∈[0,+8),記g(x)=/'(X)=X2-cos%,g'(x)=2x+sinx,

g"(x)=2+cosx>0,.?.g'(x)在(0,+∞)上遞增，

又?g'(x)>g'(O)=O,.?.g(x)在(0,3)上遞增，

2

又?g(0)=T<0,g(])=9>0,

所以存在唯,實(shí)數(shù)七)∈(o,j∣),使得gc?)=o,

當(dāng)X∈(O,Xθ)時(shí)，g(x)<O,當(dāng)X￡(局，?κo)時(shí)，g(x)>O,

所以函數(shù)/(x)在(O,Z)上單調(diào)遞減，在(%)，+∞)上單調(diào)遞增.

/(0)=0,Λ∕(X0)<0,又/(乃)>0,

所以函數(shù)/(九)在(X0，t)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(X)有二個(gè)零點(diǎn).

(2)法一：由ex+acosX..ax2,可得"..ɑ(f-cosx),

由(1)知：①當(dāng)元=Xo時(shí)，e%>0,^(x0)=xθ-Cosx0=0,

此時(shí)，對(duì)于任意α∈R,ex..a(x2-cosx)恒成立.

②當(dāng)XW(Xo時(shí)，g(x)>O，

由ex..a(x2-cosx),得a,-----------

X-COSX

——，下面研究Zz(X)的最小值,

令h(x)=

X~-COSX

ex(x2-cosX-2x-sinx)

hf(x)=

(χ2-COSX)2

令/(x)=/-cosx-2x-sinx,t,(x)=2x+sinx-2-cosx，

JT

tn(x)=2+cosx+sinx>0)?x∈[0,-]成立，

2

.?.函數(shù)r'(x)在(XO,g上為增函數(shù)，

而Fa)=2x0+sinΛ0-2-cos?=-xθ+2XQ+sin/-2<-l+sinx0<O(Ov玉J<1),

乂f'C∣O=萬一1>。，「?存在唯一實(shí)數(shù)加￡(玉)，§，使得「(m)=0,

JT

當(dāng)x∈C?,M時(shí)，t?ιτi)<0；當(dāng)x∈(九耳)時(shí)'t?m)>0.

.?.函數(shù)f(x)在(X0,咐上遞減，在(WI,芻遞增,

:.t(x0)=ΛJ-COsx0-2x0-sinΛ0=-2XG-sinx0<0,z(?)=?--π-?<0?

π

函數(shù)〃(X)在(與,?)上遞減，；./I(X)MM=〃(］)=牛4潟

6-7"

π“

③當(dāng)xw[0,XO)時(shí)，^(x)=x2-cosx<0,

由ex..a(x1-cosx),得久.三------，

X-COSX

由②可知∕z,(x)=r工-2常疝吟<0,

(x-cosx)

所以函數(shù)〃(X)=Te—在[0,X”)上為減函數(shù),

X-COSX

當(dāng)x∈[0,XO)時(shí)，〃(乩OV=〃⑼=T，

.,.Q,..—\>綜上，Cl∈[-1,---∑-].

π

法二：原命題等價(jià)于Wx*^c°sx),,l在xe[0,馬上恒成立,

ex2

令心)="(χ2一8sx),則〃(?—Qx—f+sinx+cosx),

exex

當(dāng)x∈[0,勺時(shí)，2X-%2..0,SinX+8S%>0,ex>O,

2

①當(dāng)Q=O時(shí)，原命題成立，

π

②當(dāng)時(shí)，〃在［∣上單調(diào)遞增，∣由〃可得4〉

a>0(x)O,JA(x)?∕z(),(1),,1,O<④-τ^?

π“

③當(dāng)"0時(shí),依尤)在［0,二］上單調(diào)遞減，∕z(x),,Zz(O),由∕ι(0),<，可得—li,α<O,

2

綜上，。的取值范圍是[-1,?.

π~

7.已知函數(shù)/(x)=ex÷ɑcosX-√f2x-2,f,(x)為?(?)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論/(幻在區(qū)間(0,9內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若x∈[-],0]時(shí)，/(X)..0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)由/(x)=e'+αCoSX—0工一2,得/(幻=/—αsinx-V∑,

令g(X)=e"-6rsinx-λ∕2，則g<x)=ex-?cosx，

x∈(θ,?)?ex>1,O<cosx<l?

2

當(dāng)",,l時(shí)，gd)>0,g(x)單調(diào)遞增，即/(%)在區(qū)間(0,9內(nèi)無極值點(diǎn)，

當(dāng)α>l時(shí)，g,,(x)=ex+6tsinx,?e(θ,?),故g"(x)>O,

故g，(x)在(0弓)單調(diào)遞增，又g<O)=l-。<0,g,(^)=e1>0,

故存在/∈(0,g,使得夕(XO)=O,且x∈(0,%)時(shí)，g<x)<0,g(x)遞減,

XW(X0,時(shí)，g'")>0,g(x)單調(diào)遞增，故X=Xo為g(x)的極小值點(diǎn)，

此時(shí)廣⑴在區(qū)間(O,Jl)內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；

綜上：當(dāng)ɑ,,l時(shí)，/⑴在區(qū)間(04)內(nèi)無極值點(diǎn)，

當(dāng)α>l時(shí)，r(x)在區(qū)間(0,鄉(xiāng)內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).

(2)若x∈[-],0]Hl,/(x)..0恒成立，則/(0)=l+α-Z.0,故α..l,

下面證明a..1時(shí)，/(九)..0在工€[-],0]恒成立，

xe[--,0]時(shí)，怎?x>sx1,故α.l時(shí)，f(x)=ex+acosx-y∕2x-2..ex+COSX-Λ∕2Λ?-2,

2

??(Λ)=ex+cosX—?∕2x-2,xe[--,0],?hf(x)=ex-sinx-V2,

2

^φ(x)=ex-sinx-?∕2，則”(x)=e"-cosx,"(x)=e'+sinx在區(qū)間[一工，0]單調(diào)遞增,

2

又吠，(-二)=eV-走<"∣-且<0,故^(X)在[-2，一工]上單調(diào)遞減，

32223

7

π_￡π-Lιι

1

乂φ'(----)=€~>O?/(----)=e3—<e—<O?

2322

故存在XIW(-?^?,—1?),使得w'(X1)=O,且xe(-1,x∣)時(shí)，φ'{x}>O>∕f(x)遞增，

Xe(X1,0)時(shí)，8(x)<O,//(X)單調(diào)遞減，故X=Xl時(shí)，∕f(x)取得最大值，且“(X)WK?="(Λ1),

x,

*'(x∣)=0,e'=cos玉，.?.∕J(X),,WV=〃'(XI)=cosXl-SinXl—應(yīng)=0CoS(Xl+；)一五，θ，

故/!(X)單調(diào)遞減，故xe[—0]時(shí)，∕z(x)..∕z(O)=O即/(x)..0成立，

綜上，若x∈[-],0]時(shí)，/(x)..0恒成立，則。的取值范圍是[1,+8).

8.設(shè)函數(shù)f(x)=e*COSx,g(x)=e2x-Iax.

(1)當(dāng)xw[0,(]時(shí)，求/(x)的值域；

(2)當(dāng)xe[0,+8)時(shí)，不等式g(x)?.小恒成立(尸(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù))，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

e2x

【解答】解:(I)由題可得廣(X)=∕cosx-e*sinx=e"(cosx-SinX).

令frW=e'(cosX-SinX)=0，得X=工∈[0,馬.

43

當(dāng)x∈(O,f)時(shí)，∕,(x)>0,當(dāng)xe(f,g)時(shí)，∕,(x)<0,

443

所以fMmκ=/(?)=等，=欣，”/(O),嗎)}.

π3

33

因?yàn)楱Mg)=y>y=f>l=./'(O)>所以fMmin

F)工

所以/(X)的值域?yàn)閇1,券資].

(2)由8⑴…安得宴-2-COSksinx.

*ex

nιlSinX-COSXl2xrC八

艮J----------------------------+e-2ax..0.

.n,?sinx-cosxχC),Hir、2cos%?_

設(shè)h(zx)=---------+e22'-2ax,則hf(xz)=------+2e2x2r-2a.

4e3λ-2√2sin(x+^)

設(shè)0(x)=?r(x)，貝(jφ,(x)=------------------------—?

ex

3x

當(dāng)x∈[0,+8)時(shí)，4e..4,2√2sin(x+-,,2λ^),所以“(x)>O.

4

所以奴x)即“(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增,則∕α)..>'(0)=4-2”.

若4,2,則贈(zèng)'(0)=4-200,所以〃(%)在[0,+8)上單調(diào)遞增.

所以〃(M>2)..〃(O)=O恒成立，符合題意.

若，則”(0)=4-2αv0,必存在正實(shí)數(shù)與,滿足：當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，"(x)<0,〃(無)單調(diào)遞減,此時(shí)〃(X)V力(O)=O，

不符合題意

綜上所述，”的取值范圍是(-OO,2].

9.已知函數(shù)y=∕(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=∣nx+k,曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(1,f(1)

ex

)的切線與X軸平行，T(X)是/(X)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求女的值及當(dāng)XVO時(shí).，函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)g(x)=(d+x)?r(%)對(duì)于任意x>0,證明g(x)<l+e~2.

?ex-(IlVC+k).ex

【解答】(I)解：由/(X)=螭￥

得r(X)=------------&-----------

???八1)=宏=0,

即A:=1.

1

——llnx-ι1

∕,(X)=Λ~~--(x>0),

e

g(x)=L-阮V-1為減函數(shù)，且g(I)=0,

X

二.當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，g(κ)>O,f,(x)>O.

當(dāng)％∈(l,+oo)時(shí)，g(x)<O,f?x)<0.

?.f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+8)；

1_i_Y

(II)證明：g(x)=(x^+x)?f,(x)=——?(1-xlnx-x).

記〃(X)=I-x∕mx(x>O),

z,2

Λ(x)=-InX-2,令h(x)=O,W?x=e~f

當(dāng)x∈(0,∕)∏寸，"(χ)>0,A(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e",+00)時(shí)，Zf(X)<0,∕z(x)單調(diào)遞減.

；?h(x)max=)=1+I,

.,.1-xlnx一天,1+e2.

I-Lyγ

令f(x)=-j-(x>O)，f'(x)=---<0.

eze

：./(x)在(O,-KΛ)上單調(diào)遞減，

.,.t(x)</(O)=1.

1_1_?

g(x)=——?(1-xlnx-↑)<l+e^2.

10.已知函數(shù)f(x)=e*-ar?,α∈R.

(/)當(dāng)α=1時(shí)，求過點(diǎn)(0,1)且和曲線y=/(x)相切的直線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在(O,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

【解答】解(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=ex-x2,f?x)=ex-Ix,

當(dāng)點(diǎn)(0,1)為切點(diǎn)時(shí)，所求直線的斜率為/'(0)=1，則過點(diǎn)(0,1)且和曲線y=∕(x)相切的直線方程為

X-y+1=O,

當(dāng)點(diǎn)(0,1)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(?,>,0),x0≠O,

則所求直線的斜率為/'(%)=/°-2%,所以*一2XO=比二?,①易知為=小—片，②

?

由①②可得/°-2Λ0=--

?

Aox0r0

即Xoe—2XQ=e—?θ—1,(x0—1)(^—X0-1)=O?

ιSLg(x)=ex-x-?,則gXx)=e'-l,

所以當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>O,當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)vθ,

所以g(χ)=產(chǎn)一X一1在(0,÷x))上單調(diào)遞增,在(-oo,0)上單調(diào)遞減,

又g(O)=e°-O-l=O,

所以g(x)=e'-x-?有唯一的零點(diǎn)x=0,

因?yàn)閄OX0,所以方程(X(J-I)(*-x°-l)=0的根為%=1,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-l),

故所求切線的斜率為/(1)=e—2,則過點(diǎn)(0,1)且和曲線y=∕(x)相切的直線方程為(e-2)x-y+l=0,

綜上，所求直線的方程為x-y+l=0或(e-2)x-y+l=0,

(2)解法一、/(x)=e'-ax2-e'f1-,令=I-色匚,

Iexe'

因?yàn)閑*>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)∕z(x)的零點(diǎn)，

當(dāng)4,0時(shí)，Λ(x)>O,∕ι(x)沒有零點(diǎn)，所以f(x)沒有零點(diǎn).

當(dāng)α>0時(shí)，〃(X)=絲注二④，當(dāng)Xe(0,2)時(shí)，Λ,(x)<O,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，A,(x)>O,

ex

所以〃(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,-H?)上單調(diào)遞增，

故Λ(2)=l-?是函數(shù)∕ι(x)在(0,田)上的最小值，

e^

2

當(dāng)∕z(2)>0,即a<(,∕7(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn)，即f(x)在(0,田)上沒有零點(diǎn)：

當(dāng)∕z(2)=0,即α=J,∕z(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，即/(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)；

易知對(duì)任意的XGR，都有∕>x,即)>-,所以e">￡,即上<1,4X=27o,則空］=烏￡<1,

327TlexTleilae27a

3

所以∕z(27α)=l—三/->0,

故h(x)在(2,27a)上有一個(gè)零點(diǎn)，

因此〃(X)在(O,E)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即/(X)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

2

綜上，若函數(shù)F(X)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是6,+∞).

解法二、由〃X)=O可得，=看，

aex

2

令人(幻=Ξ^-(X∈(0,÷∞)),

e

則函數(shù)/(X)在(0,-w)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線y=2與函數(shù)k{x)的圖象在(0,-κo)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)),

a

k?x?=2"X='O，),令人,(χ)=。得X=2,

exex

當(dāng)X￡(0,2)時(shí)，?,(x)>0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，/(x)vθ,所以A(X)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,”)上單調(diào)遞減,

A

所以k(x)在(0,÷∞)上的最大值為攵(2)=；,

e

因?yàn)锳r(O)=O,并且當(dāng)χ>2時(shí):—>0,

ex

所以當(dāng)O<L<W時(shí)，A(X)在(0,+00)上的圖象與直線y=L有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

aea

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)ya)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

4

所以，若函數(shù)f(x)在OM)匕有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是(U+∞)?

4

11.已知函數(shù)f(x)={x-Y)ex-X2,g(x)=aex-2ax+a2一10(α∈R).

(I)求曲線y=∕(x)在(1,f(I))處的切線方程；

(II)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)fXx)=ex+(x-↑)ex-2x,f,(1)=e-2,

f(1)=-1，

所求切線方程為y=(e-2)x+l-e...........(4分)

(∏)令Λ(x)=f(x)-g(x)=(x-a-l)ex-x2÷2ax-a2+Io(X>0)

Λr(x)=ex+(x-a-?)ex-2x+2a=(x-a)(ex-2)

(D當(dāng)小O時(shí)，x-a>0^OVXV/〃2時(shí)，h,(x)<O；x>/〃2時(shí)，h,(x)>O

.?.∕2(x)在(0,加2)上是減函數(shù)，在(方2,+oo)上是增函數(shù)，\

A(x)..h(ln2)=-a2+(2ln2-2)。-In22+2ln2+8>0

.,.(a-Inl-2)(a-ln2÷4)<O,即/〃2—4<《，O...........(7分)

②當(dāng)OVaV例2時(shí)，h(x)在(OM)上是增函數(shù)，在(a,ln2)上是減函數(shù)，

在(加2,+8)上是增函數(shù)，

要使〃(x)>0,

L.[h(ln2)>O/力'口/..、

則《，解得0<α<∕/2...........(9分)

M(O)..O

③當(dāng)。=/〃2時(shí)，//(%)..O,∕z(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，

Λ(0)=9-∕n2-∕n22>0,J??_____(10分)

④當(dāng)α>∕“2時(shí)，/?(x)在(0,/〃2)上是增函數(shù),

在(/〃2,a)上是減函數(shù)，在(a,”)上是增函數(shù)，

要使〃(x)>0,

r.[h(d)>0..,

則1,解τ1得tl加2v4<∕H0

[Λ(0)..0

綜上，實(shí)數(shù)α