河北省邯鄲市雞澤縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊第二次月考數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年上學(xué)期第二次月考

高三數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合〃={H-l<xM3,xeZ},N=N（X+1）（X-2）W0},則MCN=（）

A.{^|-l<x<2}B.{-1,0,1,2）

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足上3=l+i,彳是z的共枕復(fù)數(shù)，則z+5等于（）

z

A.-2iB.-2C.-4iD.-1

3.已知向量a=（l,2）,b=（2+x,\-y）,且°工匕，則2y-x的值為（）

A.-3B.-4C.4D.0

4.已知函數(shù)〃x）=2*+4m2在區(qū)間（—,6）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.a>3B.a<3C.a<—3D.a<—3

22

5.已知橢圓工+匕=1的離心率為;，則%的值為（）

A+892

A.4B.—13C.4或一士5D.4或1上3

444

6.過直線）'=》上的一點P作圓（x—5Y+（y—l）2=2的兩條切線4,4,切點分別為A8,當(dāng)直線

4，4關(guān)于丁=》對稱時，線段a的長為（）

A.4B.20C."D.2

7.已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為S“，命題P：“%>°，％>0"，命題《：“S7>0”，則命題?是

命題的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.已知ae（O,兀）,Bw則sin(a+2⑶=(

2府+22V10-2c-2V10+22M+2

9999

多選題

9.隨機抽取6位影迷對電影《長津湖》的評分，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：92,93,95,95,97,98,則

下列關(guān)于該樣本的說法中正確的有（）

A.均值為95B.極差為6

C.方差為26D.第80百分位數(shù)為97

10.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排

氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃

度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間

滿足函數(shù)關(guān)系其中潦=R（不為常數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人

就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（）

C.排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

11.已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)都有/（x+y）+〃x—y）=2〃x）/（y）,且

0,則以下結(jié)論一定正確的有（

A./(0)=-1/（x）是偶函數(shù)

中心對稱D./(1)+/(2)+.+/(2023)=0

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12.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點處的

小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為3。的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面,

得到所有棱長均為。的截角四面體，則下列說法正確的是()

該截角四面體的內(nèi)切球體積也得3B.該截角四面體的體積為紐1/

812

1q5

C.該截角四面體的外接球表面積為］陽2D.△AEF外接圓的面積為7無〃2

三、填空題

13.從2位醫(yī)生和4位護士中選3人參加支援武漢抗擊新冠疫情，且至少有1位醫(yī)生入選，則不

同的選法共有一種.(用數(shù)字填寫答案)

14.已知一個圓臺的上、下底面圓半徑分別為2、5,高為4,則這個圓臺的側(cè)面積為.

)2

15.已知焦點在x軸上的雙曲線二--J=1的左右焦點別為"和巴，其右支上存在一點。滿

m~m~-1

足/^,尸入，且△PKK的面積為3,則該雙曲線的離心率為.

16.已知點p為曲線y=詈上的動點，0為坐標原點.當(dāng)I?！白钚r，直線如恰好與曲線y=ai1伏

相切，則實數(shù)3=___.

四、解答題

17.在jABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,且(c-q)(sinC+sinA)=(c-b)sinB

(1)求角A的大小；(2)若a=3,b=2,求邊BC上的高人.

18.已知等比數(shù)列｛q｝的前"項和為eN"),%-4=30,5；=30.

⑴求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列低｝滿足勿=log2a2的，求數(shù)列［，一,的前〃項和小

19.如圖，在直三棱柱ABC-A】BiG中，AC1BC,441=BC=2,且二面角4一BC-A為45°.

(1)求棱4c的長；

(2)若。為棱的中點，求平面CCi。與平面&BC夾角的正切值.

20.已知函數(shù)/(力=(取?+(a-l)x-lnx,aeR.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時，證明〃x)22-五.

21.在平面直角坐標系xOy中，動點P(x,y)滿足J(x+口/+y?+J(x-O)2+y2=4-記

點P的軌跡為E.

(1)請說明E是什么曲線，并寫出它的方程；

(2)設(shè)不過原點0且斜率為(的直線1與E交于不同的兩點A、B,線段AB的中點為T,直線OT與E交于

兩點C、D,請判斷|TA|?|TB|與|TC|?|TD|的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

22.已知函數(shù)/(x)=〃ei-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若不等式f(x)N1恒成立，求a的取值范圍.

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高三數(shù)學(xué)月考試題

參考答案：

1.C2.B3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.ABD10.BD11.BC12.BD

13.1614.35兀15.立16.-e

2

17.【詳解】⑴（c"）（sinC+sinA）=（c叫sinb'故（，-。）（，+。）=小叫，

整理得〃”+c2—秘，故cosA=_+\；.=g,又Ae（O,7T）,故A=g.

（2）cr=h2+c2-he,B|J9=4+c2-2c,解得c=l+6或c=l-?（舍去），

由SABC=；bcsin4=（1+指卜弓=；〃"=1*/2,解得力=亞+^~.

18.【詳解】（1）設(shè)｛q｝的公比為4，由題意知，9工1，

*.*%—4=30,S4=30,

\q（1-力

4（/-1）=30,-^-----L=30,解得4=2,%=2,

1-4

二3".

（2）由（1）知，=log2a2?+1=2?+1,

...111______

bnbn+x（2〃+1）（2〃+3）2（2“+12〃+3「

19.解：（1）???AA1_L平面4BC,???AAr1BC,

又AC1BC,AA1C\AC=A,AAr,4Cu平面

???BC，平面

vAXCu平面A4iC,二BC1AC

CA是二面角4-BC-4的平面角，則41CA=45°.

vAAt1AC,:.AC=AAr=2.

(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，貝兒(0,0,0),4(0,2,0),

8(2,0,0),4式0,2,2),

可得而=(2,0,0)，可=(0,2,2).

設(shè)平面4BC的法向量為元=(x,y,z),則［竺If2%=°,

kCA1-n=2y+2z=

取y=1,得完=(0,1,-1).

易證沆=AB=(2,-2,0)是平面CGD的一個法向量，

得平面CG。與平面&BC的夾角為60。，

故平面CC1。與平面&BC夾角的正切值為

20.【詳解】(1)函數(shù)〃力的定義域為(0,+8),

f'(x\=ax+a-\——=——------L.

XX

若“40,則當(dāng)x?0,w)時,f'(x)<0,故“X)在(。,+8)上單調(diào)遞減;

若〃>0,則當(dāng)時當(dāng)時/")>0,

故"X)在(o,￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)〃>0時，/(力在8=’處取得最小值/d=l-4-lnL,

a\a)2aa

3ii311

所以——等價于1-----ln->2-—,BP--ln--l>0.

2a2aa2aaa

設(shè)g(x)=x-lnx—l,則景(x)=l-g.

當(dāng)xw(O,l)時，g'(x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=l時，g(x)取得極小值且為最小值，最小值為g(l)=。.

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所以當(dāng)x>0時，g(x)“.

I3

從而當(dāng)。>0時，一一In一一1>0,即〃力22——.

aa2a

21.解：(1)設(shè)&(一二,0)，F(xiàn)2(/3,0),

則因為J(x+氣2+y2+J(%一門)2+丫2=4,

滿足|P&|+\PF2\=4>I&F2I=2AT3-

即動點P表示以點F],F2為左、右焦點，長軸長為4,焦距為2c的橢圓,

其軌跡的方程為9+必=1；

(2)可以判斷出|TA|?|7B|=\TC\'\TD\,

下面進行證明：

設(shè)直線I的方程為y=力0),4(右,乃)，B。2,九)，

仔+y2=],

由方程組，41得*2+2mx+2m2—2=0。

ly=-x+m

方程⑦的判別式為A=4(2-m2),

由Z>0,即2—m2>0,解得<根<Q且nt：?!：0,

2

由。導(dǎo)Xi+x2=-2m,xrx2-2m—2,

所以7點坐標為(mq)，直線07方程為y=—?x,

/2

—y+y2=1r-r/—x

由方程組4「得c(_q,C),D(n,_C),

[y=~2x22

所以|TC|?|7D|=?(一瓶+。)??(V'I+7n)=：(2-m2),

22

又|T4|?\TB\=；[(*]—出產(chǎn)+Oi-y2)]=[(^1+x2)-4XiX2]

=5[4m2—4(2m2—2)]=|(2—m2),

所以|7川?|7B|=\TC\■\TD\.

22.【詳解】(1)Q/(x)=^-lnx+l,f'[x}=ex,:.k=f'(y)=e-\.

X

QAl)=e+l,.?.切點坐標為(1,1+e),

函數(shù)在點處的切線方程為y—e—l=(e—l)(x—1),即y=(e—l)x+2,

，切線與坐標軸交點坐標分別為(0,2),(二,0),

e-1

1-22

???所求三角形面積為-x2x|--|=--.

2e-1e-1

(2)Qf(x)=aex~[-\nx+\na,f\x)=aex~1--,且?！?