2024年初中升學(xué)考試真題卷湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）2023的相反數(shù)是（）A． B． C．2023 D．﹣20232．（3分）下列LOGO標(biāo)志中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）5月5日，從長沙市文化和旅游廣電局了解到，“五一“假期全市接待游客362.38萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入35.38億元：與清明小長假相比，游客人數(shù)和旅游收入分別增長10%和20%以上．全市列入省文旅廳統(tǒng)計(jì)監(jiān)測范圍的景區(qū)共接待游客36.76萬人次，實(shí)現(xiàn)門票收入1126.58萬元，長沙成為“五一“全國旅游最熱門的城市之一．1126.58萬元寫成科學(xué)記數(shù)法法的形式是（）A．11.2658×107 B．1.12658×107 C．11.2658×106 D．0.112658×1074．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．2m﹣m＝1 B．m2?m3＝a6 C．m6÷m2＝m4 D．（m3）2＝m55．（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的俯視圖是（）A． B． C． D．6．（3分）已知一組數(shù)據(jù)：111，113，115，115，116，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，1157．（3分）一次函數(shù)y＝﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正確的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y9．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝10，AD＝6，則BC的長為（）?A．10 B．16 C．18 D．2010．（3分）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若BC＝2，則CD的長為（）?A． B． C． D．二、填空題（每題3分，共18分）11．（3分）分解因式：3a2﹣6a+3＝．12．（3分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．13．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．15．（3分）已知圓錐的母線長為6cm，底面半徑為2cm，則它的側(cè)面展開扇形的面積為．16．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，且CB＝CD，CE⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠ABC＝40°，則∠ADC＝；（2）若AE＝2，BD＝8，則⊙O的半徑長為．?三、解答題（共72分，請將答案寫在答題卡上）17．計(jì)算：．18．先化簡再求值：，其中a＝﹣3．19．如圖，在坡頂?shù)腁處的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC，某同學(xué)再沿著坡度為i＝5：12的斜坡AP攀行26米到達(dá)了點(diǎn)A，距建筑物BC底端C為5米，在坡頂A處又測得該建筑物的頂端B的仰角為76°，求建筑物BC的高度（精確到0.1）．（1）求坡頂A到地面PQ的距離；（2）計(jì)算建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）20．某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽光體育活動．某中學(xué)就“學(xué)生體育活動興趣愛好”的問題，隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖：（1）在這次調(diào)查中，喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“乒乓球”的百分比為%，如果學(xué)校有800名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中有人喜歡籃球項(xiàng)目．（2）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．（3）在被調(diào)查的學(xué)生中，喜歡籃球的有2名女同學(xué)，其余為男同學(xué)．現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表班級參加?；@球隊(duì)，請直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率．21．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OE，過點(diǎn)D作DF∥AC交OE的延長線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△AOE≌△DFE；（2）判定四邊形AODF的形狀并說明理由．22．某公司購買了A、B兩種型號的芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等．（1）求該公司購買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元？（2）若兩種芯片共購買了100條，其購買的總費(fèi)用不少于3140元，且B型的數(shù)量不高于A型數(shù)量的4倍，問一共有多少種購買方案，哪一種方案最省錢？23．如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，連接AC，BD，滿足∠CAB＝2∠ABD，作DE⊥CA交CA延長線于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝3AE，①求tan∠ABD的值；②求的值．24．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝1，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，連接BE，以BE為邊作正方形BEFG，如圖所示．連接BF、AF．（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)，求AF的長；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動時(shí)，求AF的最小值及此時(shí)DE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動時(shí)，設(shè)CE的長為a，是否存在a的值使△ABF為等腰三角形，若存在則求出a的值；若不存在請說明理由．25．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)x≤h部分的圖象記為W1，將圖象W1沿x＝h翻折到右側(cè)后得到的圖象為W2，我們稱圖象W1，W2共同構(gòu)成的圖象稱為函數(shù)的“h階共生函數(shù)”，如函數(shù)y＝x的“1階共生函數(shù)”解析式為．（1）直接寫出直線l：y＝x﹣3的“4階共生函數(shù)”與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知直線y＝kx﹣k﹣3與的“0階共生函數(shù)”共有三個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)k的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝﹣x2+2的“h階共生函數(shù)”與直線y＝x恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求h的取值范圍．

2023年湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）2023的相反數(shù)是（）A． B． C．2023 D．﹣2023【答案】D【分析】只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：2023的相反數(shù)是﹣2023．故選：D．2．（3分）下列LOGO標(biāo)志中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；故選：B．3．（3分）5月5日，從長沙市文化和旅游廣電局了解到，“五一“假期全市接待游客362.38萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入35.38億元：與清明小長假相比，游客人數(shù)和旅游收入分別增長10%和20%以上．全市列入省文旅廳統(tǒng)計(jì)監(jiān)測范圍的景區(qū)共接待游客36.76萬人次，實(shí)現(xiàn)門票收入1126.58萬元，長沙成為“五一“全國旅游最熱門的城市之一．1126.58萬元寫成科學(xué)記數(shù)法法的形式是（）A．11.2658×107 B．1.12658×107 C．11.2658×106 D．0.112658×107【答案】B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：1126.58萬＝11265800＝1.12658×107．故選：B．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．2m﹣m＝1 B．m2?m3＝a6 C．m6÷m2＝m4 D．（m3）2＝m5【答案】C【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、2m﹣m＝m，故A不符合題意；B、m2?m3＝a5，故B不符合題意；C、m6÷m2＝m4，故C符合題意；D、（m3）2＝m6，故D不符合題意；故選：C．5．（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：從上面看，可得如圖形：故選：D．6．（3分）已知一組數(shù)據(jù)：111，113，115，115，116，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115【答案】A【分析】根據(jù)眾數(shù)定義確定眾數(shù)；利用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法可以算得平均數(shù)．【解答】解：平均數(shù)＝（111+113+115+115+116）÷5＝114，數(shù)據(jù)115出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)是115．故選：A．7．（3分）一次函數(shù)y＝﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】因?yàn)閗＝﹣2＜0，b＝﹣1＜0，根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的性質(zhì)得到圖象經(jīng)過第二、四象限，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，于是可判斷一次函數(shù)y＝﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過第一象限．【解答】解：對于一次函數(shù)y＝﹣2x﹣1，∵k＝﹣2＜0，∴圖象經(jīng)過第二、四象限；又∵b＝﹣1＜0，∴一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即函數(shù)圖象還經(jīng)過第三象限，∴一次函數(shù)y＝﹣2x﹣1的圖象不經(jīng)過第一象限．故選：A．8．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正確的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【解答】解：A、在不等式x＜y的兩邊同時(shí)減去1，不等號的方向不變，即x﹣1＜y﹣1，不符合題意；B、在不等式x＜y的兩邊同時(shí)加上1，不等號的方向不變，即x+1＜y+1，不符合題意；C、在不等式x＜y的兩邊同時(shí)乘﹣2，不等號法方向改變，即﹣2x＞﹣2y，不符合題意；D、在不等式x＜y的兩邊同時(shí)乘2，不等號的方向不變，即2x＜2y，符合題意．故選：D．9．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝10，AD＝6，則BC的長為（）?A．10 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BC＝2BD，AD⊥BC，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BC＝2BD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∴BC＝2BD＝16，故選：B．10．（3分）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若BC＝2，則CD的長為（）?A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分線的定義可得∠DBC＝36°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BDC＝72°，進(jìn)而可得∠C＝∠BDC＝72°，然后利用等角對等邊可得BC＝BD，從而可得△BDC是“黃金三角形”，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，∴△BDC是“黃金三角形”，∴＝，∵BC＝2，∴DC＝﹣1，故選：A．二、填空題（每題3分，共18分）11．（3分）分解因式：3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先提取公因式3，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．故答案為：3（a﹣1）2．12．（3分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x＞3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分母不為零的性質(zhì)，可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案為：x＞3．13．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1.5）．【答案】（1，1.5）．【分析】利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)得到位似比，然后根據(jù)位似比得到E點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，而A（6，4），B（2，3），D（3，2），∵OA＝＝2，OD＝，∴△ABC與△DEF的位似比為2：1，∵B（2，3），∴E點(diǎn)的坐標(biāo)是為（2×，3×），即（1，1.5）．故答案為：（1，1.5）．14．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤1．【答案】k≤1．【分析】先計(jì)算根的判別式，根據(jù)一元二次方程解的情況得不等式，求解即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k．又∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有實(shí)數(shù)根，∴4﹣4k≥0．∴k≤1．故答案為：k≤1．15．（3分）已知圓錐的母線長為6cm，底面半徑為2cm，則它的側(cè)面展開扇形的面積為12πcm2．【答案】12πcm2．【分析】圓錐的側(cè)面積S＝πrl．【解答】解：底面半徑為2cm，圓錐的母線長為6cm，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為S＝πrl＝π×2×6＝12π（cm2）．故答案為：12πcm2．16．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，且CB＝CD，CE⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠ABC＝40°，則∠ADC＝40°；（2）若AE＝2，BD＝8，則⊙O的半徑長為10．?【答案】（1）40°；（2）10．【分析】（1）由圓周角定理可得出答案；（2）過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，證出∠ADB＝∠ACB＝90°，證明四邊形CEDF是矩形，得出CE＝DF＝4，求出AC＝2，證出，求出BC的長，由勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）∵，∴∠ADC＝∠ABC＝40°，故答案為：40°；（2）過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，∵BD＝8，CD＝CB，∴DF＝BF＝4，∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴CE＝DF＝4，∵AE＝2，∴AC＝＝＝2，∵四邊形ADBC為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠EAC＝∠CBF，∴cos∠EAC＝cos∠CBF，∴，∴，∴BC＝4，∴BA＝＝10．故答案為：10．三、解答題（共72分，請將答案寫在答題卡上）17．計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：|﹣4|﹣（5﹣）0﹣2tan45°+（﹣2）﹣2＝4﹣1﹣2×1+＝3﹣2+＝．18．先化簡再求值：，其中a＝﹣3．【答案】，．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝÷＝?＝，將a＝﹣3代入得，原式＝＝．19．如圖，在坡頂?shù)腁處的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC，某同學(xué)再沿著坡度為i＝5：12的斜坡AP攀行26米到達(dá)了點(diǎn)A，距建筑物BC底端C為5米，在坡頂A處又測得該建筑物的頂端B的仰角為76°，求建筑物BC的高度（精確到0.1）．（1）求坡頂A到地面PQ的距離；（2）計(jì)算建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）【答案】（1）10米；（2）20.0米．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥PQ于H，根據(jù)斜坡AP的坡度為i＝5：12，得出，設(shè)AH＝5k，則PH＝12k，AP＝13k，求出k值即可求解．（2）由題意易得AC＝5，然后利用Rt△ABC中，即可求解．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥PQ于H，如圖所示，∵斜坡AP的坡度為i＝5：12，∴，設(shè)AH＝5k，則PH＝12k，則，∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10，∴坡頂A到地面PQ的距離為10米．（2）由題意得：AC＝5，∴在Rt△ABC中，，即，解得x≈20.0，∴古塔BC的高度約20.0米．20．某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽光體育活動．某中學(xué)就“學(xué)生體育活動興趣愛好”的問題，隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖：（1）在這次調(diào)查中，喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有5人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“乒乓球”的百分比為20%，如果學(xué)校有800名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中有80人喜歡籃球項(xiàng)目．（2）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．（3）在被調(diào)查的學(xué)生中，喜歡籃球的有2名女同學(xué)，其余為男同學(xué)．現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表班級參加?；@球隊(duì)，請直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先利用跳繩的人數(shù)和它所占的百分比計(jì)算出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)分別減去喜歡其它項(xiàng)目的人數(shù)可得到喜歡籃球項(xiàng)目的人數(shù)，再計(jì)算出喜歡乒乓球項(xiàng)目的百分比，然后用800乘以樣本中喜歡籃球項(xiàng)目的百分比可估計(jì)全校學(xué)生中喜歡籃球項(xiàng)目的人數(shù)；（2）畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20÷40%＝50（人），所以喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)的人數(shù)＝50﹣20﹣10﹣15＝5（人）；“乒乓球”的百分比＝×100%＝20%，因?yàn)?00××100%＝80，所以估計(jì)全校學(xué)生中有80人喜歡籃球項(xiàng)目；故答案為5，20，80；（2）如圖，（3）畫樹狀圖為：共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的結(jié)果數(shù)為12，所以所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率＝＝．21．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OE，過點(diǎn)D作DF∥AC交OE的延長線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△AOE≌△DFE；（2）判定四邊形AODF的形狀并說明理由．【答案】（1）見解答．（2）四邊形AODF為矩形．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可．（2）先證明四邊形AODF為平行四邊形，再結(jié)合∠AOD＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF，∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）．（2）解：四邊形AODF為矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF，∵DF∥AC，∴四邊形AODF為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODF為矩形．22．某公司購買了A、B兩種型號的芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等．（1）求該公司購買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元？（2）若兩種芯片共購買了100條，其購買的總費(fèi)用不少于3140元，且B型的數(shù)量不高于A型數(shù)量的4倍，問一共有多少種購買方案，哪一種方案最省錢？【答案】（1）該公司購買的A型芯片的單價(jià)是26元，B型芯片的單價(jià)是35元；（2）一共有21種購買方案，購買A型芯片40條，B型芯片60條最省錢．【分析】（1）設(shè)B型芯片的單價(jià)為x元/條，則A型芯片的單價(jià)為（x﹣9）元/條，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購買A型芯片為m條，則購買B型芯片為（100﹣m）條，根據(jù)購買的總費(fèi)用不少于3140元，且B型的數(shù)量不高于A型數(shù)量的4倍，列出一元一次不等式組，解得20≤m≤40，得一共有21種購買方案，再設(shè)總費(fèi)用為y元，由題意得y＝﹣9m+3500，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該公司購買的B型芯片的單價(jià)是x元，則A型芯片的單價(jià)是（x﹣9）元，由題意得：＝，解得：x＝35，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝35是原方程的解，且符合題意，∴x﹣9＝26，答：該公司購買的A型芯片的單價(jià)是26元，B型芯片的單價(jià)是35元；（2）設(shè)購買A型芯片為m條，則購買B型芯片為（100﹣m）條，由題意得：，解得：20≤m≤40，∵m為整數(shù)，∴m＝20，21，22，23，24，…，40，∴一共有21種購買方案，設(shè)總費(fèi)用為y元，由題意得：y＝26m+35（100﹣m）＝﹣9m+3500，∵﹣9＜0，∴y隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝40時(shí)，y的值最小，此時(shí)100﹣m＝60，答：一共有21種購買方案，購買A型芯片40條，B型芯片60條最省錢．23．如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，連接AC，BD，滿足∠CAB＝2∠ABD，作DE⊥CA交CA延長線于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝3AE，①求tan∠ABD的值；②求的值．【答案】（1）見解析；（2）①；②．【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠AOD，根據(jù)平行線的判定得到AC∥OD，求得OD⊥DE，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)AE＝x，AB＝3x，連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，推出∠ADE＝∠ABD，根據(jù)相似三角形到現(xiàn)在得到AD＝x，根據(jù)勾股定理得到BD＝x，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠ABD＝＝＝；②根據(jù)勾股定理得到DE＝＝x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵∠CAB＝2∠ABD，∠AOD＝2∠ABD，∴∠CAB＝∠AOD，∴AC∥OD，∵DE⊥CA，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：①∵AB＝3AE，∴設(shè)AE＝x，AB＝3x，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠ODB＝90°，∵∠ADE+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ADE＝∠ABD，∵∠E＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD，∴，∴，∴AD＝x，∴BD＝＝x，∴tan∠ABD＝＝＝；②∵∠E＝90°，∴DE＝＝x，∵∠ECD＝∠ABD，∠E＝∠ADB＝90°，∴△ECD∽△DBA，∴，∴，∴CE＝2x，∴AC＝CE﹣AE＝2x﹣x＝x，∴＝＝．24．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝1，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，連接BE，以BE為邊作正方形BEFG，如圖所示．連接BF、AF．（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)，求AF的長；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動時(shí)，求AF的最小值及此時(shí)DE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動時(shí)，設(shè)CE的長為a，是否存在a的值使△ABF為等腰三角形，若存在則求出a的值；若不存在請說明理由．【答案】（1）AF的長為；（2）AF的最小值為，此時(shí)DE的長為；（3）存在a的值使△ABF為等腰三角形，a的值為2或3或或．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得BC＝AD＝1，DC＝AB＝5，∠ABC＝∠BCD＝90°，由正方形的性質(zhì)得BE＝FE，當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上，則CE⊥BF，所以FC＝BC＝1，BF＝2BC＝2，由勾股定理得AF＝＝；（2）作△BEF的外接圓⊙O，延長DC交⊙O于點(diǎn)H，連接BH、FH，則∠EHF＝∠EBF＝45°，∠BHE＝∠BFE＝45°，所以∠BCH＝90°，則∠CBH＝∠CHB＝45°，所以HC＝BC＝1，因?yàn)辄c(diǎn)F在直線HF上運(yùn)動，所以當(dāng)AF⊥HF時(shí)，AF的值最小，設(shè)AF交DC于點(diǎn)I，作FL⊥DC于點(diǎn)L，可求得ID＝AD＝1，HI＝5，則LF＝LI＝LH＝，所以AI＝＝，F(xiàn)I＝＝，AF＝AI+FI＝，再證明△BEC≌△EFL，得CE＝LF＝，所以DE＝DC﹣CE＝；（3）作FN⊥AB于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)M，可證明△MEF≌△CBE，得MF＝CE＝a，EM＝BC＝1，所以MN＝BC＝1，則FN＝a+1，BN＝a﹣1，再分三種情況討論，一是當(dāng)AF＝AB＝5時(shí)，則（6﹣a）2+（a+1）2＝52；二是當(dāng)AF＝BF時(shí)，則a﹣1＝；三是當(dāng)AB＝FB＝5時(shí)，則（a+1）2+（a﹣1）2＝52，解方程求出符合題意的a值即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝1，∴BC＝AD＝1，DC＝AB＝5，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵四邊形BEFG是正方形，∴BE＝FE，∵點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段BF上，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BF，∴FC＝BC＝1，∴BF＝2BC＝2，∴AF＝＝＝，∴AF的長為．（2）如圖（2），作△BEF的外接圓⊙O，延長DC交⊙O于點(diǎn)H，連接BH、FH，∵BE＝FE，∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠EFB＝45°，∴∠EHF＝∠EBF＝45°，∠BHE＝∠BFE＝45°，∵∠BCH＝90°，∴∠CBH＝∠CHB＝45°，∴HC＝BC＝1，∵點(diǎn)F在與直線DC所夾的銳角為45°的直線上運(yùn)動，∴當(dāng)AF⊥HF時(shí)，AF的值最小，設(shè)AF交DC于點(diǎn)I，作FL⊥DC于點(diǎn)L，∵∠AFH＝90°，∠IHF＝45°，∴∠HIF＝∠IHF＝45°，∴∠DIA＝∠DAI＝45°，∴FI＝FH，ID＝AD＝1，∴HI＝CD﹣ID+HC＝5+1﹣1＝5，∴LF＝LI＝LH＝HI＝×5＝，∵∠D＝∠FLI＝90°，∴AI＝＝＝，F(xiàn)I＝＝＝，∴AF＝AI+FI＝+＝，∵∠BDE＝∠ELF＝90°，∠BEC＝∠EFL＝90°﹣∠LEF，BE＝EF，∴△BEC≌△EFL（AAS），∴CE＝LF＝，∴DE＝DC﹣CE＝5﹣＝，∴AF的最小值為，此時(shí)DE的長為．（3）存在a的值使△ABF為等腰三角形，作FN⊥AB于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)M，∵DC∥AB，∴∠EMF＝∠ANM＝90°，∴∠EMF＝∠C，∵∠MEF＝∠CBE＝90°﹣∠BEC，EF＝BE，∴△MEF≌△CBE（AAS），∴MF＝CE＝a，EM＝BC＝1，∵∠BNM＝∠NBC＝∠C＝90°，∴四邊形BCMN是矩形，∴MN＝BC＝1，∴FN＝MF+MN＝a+1，BN＝CM＝CE﹣1＝a﹣1，當(dāng)△ABF為等腰三角形，且AF＝AB＝5時(shí)，如圖（3），∵AN2+FN2＝AF2，AN＝AB﹣BN＝5﹣（a﹣1）＝6﹣a，∴（6﹣a）2+（a+1）2＝52，解得a1＝2，a2＝3；當(dāng)△ABF為等腰三角形，且AF＝BF時(shí)，如圖（4