1.3 解直角三角形（7大題型）（分層練習）（原卷版）

第1章解直角三角形1.3解直角三角形（7大題型）分層練習考查題型一解直角三角形的相關應用1．（22·23下·深圳·模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點，繞點D逆時針旋轉至，連接，，M為的中點，則當時，．

3．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個頂點分別在，，上，則．

考查題型二解非直角三角形1．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點，則的值（

）

A． B． C． D．2．（23·24上·哈爾濱·階段練習）在中，若，，，則．考查題型三構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（22·23下·益陽·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022下·哈爾濱·開學考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點，將沿直線AM對折得到，若AN平分，則CN的長為（

）A． B． C． D．33．（22·23下·專題練習）如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．考查題型四仰角俯角問題1．（22·23下·日照·階段練習）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達點、、、、在同一平面內，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（21·22下·武漢·階段練習）如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點拱門的高度為．（結果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

考查題型五方位角問題1．（23·24上·石家莊·階段練習）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·清遠·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為．

3．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向上，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內有暗礁．

(1)B處離島C有多遠？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險（參考數(shù)據(jù)：、、）考查題型六坡度坡比問題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個山坡，已知從處沿山坡前進160米到達處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（22·23下·南充·階段練習）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩嬑觀測到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

3．（2023·浙江·模擬預測）某種電纜在空中架設時，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？考查題型七解直角三角形的其他應用1．（2022春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計算2．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長廊加修一條棧道，則的最短長度為米．（結果精確到0.1，，）3．（2022春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學校校聯(lián)考階段練習）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結合梁斜拉橋，塔墩固結一體、塔與主梁縱向活動支承，屬塔墩固結、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設一道上橫梁．全長．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設你站在橋上測得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高的長．（結果精確到0.1米，）

1．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊上，若，，則的長度是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·江蘇南通·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，，連結并延長至C，連結，若滿足，，則點C的坐標為（

）

A． B． C． D．3．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，矩形中，，將矩形繞點A逆時針旋轉，點B，D分別落在點，處，如果點，，C在同一條直線上，那么的值為（）

A． B． C． D．4．（2022下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計算5．（2023下·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達點、、、、在同一平面內，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，斜坡的坡度是，如果點B離地面的高度是3米，那么斜坡的長度是米．

7．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）某?！熬C合與實踐”小組采用無人機輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控無人機飛到橋的上方的點處懸停，此時測得橋兩端兩點的俯角分別為和，則橋的長度是（結果根據(jù)四舍五入法精確到個位，參考數(shù)據(jù)）．

8．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門高米，學生身高米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點處測得攝像頭的仰角為，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點處測得攝像頭的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為．9．（2023上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點的對應點落在邊的延長線上．如果平分，那么的長度為．10．（2022下·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學校校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點O，．點E是的中點，若點F是對角線上一點，則的最小值是．11．（2023上·上海松江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知梯形是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬米，壩高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求壩底寬．12．（2023上·河北邢臺·九年級校考期中）我國在人工智能技術研究領域處于世界領先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉型，圖1是我國自行設計的一款智能手臂機器人，圖2是該型號手臂機器人處于工作狀態(tài)時的示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，，為機械臂，，，，，過點C作直線垂直工作臺于點D，點A，B，C，D，O在同一平面內．(1)求的度數(shù)．(2)求機械臂端點C到工作臺的距離CD的長．（結果保留根號）13．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第四十中學?？计谥校┤鐖D，某地下停車庫入口的設計示意圖，已知，坡道的坡度，的長為7.2米，的長為0.4米．按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標志，以便告知停車人車輛是否能安全駛入，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，請確定該車庫入口的限高（即點D到的距離的值）．14．（2023上·北京西城·九年級北京市第十三中學分校?？计谥校逗u算經(jīng)》是中國古代測量術的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋梁．直至近代，重差測量法仍有借鑒意義．如圖，為測量海島上一座山峰的高度，直立兩根高2米的標桿和，兩桿間距相距6米，D、B、H三點共線．從點B處退行到點F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點共線，