專題04 平行線模型之M型解題方法專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（浙教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中浙教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題04平行線模型之M型解題方法專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【標準答案】B【思路指引】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解詳析】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．2．如圖，已知，將直角三角形如圖放置，若∠2=40°，則∠1為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【標準答案】B【思路指引】過A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠5的度數(shù)，進而得出的度數(shù)．【詳解詳析】解：標注字母，如圖所示，過A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，故選：B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．50°【標準答案】B【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解詳析】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故選：B．【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．4．如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（）

A．101° B．103° C．105° D．107°【標準答案】B【思路指引】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運用對頂角的性質(zhì)求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問題．【詳解詳析】解：如圖，∵直線a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，∠1=43°，

∴∠ANM=43°，

∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，

∴∠2=∠AMO=103°．

故選：B．【名師指路】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎(chǔ)．5．如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】通過作輔助線,過點C和點D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進而可得結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,

∵ABEF,

∴ABEFCGDH,∵CGAB,

∴∠BCG=α,

∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,

∵CGDH,

∴∠CDH=∠GCD=β-α,

∵HDEF,

∴∠HDE=γ,

∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,

∴γ+β-α=90°,

∴β=α+90°-γ．

故選：D．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．6．如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【標準答案】C【思路指引】過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解詳析】解：過點E作EF∥AB，

∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∵∠β=∠AEF+∠FED，

又∵∠γ=∠EDC，

∴∠α+∠β-∠γ=180°，

故選：C．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖，，點在上，，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】B【思路指引】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解詳析】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點E在AC上的任意一點，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯誤，故選：B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．8．如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【標準答案】B【思路指引】過點C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解詳析】如圖，過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.9．如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）

A．4 B．3 C．2 D．1【標準答案】A【思路指引】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【詳解詳析】解：①過點F作FH∥AB，如圖：

∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，

∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；

④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【標準答案】D【思路指引】由題意根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進行計算求解即可．【詳解詳析】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，

∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，

∴∠AE1C=β-α．

（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，

∴∠AE2C=α+β．

（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，

∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，

∴∠AE3C=α-β．

（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，

∴∠AE4C=360°-α-β．

（5）（6）當(dāng)點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=α-β或β-α．

綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．

故選：D．【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及分類討論．二、填空題11．已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置（∠BAC＝30°），并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是_____．【標準答案】38°【思路指引】過點B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，進而可求∠2的度數(shù)．【詳解詳析】如圖，過點B作BD∥a，

∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．

故答案為：38°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．12．如圖，，則____________________．【標準答案】【思路指引】過點做的平行線，利用平行線的性質(zhì)，即可證明．【詳解詳析】過點做的平行線，又又.故答案為：．【名師指路】本題考查了通過平行線的性質(zhì)求解角度問題，解題關(guān)鍵在于過中間的點作已知直線的平行線．13．如圖，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，則∠3=___度．【標準答案】63【思路指引】如圖，易知∠3＝∠2－∠1，計算即可.【詳解詳析】如圖所示，根據(jù)平行線的性質(zhì)易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.14．請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即已知:如圖1，，為、之間一點，連接，得到.求證:小明筆記上寫出的證明過程如下:證明:過點作，∴∵，∴∴.∵∴請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.（1）如圖，若，，則___________.（2）如圖，，平分，平分，，則___________.【標準答案】240°51°【思路指引】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計算∠B+∠F+∠C；（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H．【詳解詳析】（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°，∵，∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵平分，平分，∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，又∵∠BGC=∠BHC+27°，∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，∴∠BHC=51°．故答案為：（1）240°；（2）51°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．15．如圖，，平分，，，則__________．【標準答案】【思路指引】過E點作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．【詳解詳析】解：過E點作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．16．如圖，AB//CD，則______【標準答案】40°【思路指引】首先過點作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得的度數(shù)．【詳解詳析】解：過點作，，，，，．故答案為：．【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法．17．如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=__________°．【標準答案】【思路指引】過點P作平行于AB的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和；分別過點P，Q作AB的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（n-1）次平行線的性質(zhì)，則n個角的和是．【詳解詳析】解：（1）如圖，過點P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-2）條輔助線，運用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案為：【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．三、解答題18．直線AB∥CD，M為AB上一定點，N為CD上一定點，E為直線AB和直線CD之間的一點．（1）當(dāng)點E在MN上時，如圖1所示，請直接寫出∠MEN，∠CNE，∠AME之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點E在MN左側(cè)時，如圖2所示，試猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）當(dāng)點E在MN右側(cè)時，如圖3所示，試猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【標準答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，證明見解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，證明見解析．【思路指引】（1）由平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解；（2）過點E作直線EF∥AB，則EF∥CD，由平行線的性質(zhì)即可得解；（3）過點E作直線EG∥AB，則EG∥CD，由平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解詳析】解：（1）如圖1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，證明如下：∵AB∥CD，∴∠CNE+∠AME＝180°，∵∠MEN＝180°，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）如圖2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，證明如下：過點E作直線EF∥AB，則EF∥CD，∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；（3）如圖3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，證明如下：過點E作直線EG∥AB，則EG∥CD，∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵．19．請在橫線上填上合適的內(nèi)容．（1）如圖（1）已知//，則．解：過點作直線//．∴（）．（）∵//，//，∴（）//（）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴（）．（）．∴．∴．（2）如圖②，如果//，則（）【標準答案】（1）∠B，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

（2）360°【思路指引】（1）過點E作直線EF∥AB，則∠FEB=∠B，繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；

（2）過點E作直線EF∥AB，則∠FEB+∠B=180°，繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【詳解詳析】解：（1）解：過點E作直線EF∥AB．

∴∠FEB=∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．

∴∠FED=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．

∴∠B+∠D=∠BED．

故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

（2）解：過點E作直線EF∥AB，如圖．

∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．

∴∠FED+∠D=180°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．

∴∠B+∠BED+∠D=360°．

故答案為：360°．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵．20．如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質(zhì)可求的度數(shù)．

（1）請你按小明的思路，寫出度數(shù)的求解過程；（2）如圖3，，點在直線上運動，記，．①當(dāng)點在線段上運動時，則與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點不在線段上運動時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【標準答案】（1）見解析；（2）①，見解析；②【思路指引】（1）過作，利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）①過作，再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；②分在延長線上和在延長線上兩種情況進行討論，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出答案【詳解詳析】解：（1）如圖2，過作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如圖3，過作，，，，，；②、．如備用圖1，當(dāng)在延長線上時，；

理由：如備用圖1，過作，，，，，；如備用圖2所示，當(dāng)在延長線上時，；理由：如備用圖2，過P作，，，，，；綜上所述，．【名師指路】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過作．21．如圖，直線AB//CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為直線AB與CD之間的一點，連接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為______________．【標準答案】40°或140°【思路指引】分兩種情況畫圖討論：分別過點E和點F作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，可得EG∥FH∥AB，根據(jù)AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情況一根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情況二根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．進而得到結(jié)論．【詳解詳析】解：分兩種情況畫圖討論：分別過點E和點F作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，如圖，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．綜上所述：∠MFN的度數(shù)為40°或140°．故答案為：40°或140°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．22．已知直線l1//l2，A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線CD上有一點P．（1）如果P點在C，D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）若點P在C，D兩點的外側(cè)運動時（P點與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）【標準答案】（1）；（2）當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．【思路指引】（1）過點作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點的兩種情況分類討論：①當(dāng)點在直線上方時；②當(dāng)點在直線下方時，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：（1）．過點作，如圖1所示．，，，，，，．（2）結(jié)論：當(dāng)點在直線上方時，；當(dāng)點在直線下方時，．①當(dāng)點在直線上方時，如圖2所示．過點作．，，，，，，．②當(dāng)點在直線下方時，如圖3所示．過點作．，，，，，，．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．23．如圖，，點E在直線AB，CD內(nèi)部，且．（1）如圖1，連接AC，若AE平分，求證：平分；（2）如圖2，點M在線段AE上，①若，當(dāng)直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；②若（為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．【標準答案】（1）見解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析.【思路指引】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA；（2）①過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案；②過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.【詳解詳析】（1）解：因為，所以∠BAC+∠DCA=180°，因為，所以∠EAC+∠ECA=90°，因為AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【名師指路】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).24．（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【標準答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點C在AB與ED之外時，，見解析【思路指引】（1）由題意首先過點C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【詳解詳析】解：（1）證明：過點C作CF∥AB，

∵AB∥ED，

∴AB∥ED∥CF，

∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，

證明：如圖：

∵AB∥ED，

∴∠ABC=∠BFD，

在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點C在直線AB與DE之間，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【名師指路】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．25．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【標準答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【思路指引】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解詳析】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【名師指路】考核知識點：平行線的判定和性質(zhì)．熟練運用平行線性質(zhì)和判定，添加適當(dāng)輔助線是關(guān)鍵．26．已知直線AM、CN和點B在同一平面內(nèi)，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如圖1，求∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若BD⊥AM，垂足為D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，已知點D、E、F都在直線AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．

【標準答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）見解析；（3）∠EBC=105°．【思路指引】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系求解．（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解．【詳解詳析】解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案為：∠A+∠C=90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【名師指路】本題考查平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，畫輔助線，找到角的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．27．已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系【標準答案】（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【思路指引】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，連結(jié)MF，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解詳析】解：（1）如圖1，作，，連結(jié)，，，，，，，，，，和的角平分線相交于，，，、分別是和的角平分線，，，，；（2）如圖1，，，，，與兩個角的角平分線相交于點，，，，，，；（3）由（2）結(jié)論可得，，，則．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)．28．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【標準答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【思路指引】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【詳解詳析】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠