2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線y=x+2023的傾斜角為()

兀一兀_2九一3兀

A.-B.—C.—D.—

4334

【正確答案】A

【分析】設(shè)直線y=x+2023的傾斜角為e(04e<7t),然后利用斜率公式即可

【詳解】設(shè)直線y=X+2023的傾斜角為。(04。<兀)，

由y=x+2023可得斜率/=tane=l,即。=色

4

故選：A

2.已知圓C的方程為(X-1)2+/-2=0,則圓心C的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(1,0)D.(1,-2)

【正確答案】C

(分析】將圓C的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再得到圓心C的坐標(biāo)即可.

【詳解】圓C的方程為(x-1)2+V-2=0，貝I」圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-if+V=2,

所以圓心C的坐標(biāo)為(1,0).

故選:C.

3.己知雙曲線S-4=l，則該雙曲線的離心率為()

169

25門25_5

A.—B.—■C.-D.~

16943

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接求出離心率即可.

【詳解】由雙曲線=1河知該雙曲線的離心率e=

169V164

故選:C.

4.等差數(shù)列｛%｝中，已知。3=10，4=-20,則公差d等于

A.3B.-6C.4D.-3

【正確答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)%-⑼九即能求出公差.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得。8-%=(8-3”=5(

,—20—10

所以d=-------=-6.

故選：B.

本題考查了等差數(shù)列的公差的求法，是基礎(chǔ)題.

5.已知點(diǎn)尸(-2,1)到直線/:3x-4y+w=0的距離為1,則優(yōu)的值為()

A.-5或-15B.-5或15

C.5或-15D.5或15

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于“的方程，再求出m的值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(-2,1)到直線/:3丫-勺+〃?=0的距離為1,

13x(-2)-4xl+m\,

所以一/,，，八，一=1,解得a=15或5.

V3+(-4r

故選:D.

6.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比4=2,且滿足&&=16,則％=()

A.8B.4C.2D.1

【正確答案】A

【分析1根據(jù)｛/｝是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為a“=q/T,然后根據(jù)條件可解出％=；,進(jìn)而求

得出=8

【詳解】由｛/｝為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為4

26

由a2a6=16,可得:a2a6=a,-2=16

又〃“>0,則有：6=；

則％；x2,=8

故選：A

7.如圖所示，在平行六面體44G。中，E,F,，分別為C4,4G，OE的中點(diǎn).若

AB=a'AD=b>44I=c，則向量尸〃可用0,6,c表示為（）

L1：1->

B.——。+—b——c

232422

3T1?L2T3T1T

c.—a——b——cD.-a--b+-c

443343

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用基底表示所求向量即可.

■?叭1"11'/V1^

【詳解】由題意，F(xiàn)H=FC[+C[E+EH=^-A^--AB--DE,

t—-漢-

且4G=Q+b,DE=DD[+D]E=e+~a?

1->1->1->i-?i->i->

/.FH=—（a+b）——a——（c+—a）=——a+—b——c,

2222422

故選：B.

22

8.己知橢圓E:鼻+哀=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)廠與拋物線V=16x的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)少的直

線交E于48兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為（LT）,則橢圓E方程為（）

A.—+^-=1B.—+^-=1

248259

/V2X2V2

C.—+2-=1D.—+^-=1

3620189

【正確答案】A

【分析】結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)差法求得y=8,/=24.

【詳解】：/=16x,故右焦點(diǎn)尸（4,0）,則/=從+16,

設(shè)4（演,乂）,8（孫必）,則4+々=2,?+）=-2,

2222

%.必-1%2

且-T-'T"-1，"T"?7"1,

abab

兩式相減得小?…％(…y-L,

故3才-妙2b2_Z>2_0+1_1

-2/一/一Q-§

故"2=3〃=/+16,故/=8,r=24,

故橢圓E方程為江+片=1,

248

故選：A.

二、多選題

9.己知非零空間向量則下列說法正確的是()

........

A.若allb,bl/c，則a〃cB.a-b=b-a

C.^a-b\-c=a-(b-c\D.c=xa+yb(x,yeR),則a,6,c不共面

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A；利用數(shù)量積的定義判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義

和運(yùn)算律判斷C；利用平面向量基本定理判斷D

【詳解】對于A,因?yàn)镴,b，；是非零向量，且滿足D，dlb，故存在實(shí)數(shù)人〃使得

a=&>,b=因,故。=〃/c,所以ale,故正確；

對于B,因?yàn)榫舃，5是非零向量，所以4力=卜1?“85,》)=6-4,故正確；

對于C,(a-ft)-c=nzc(OTeR),(6-cj-a=na(weR),a與「未必共線，故不正確；

對于D,由平面向量基本定理可得若c=xa+y“x,yeR),則a,6,c共面，故不正確

故選：AB

10.已知點(diǎn)尸在圓C：X2+/-4X=0±,直線48:y=x+2,則()

A.直線與圓C相交B.直線與圓C相離

C.點(diǎn)P到直線/B距離最大值為20+2D.點(diǎn)P到直線距離最小值為20-1

【正確答案】BC

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即

可判斷.

【詳解】解：圓C：x2+y2-4x=0,即（x-2）2+_/=4,圓心為C（2,0）,半徑r=2,

,2+2—0|r—

則圓心C到直線48的距離"=/,/、2=272>r,所以直線N8與圓C相離,

V1+(-1)

又點(diǎn)P在圓。上，所以點(diǎn)P到直線Z8距離最大值為2近+2,點(diǎn)P到直線距離最小值為

2夜-2,故正確的有B、C.

故選：BC

11.設(shè)S“為等比數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和，已知的=6,%=48,則下列結(jié)論正確的是（）

,

A.%=9B.an=3-2"'

C.5?=3"-1D.S?=3-（2"-l）

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式得到4=3,q=2,計(jì)算得到%=32一，=3.（2"-1）,對比

選項(xiàng)得到答案.

【詳解】%=0悶=6,牝=%/=48,解得q=3,q=2,故《,=32，S?=3.（2"-l）,

a,=3-22=l2,故BD正確，AC錯(cuò)誤.

故選：BD.

12.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)用在歹軸上，短軸長等于2,離心率為逅，過

3

焦環(huán)作J軸的垂線交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.橢圓C的方程為仁+f=lB.橢圓C的方程為片+/=1

33

C|尸。|=半D.歸入卜?

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓C的方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.

【詳解】依題意，橢圓C的方程為5+，=l（a>b>0）,有6=1,由離心率為逅得：

22

2a-b2

e=——：—=一,

a23

解得“2=3/=3,因此橢圓C的方程為事+/=1,A正確，B不正確；

由橢圓的對稱性不妨令耳(0,-五)，直線產(chǎn)。i=-萬，由［,2=-/得|刈=且，則

y+3x=33

I尸5=半，C正確：

由選項(xiàng)C知，|尸耳|=乎，由橢圓定義得|/與|=2"-|尸身|=2W-*=W，D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知a=(-3,2,5),/)=(1,5,-1),則向量3:二,的坐標(biāo)為.

【正確答案】(-10,1,16)

【分析】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，直接求值.

【詳解】已知工(-3,2,5),號(1,5,-1),則3〉，13(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).

故(-10,1,16)

14.古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)量的(石子)，排成

一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為

三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是.

???

??????...

??????????

I3610

【正確答案】66

【分析】根據(jù)給定信息，求出三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)，即可求解作答.

【詳解】依題意，三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列口｝,則%=1+2+3++〃=

所以第11個(gè)三角形數(shù)是%=66.

故66

15.已知拋物線/=6x,直線/過拋物線的焦點(diǎn)，直線/與拋物線交于45兩點(diǎn)，弦長

為12,則直線/的方程為

33

【正確答案】y=x--^y=-x^~

【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)廠(|，0),設(shè)直線/的方程為…卜-|)=.-|%,

4士,必)，B(x2,y2),聯(lián)立直線/與拋物線方程，消掉y得關(guān)于X的一元二次方程，利用韋達(dá)

定理可得士+々，由M8|=12,解得上，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)尸

根據(jù)題意可得直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為y==,凰國，乂)，B(x2,y2),

聯(lián)立/==kXx~-2-k,得公/-(3公+6口+2/=0,

y2=6久x4

3公+69

所以玉+工2=一p—，X1X2=~，

-2?2x

因?yàn)镸M=X]+工2+P=3—3=12,

K

解得公=1,%=±1,

則直線/的方程為N=x-13或"-x+玄3

3.3

故卜=x--^y=-x+--

四、雙空題

16.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)月，8距離之比

是常數(shù)22>02*1的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)4-3,0),8(3,0),動(dòng)點(diǎn)又滿足

|M4|=也》四|，點(diǎn)〃的軌跡圍成區(qū)域的面積為，面積的最大值為.

【正確答案】72兀1872

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)A/(x,V),由=結(jié)合兩點(diǎn)距離公式可得得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

(x-9)2+y2=72,可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求點(diǎn)"的軌跡圍成區(qū)域的面積；又

sA^=^\AB\-\yu\,只需iK/max，即可得A48M面積的最大值.

【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),則|A//|=J(X+3)2+y2,|A/8|=J(x-3)2+_/,

由即J(x+3)2+/=④J*_3y+/,

所以V-18x+/+9=0,

所以(X-9)2+J?=72,

所以動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡方程為(x-9>+V=72,

所以點(diǎn)M的軌跡是圓且圓心N(9,0),半徑為及=60,

點(diǎn)M的軌跡區(qū)域面積S=KR2=72小

SABM=^\AB\-\yM\,又|/8|=6,

所以SABM=3|九|,

而IX"lnm=火=的最大值為］81^?

故72?t；18TL

五、解答題

17.已知圓"的圓心為(2,3),且經(jīng)過點(diǎn)C(5,-l).

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/：3x-4y+16=0與圓〃相交于48兩點(diǎn)，求|/現(xiàn)

【正確答案】(l)(x-2『+(y-3)2=25

(2)\AB\=242\

【分析】(1)根據(jù)條件求出圓”的半徑，再結(jié)合圓心坐標(biāo)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可;

(2)求出圓心〃到直線/的距離，再由垂徑定理求出|力8|.

【詳解】(1)因?yàn)閳A〃的圓心為(2,3),且經(jīng)過點(diǎn)。(5,-1),

所以圓M的半徑r=|〃C|=J(5-2『+(-l-3『=5,

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-3)2=25.

(2)由(1)知，圓"的圓心為(2,3),半徑r=5,

|3'2-4'3+16|_2

所以圓心”到直線/的距離d

T?M7

所以由垂徑定理，得閾=2尸牙=2爐茨=2而

18.已知數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和為知，且S.=/+方

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式

(2)求證數(shù)列19｝是等差數(shù)列

【正確答案】⑴〉=2〃+1

(2)證明見解析

[S,,/?=1

【分析】(1)根據(jù)?！?:c、”代入即可求出通項(xiàng)公式，注意檢驗(yàn)力;

[Sn-Sfl_vn>2

(2)由題意得出｛中｝的通項(xiàng)公式，用后一項(xiàng)減前一項(xiàng)為定值來證明是等差數(shù)列即可.

【詳解】(1)解:由題知5“=1+2",

>>S]—47|=3,

當(dāng)〃N2時(shí),4=S,-S,T

=n2+2n-(?-1)'-2(n-1)

=2〃+1,

將〃=1代入上式可得％=3,

故〃=1時(shí)滿足上式，

'?%=2"+1;

(2)證明:由題知S,=川+2?,

=n+29

n

nn-\')'

且｝=3,

是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.

19.如圖，在棱長為2的正方體/88-44GA中，E,尸分別為的中點(diǎn).

（1）求證：-LCtE；

（2）求點(diǎn)A到平面C￡尸的距離.

【正確答案】（1）證明見解析;

⑵：.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.

（2）利用（1）中坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】（1）在棱長為2的正方體/38-44￡口中，分別以8C,84網(wǎng)為x,%z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則E(0,1,0),*1,0,0),4(0,2,2),儲(2,0,2),///=(1,-2-2),C,￡=(-2,1,-2),

所以&尸?GE=lx(-2)+(-2)xl+(-2)2=0,即有吊尸

所以邛”心

(2)由(1)知，40,2,0),則以：(1,-1,0),FG=(1，0,2),Z￡10,T,。，

“',、〃?EF=x-y=0、

設(shè)〃=(x,y,z)是平面C尸的法向量，則XT，令z=-l,得〃=(2,2,-1),

n?FC、=x+2z=0

所以點(diǎn)A到平面GE尸的距離d=毆以=2=1

|n|V4+4+13

20.已知4(1,2),8(2,4),且乂〃€江)在直線“3上，其中凡是數(shù)列｛風(fēng)｝中的第〃項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛對｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=Tan,求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和T?.

【正確答案】⑴勺=2〃；

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再代入求解作答.

(2)由(1)求出“，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.

【詳解】(1)因?yàn)楣?1,2),8(2,4),則直線48的斜率為的B=￡=2,直線力8的方程為：

2—1

—=2(1),即y=2x,

又因?yàn)閑N*)在直線48上，則有4=2〃，

所以數(shù)列仇｝的通項(xiàng)公式是。,,=2”.

(2)由(1)知，"=2小2"=62川，

則7；=1x22+2x23+3x2"++nx2n+1,

于是得2q=1x23+2x2"++(n-l)x2n+'+?x2"+2,

兩式相減得：-<=22+23++2,,+1-?x2"+2=2Mx2"+2=(1-n)x2"+2-4,

所以數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和(=(〃一1)2-2+4.

21.如圖，PAD^ABCD,EDL底面4BCD,四邊形488是正方形，AP=AD=2DE=2.

E

J/\[/

(1)證明：?！?/平面Z8P；

(2)求直線CP與平面DCE所成角的正切值.

【正確答案】(1)證明見解析；

⑵烏

2

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定推理作答.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦即可求解作答.

【詳解】(1)因?yàn)槭?_L底面/BCD,EZ〃底面Z8CZ),則P/〃DE,P/u平面/8P,DEB

平面ABP,

所以?！?/平面48尸.

(2)依題意，兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，第4Mp所在的直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則￡>(0,2,0),C(2,2,0)0(0,2,1)/(0,0,2),c/i(-2,-2,2),=(0,2,0),

而。E_LAD,DC±AD,DEcDC=D,DE,￡>Cu平面DCE,即ADJL平面DCE,

則平面OCE的一個(gè)法向量為4。=(0,2,0),

I4=6

設(shè)直線CP與平面DCE所成角為0,則sin0=cos(AD,CP)\=瓜點(diǎn)

\AD\\CP\2x2-733

則cos6=Jl-sin*=Jl—-=—>tan9=-S^n-=,

'(3J3cos。2

所以直線CP與平面。CE所成角的正切值為顯.

2

22