2023屆福建省永泰縣第二中學(xué)高三年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題

2023屆福建省永泰縣第二中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.全集U=R,且4={8||%-1|>2},B={X|X2-6X+8<0},則@4)B=()

A.{x|-t,x<4}B.{x|2<x<3}

C.{x|2<A;,3}D.{x|-l<x<4}

【答案】A

【分析】化簡集合A,根據(jù)集合的補(bǔ)集、并集運算即可.

【詳解】全集U=R,4=卜|上一力2}={+<_1或x>3},B={X|X2-6X+8<0}={X|2<X<4},

所以,A={x|-l領(lǐng)k3},所以@A)B={x|-L,x<4},

故選：A.

2.若tan〃=3,貝18cos2，+2sin26=()

A.—B.C.—2D.2

55

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及平方關(guān)系可得8cos2?+2sin2e=88sl+4sin￡cos，，化弦為切結(jié)

sin26?+cos2(9

合已知即可得解.

【詳解】解：8cosZ+2sin2e=8co%+4sin%os0

sin2(9+cos2<9

8+4tan<98+12^2

一tai?6+l-9+1—?

故選：D.

14

3.己知直線2如+肛—4=0(相>0,〃>0)過函數(shù)y=log,(x—l)+2(〃>0,且。工1)的定點T,則一+一

mn

的最小值為()

A.4B.6C.3+20D.3+2指

【答案】C

［分析］根據(jù)y=log?(X-1)+2求出點T,再代入直線方程得到m+^=\,最后利用基本不等式里“1”

的妙用求最值.

【詳解】函數(shù)丫=唾,,(》—1)+2過定點(2,2),所以7(2,2),

yj

將7(2,2)代入直線2必+鹿了一4=0,得4m+2〃=4,即加+］=1,

因為m>0,n>0,

所以，i+:4二1+%+JL+222,也上+3=2&+3,

mnn2mvn2m

當(dāng)且僅當(dāng)士"=='-，即加=虛-1，〃=4一2加時"="成立.

n2m

故選：C.

【答案】B

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)為奇函數(shù)，排除A,再根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)排除D選項,

根據(jù)在y軸左側(cè)附近時，y>。排除C,選出正確答案.

r（、—cos3x_cos3x

【詳解】由于町=/=7"丁手

3、

cos3x

=-“X),

3X-3-V

??./（x）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除A,

令/（x）=0,得cos3x=0,

兀

3x=E+—,keZ,

2

.E兀,?

??x=----1—,keZ,

36

...函數(shù)/,（X）有無數(shù)個零點，排除D.

當(dāng)xe（0系），y>0,排除C.

故選：B.

5.已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，/（X+2）為偶函數(shù)，且當(dāng)0<x42時，/（X）=log?2x,則/（2022）=

()

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】B

【分析】由f3+2)為偶函數(shù)，結(jié)合/(x)為奇函數(shù)，可得/(x)以8為周期的函數(shù)，從而根據(jù)已知的

解析式可求出“2022).

【詳解】因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故可得/(另=-/(-x),

又/(x+2)為偶函數(shù)，所以有：/(x+2)=/(-x+2),

所以，有/(x+2)=—〃x—2),BP/(x+4)=-/(x)

所以f(x+8)=—/(x+4)=/(x),故以8為周期，

故“2022)="252x8+6)="6)=/(-2)=-〃2).

因為當(dāng)0<x42時，/(x)=log,2x,

所以/(2022)=-/(2)=-log24=-2.

故選：B

6.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-<?,0]〃=〃1-5)/=/1082；卜=/(0.2°5),

則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c>a>b

C.b<c<aD.c>b>a

【答案】B

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)變形(1臉￡]=〃1叫3),然后由對數(shù)換底公式、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較log?3,

logQ大小，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合中間1比較0.2°5與前面對數(shù)的大小后，再由函數(shù)單調(diào)性得結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，且在(F,0]上是單調(diào)遞增的，所以

5

,/^log21j-/(log23),log23=log49>log45>l,0<0.20-<l,所以c>a>b,

故選：B.

5215

7.設(shè)a=r為=lnypc=sinjp則()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.h<c<a

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)“X)=x-sinx(|>x>0)和g(x)=ln(l+2x)-<x<；),利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性,

即可判斷.

【詳解】當(dāng)x《0,夕時，記/(x)=x—sinx,則/'(x)=l—cosx之0,故/(處在x《0,熱單調(diào)遞增,

故/(x)>”0)=0,因此得當(dāng)xe(0,9時，x>sinx,故Qsin、，即"c；

/?-a=ln^---^-=lnfl+2x^-^-,設(shè)g(x)=ln(l+2x)-x(0<x<；),則&-a=g(d，因為

l-2x

g'(x)=--------1=

l+2xl+2x

當(dāng)0<x<g時，g'(x)>0.所以g(x)在(0,；)上單調(diào)遞增，所以g(K)>g(O)=O,即">〃，所以

b>a>c,

故選：A

二、多選題

8.若函數(shù)/(x)=上單調(diào)，則。的取值可以是()

A.1

【答案】AC

［分析］方法一：首先求得0x+］eG(y+5，?<v+9(0>O),由/(x)在(看,上單調(diào)可構(gòu)造不

等式組，結(jié)合?>0可確定%所有可能的取值，由此可得。的范圍，進(jìn)而確定選項；

方法二：利用誘導(dǎo)公式可化簡得到〃x)=-sin<yx,得到￡&<的<￡0,根據(jù)￡0-￡04萬，可確

6336

TT

定石。W2乃，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得①的范圍，進(jìn)而確定選項.

【詳解】方法一：當(dāng)時，GX+g++，

—a)+—>-7r+2k九

62(丘z),

-CD+-<2k7l

32

33、

-3+12kWgW5+6k(kGZ)或—9+12k?W-5+6k(Z￡Z)；

333113

由一3+12Z;+6女得：k<--又2+6%>0,:.k>~；一一<k<-

242444f

3(3-

又ZcZ,/.A：=0,-3<ey<—,又。>0,：.coe\0,—；

2I2」

353

由一9+12AK——+6%得：k<~；又——+6攵>0,

242444

99

又ZEZ,:.k=\,:.3<co<-即@￡3,-；

21L2_

綜上所述：詆(°，|3,1.

方法二：=cos[s+]]=-sins?>。)，

(7r7ry7i%

當(dāng)百時，—CO<CDX<—CO^

163J63

〃x)在仔，口上單調(diào)，???1G-￡G=94)

:.—a)<27r；

(63J3663

7tTC八兀、兀

—>—CO>0—CD>—

TiJI:"或67,解得：或3404苫，

由一一/工2萬知：

637t/7171,3冗22

(39

/.69e0,—3,—

【2」[2.

故選：AC.

9.函數(shù)y=Asin(fyx+e)(A>O,0>O,O<e<7t)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，貝?。?).

A.該函數(shù)的解析式為>=2川|》+"

B.該函數(shù)圖象的對稱中心為keZ

C.該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。航-弓,3E+：｝keZ

D.把函數(shù)y=2sin(x+g)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的|倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)

圖象

【答案】ACD

【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換規(guī)律逐項分析即得.

A=2,周期7=號=4(兀一；)=3兀，

【詳解】由題圖可知,

所以02則y=2sin]|x+。)

3

..[27T]_.f71I1

因為當(dāng)w時,y=2sinl—x—+^>l=2,EnnpsinI—4-I=I,

所以7+9=—H2kit,keZ,即e=i+2E,keZ,

623

又0<e<7i,故9=],從而y=2sin(|x+1],故A正確；

27c713

令一xH—=kit,ZeZ,得工=---1—kn,kwZ,故B錯誤;

3322

jr27rIT

令——+2/：7t<—x+—<—+2^71,ZeZ,

2332

得———\-3kii,keZ,故C正確；

44

函數(shù)y=2sin(x+方)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的|■倍，縱坐標(biāo)不變，

可得到y(tǒng)=2sin(gx+g),故D正確.

故選：ACD.

10.已知函數(shù)/(x)=e*+eT-cos2x,若〃%)>/&),則()

A.為偶函數(shù)B.“X)在(田,0)上為增函數(shù)

C.xf>x}D.e*f>l

【答案】AC

【分析】對A,根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對B,求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性即可；對C,根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性與奇偶性判斷即可；對D,根據(jù)國-々>。不一定成立判斷即可.

【詳解】對A,因為/(-x)=eT+e'-cos(-2x)=e'+er-cos2x=/(x),所以為偶函數(shù)，故A

正確；

對B,r(x)=e-e-，+2sin2x,當(dāng)0,,x<四時，ev-e-'J?),2sin2x0,所以r(同..0,當(dāng)xg時，

^-e-^-^>e-e-'>2,2sin2X一2，所以附勾>°，所以在乩+⑹上單調(diào)遞增，因為“引

為偶函數(shù),所以/(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，故B錯誤；

因為/(%)>/(%),所以/(|刈>/(同)，又因為“X)在［0,+?)上遞增，所以R>同，即x；>x；,

故C正確；

顯然±-七>0不一定成立，則不成立，故D錯誤.

故選：AC

11.已知函數(shù)“X)的定義域為R，且〃x)+〃x+2)=2.若〃x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，"0)=0,

貝I()

A."2)=4B.“X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

5

c.f(x)=f(x+4)D.Z/(2Q=12

k=0

【答案】BC

【分析】根據(jù)對稱性得到/(x)+/(-x+2)=2,再結(jié)合題意得到/(-x+2)=f(x+2),即可判斷B,

再在/(x)+/(x+2)=2令x=0,即可判斷A,結(jié)合前面的條件可以得到〃x)=〃x+4),即可判斷

C,最后根據(jù)周期性判斷D；

【詳解】解：因為/(X)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，所以f(x)+/(—x+2)=2,又〃x)+/(x+2)=2,

所以/(—x+2)=〃x+2),

所以/(x)關(guān)于直線x=2對稱，故B正確；

因為〃0)+/(2)=2,40)=0,所以/(2)=2,故A錯誤;

由/(x)+/(x+2)=2,所以/(x+2)+/(x+4)=2,又/(x)+/(—x+2)=2,且/(—x+2)=/(x+2),

所以f(x)=/(x+4),故C正確;

5

\7(2幻=/(0)+〃2)+〃4)+〃6)+48)+〃10)=3/(0)+3〃2)=6,故口錯誤；

4=0

故選：BC

三、填空題

12.幕函數(shù)〃x)=(/-3%+3)/3"+6在(0,+向上單調(diào)遞減，則機(jī)的值為.

【答案】2

【分析】利用基函數(shù)定義求出機(jī)值，再借助基函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.

【詳解】解：因為函數(shù)〃》)=(源-3加+3)/*=是基函數(shù)，

則有w2-3/n+-3=1,解得〃?=1或m=2,

當(dāng)帆=1時，函數(shù)f(x)=x在(Ojw)上單調(diào)遞增，不符合題意，

當(dāng)加=2時，函數(shù)/*)=尤-2在(。,內(nèi))上單調(diào)遞減，符合題意.

所以加的值為a=2

故答案為：2

13.已知x>l,無Fl的最小值為.

X—1

【答案】2拒

【分析】將所求代數(shù)式變形為結(jié)合基本不等式，即可求解.

x-lx-1

【詳解】由x>l,則X2_2X+3=(XT)-+2=XT+2/Z=2A,

x-1x-lx-\v7x-l

2

當(dāng)且僅當(dāng)工-1=—；時，即x=&+l時取等號，此時取得最小值2近.

x-1

故答案為：20

14.已知cos（^-a］=|,則$沿仁+2"）=.

【答案】J

【分析】先找到J-。與m+2a的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式與倍角公式求解即可.

66

【詳解】因為2仁一“+e+24二會所以

sin（奈+2。）=siny-2^一=cos2（看一〃）=2cos2（看一〃）-1=2乂［-1=一］

故答案為：-；.

9

15.已知函數(shù)/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時,r（-x）>2/（x）,且"3）=0,則不等式

/（力>0的解集為.

【答案】（一3,0）1_（3,+8）

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到了'（-x）=If（x）,再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)世月=萼，分析函數(shù)

e-

/?（"=綽在x>0時的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和/（3）=0解不等式即可.

e-

【詳解】因為/（X）為奇函數(shù)，定義域為R，所以

f（T）=-/（X）=-（T）=-尸（X）=f（T）=/（X）,"0）=0,

又因為x>0時,r（-x）>2〃x）,所以為（x）>2f（x）,

構(gòu)造函數(shù)〃（乂）=雪，所以/（X）J（x）：ya）,

e~e-'

所以當(dāng)x>0時,〃'（x）>0,%（x）在（°，+8）上單調(diào)遞增,

又因為"3）=0,所以為3）=0,〃（x）在（3,內(nèi)）上大于零，在（0,3）上小于零，

又因為e2?>0,所以當(dāng)x>0時，〃x）在（3,y）上大于零，在（0,3）上小于零，因為f（x）為奇函數(shù),

所以當(dāng)x<0時，〃x）在（F,-3）上小于零，在（-3,0）上大于零，

綜上所述：“力>0的解集為（-3,0）53,內(nèi)）.

故答案為：（-3,0）7（3,內(nèi)）.

【點睛】常見的函數(shù)構(gòu)造形式:

①g(x)=e*V(x),g，(x)=e"如(切+廣(切；

②gGhf，，(力=生粵3?

四、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=4sin1<wx-Wjcos3x在x=：處取得最值，其中0《(0,2).

⑴求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)將函數(shù)J")的圖象向左平移嚷個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)

不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若方程g(x)+左=0在[0,河上有解，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】(l)T=g27r

(2)[>/2-2,72+1]

【分析】(1)由題設(shè)條件運用三角變換公式及周期公式求解；

(2)轉(zhuǎn)化為&=-g(x)在[0㈤上有解，再求正弦型三角函數(shù)的值域即可得解.

【詳解】(1)/(x)=4sin^(?x-Yycosa)x=2A/2sin-coscox-242cos2cox

c兀

=&sin26yx-&cos26yx-0=2sin2a)x----)-72,

4

因為在x=￡處取得最值，

4

7TTT7T3

所以2G?上一上=/+勺，kwZ,即。=2%+2，keZ,

4422

3

因為。€(0,2),所以當(dāng)火=0時，0=/,

則f(x)=2sin(3x-￡|-0,所以7=

(2)將函數(shù)Ax)的圖象向左平移翁個單位，

36

得y=2sin-^=2sin(3x-^->/2,

再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變,

71

得g(x)=2sinX--

因為當(dāng)時，-二Wx-二4型,

666

所以一;Wsin卜71

41，g(x)￡-,

因為方程g(x)+Z=O在。巾上有解，所以k=-g(x)在。力上有解，

所以ke[層2,&+1],

即實數(shù)k的取值范圍為[夜-2,應(yīng)+1].

17.已知函數(shù)/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求曲線V=/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xw[0,2n]時,求函數(shù)f(x)的最值.

【答案】(I)y=-1

3

⑵兀+

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解切線方程,

(2)利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.

【詳解】(1)由/(x)=x-sinx-cofix,得=l-cosx+sinx,

所以，/(o)=-i,r(o)=o.

所以曲線y=/(x)在x=o處的切線方程為y+l=0,即y=-l.

(2)令r(x)=l+&sin[x-：J>0,貝—苧，因反匕

IFITSTT_371

——+2kji<x——<—+2E=2E<x<—+2kn,kGZ,

4442

由于xe[0,2兀],故

故函數(shù)y=/(x)在(o]兀)上遞增，在總兀，2兀)上遞減，

故/(%=/(|五)=|兀+"*濡=111出{〃0),〃2兀)}=-1

18.密鋪，即平面圖形的鑲嵌，指用形狀、大小完全相同的平面圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙

、不重疊地鋪成一片.皇冠圖形(圖1)是一個密鋪圖形，它由四個完全相同的平面凹四邊形組成.為

測皇冠圖形的面積，測得在平面凹四邊形ABCD(圖2)中，AB=5,BC=8,ZABC=60°.

⑴若CA=5,AD=3,求平面凹四邊形ABCD的面積；

(2)若NA0C=120。，求平面凹四邊形A6C￡>的面積的最小值.

【答案】(1)空叵；

4

⑵

12

【分析】(1)利用余弦定理可得AC=7,然后利用余弦定理，同角關(guān)系式及三角形面積公式即得;

（2）利用余弦定理及基本不等式可得S.c4”叵，進(jìn)而可得平面凹四邊形ABCC面積的最小值.

A。。12

【詳解】（1）如圖，連接AC,

在.ABC中，AB=5,8c=8,ZABC=60°,

由余弦定理，得，AC=yjAB123+BC2-2AB-BC-cosZABC=7>

在2As中，AT>=3,CD=5,AC=7,

AD2+CD2-AC?32+52-721

cosZADC=

2ADCD2x3x52

sinZ.ADC=

2

SAoc=gx3x5x曰=q^,又S詆=；x8x5x日=105/5,

S四邊形ABCO=-S^ADC二3呼普

(2)由(1)知，AC=7,

ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC,

49=AD2+CD2+ADCD>3ADCD,當(dāng)且僅當(dāng)AO=CQ=冬，5時等號成立，

3

49

ADCD^—

3f

1490

..S=一皿85巾120。.」^，

ADnrC212

',$四邊形A8CD=S^ABC-'△A*—1。欄一S^ADC-已'

.?.當(dāng)且僅當(dāng)AQ=CO=Z叵時，平面凹四邊形ABC。面積取得最小值小8.

312

19.春運是中國在農(nóng)歷春節(jié)前后發(fā)生的一種大規(guī)模全國性交通運輸高峰期、高交通運輸壓力現(xiàn)象.已

知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時間，相關(guān)，時間，（單位：小時）滿足0O424,fwN.經(jīng)測算，

當(dāng)16Md24時，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)5160人，當(dāng)0<”16時，候車人數(shù)會減少，

減少人數(shù)與W6-，）成正比，且時間為6點時，候車人數(shù)為3960人，記候車廳候車人數(shù)為了（，）.

（1）求/⑺的表達(dá)式，并求當(dāng)天中午12點時，候車廳候車人數(shù)；

（2）若為了照顧群眾的安全，每時需要提供的免費礦泉水瓶數(shù)為P=若照+320,則一天中哪個時

間需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少？

,、5160-20/(16-r),(0<z<l)、

【答案】⑴/⑺=b60(164Y247S/),候車廳候車人數(shù)為4200人

（2"=10時，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少

【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出函數(shù)解析式，代入（6,3960）,可得解析式，代入f=12,可得答案;

（2）根據(jù)題意，寫出函數(shù)解析式，由基本不等式和反比例函數(shù)的單調(diào)性，比較大小,可得答案.

【詳解】（1）當(dāng)0＜，＜16時，設(shè)/⑴=5160-碗6-f）,/（6）=3960,貝必=20,

5160-20/(16-/),(0</

<l)z、

??.〃/)=<(feN).

5160,(1641424)

/(⑵=5160-20x12x4=4200,

故當(dāng)天中午12點時;候車廳候車人數(shù)為4200人.

100

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