反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第17講反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)?方法?破譯k.反比例函數(shù)的定乂：形如y=x（或y=kx-1,k工0）,y叫做x的反比例函數(shù)..反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，關(guān)于y=x或y=-x軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱，當(dāng)k>0時(shí)，圖象的兩支分別在第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)，圖象的兩支分別在第二、四象限,.反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大.經(jīng)典?考題?賞析k【例1】（西寧）已知函數(shù)y=—中，x>0時(shí)，y隨x增大而增大，則y=kx-k的大致x圖象為（【解法函數(shù)y=kxA. 」?;匕指導(dǎo)力因?yàn)閥=-y中，x>0時(shí)y隨k中，.x>o/-Ok<0,因而直線向y右上方傾斜，與y增大而增大，則一k<0,k>0,而一次02．03．【變式題組】A aB C已知反比例函數(shù)y= （【解法函數(shù)y=kxA. 」?;匕指導(dǎo)力因?yàn)閥=-y中，x>0時(shí)y隨k中，.x>o/-Ok<0,因而直線向y右上方傾斜，與y增大而增大，則一k<0,k>0,而一次02．03．【變式題組】A aB C已知反比例函數(shù)y= （a工0）的圖象，在每一象限內(nèi)，x則一次函數(shù)y=-ax+a的圖象不經(jīng)過（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限m交點(diǎn)在負(fù)半軸上，所以選Dy的值隨著x值增大而減小，D.第四象限（龍巖）函數(shù)y=x+m與y=x（m工0）在同一象限內(nèi)的圖象可以是（（涼山州y04.1Oxy2是（xyyab<0,則=x(x>02O②^x=1增大而增大，11y匕例函數(shù)y與反比例函數(shù)>yyX(x>0O所示，則隨著X的增小.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.b-=-在同一坐標(biāo)第中的大致圖x結(jié)論：①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為（2,=XJ；③當(dāng)0<x<2時(shí)，％>;④當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y1隨著x【例為如圖，a、【例為如圖，a、b分別是反比例函破y=10,y=6°圖象上的點(diǎn)，xx過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OB、0A,0A交BD于E點(diǎn)，△BOE的面積為S1，四邊形ACDE的面積為S2,則S2-S1x=1xk【解法指導(dǎo)】在反比例函數(shù)y=—中，k的幾何意義為:S—S=(S+S2 1 2 AODE2 22【變式題組】01.（寧波）如圖，正方形ABOC的邊長為2kk【解法指導(dǎo)】在反比例函數(shù)y=—中，k的幾何意義為:S—S=(S+S2 1 2 AODE2 22【變式題組】01.（寧波）如圖，正方形ABOC的邊長為2k反比例函數(shù)y=-過點(diǎn)a則k的值是（A.2 B.－2 C.4 D.－43點(diǎn)b是雙曲線y=-A.逐漸增大B.不變C.逐漸減小D.先增大后減小03.04.OxB（牡丹江）如圖，線若s陰影=1（河池）如圖，A、第1題圖3點(diǎn)A、B是雙曲線y=-上的點(diǎn)，分經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂2B是函數(shù)y=-的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，BC//x軸，AC//y軸，△ABC的面積記為S，則（A.S=2 B.S=4 C.2<S<4 D.S>4k05.（泰安）如圖，雙曲線y=-（k>0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,若梯形ODBC的面積為3,則雙曲線的解析式為（ ）1 236A.y=—B.y=C.y=—D.y=—x x xx【例3】（成都）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函m數(shù)y=-的圖象交于點(diǎn)A（—2,1）,B（1,n）兩點(diǎn)⑴試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；02.（蘭州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，（x>0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△OAB的面積將會(huì)（⑵求△AOB的面積.【解法指導(dǎo)】利用割補(bǔ)法求圖形面積.m解：⑴???點(diǎn)A(—2,1)在反比例函數(shù)y=-的圖象上，2???m=(—2)x1=—2,???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—.x2???點(diǎn)B(1,n)也在反比例函數(shù)y=--圖象上，「.n=—2,即B(1,—2)x把點(diǎn)A(—2,1)點(diǎn)B(1,一2)代入一次函數(shù)y=kx+b中，得-2k+b=1 fk=-1解解解 解得k 1 ,一次函數(shù)的表達(dá)式為y=—x—1.k+b=-2 Ib=-1⑵在y=—x—1中，當(dāng)y=0時(shí)，得x=—1,，直線y=—x—1與x軸的交點(diǎn)為C(—1,0),二線段OC#△AOB分成^AOC和^BOC,1 1 13.?.S=S+s =_x1x1+—x1x2=-+1=-.AAOB AAOC ABOC2 2 22【變式題組】m01.(徐州)如圖，已知A(n,—2),B(1,4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=—的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C.⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；⑵求△AOC的面積；m⑶求不等式kx+b--<0的解集(直接寫出答案)xk02.已知反比例函數(shù)y1=2x的圖象與一次函數(shù)y2=k2X+b的圖象交于A、B點(diǎn)，A(1,n),1B(一2,—2).⑴求兩函數(shù)的解析式；⑵在x軸上是否存在點(diǎn)2使4AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.⑶求S；△AOB⑷若y1>y2,求x的取值范圍.k03.如圖，A是反比例函數(shù)y=-(x>0)上一點(diǎn)，AB±x軸，C是OB的中點(diǎn)，一次函數(shù)1xy2=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，并交y軸為D(0⑴求兩函數(shù)的解析式；⑵在y軸右側(cè)，若y1>y2y2=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，并交y軸為D(0⑴求兩函數(shù)的解析式；⑵在y軸右側(cè)，若y1>y2時(shí)，求x的取值范圍.－2)，S=4.k04.如圖，Rt△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=-與直線y=—x—(k+1)在第二象限的交點(diǎn)，AB±x軸于B,SAABO⑴求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；⑵求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶若P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，SAPAC=5，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【例4】(咸寧)兩個(gè)反比例函數(shù)y=-和y=-在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=一的圖象上，pc±x軸于點(diǎn)C，交y=-的圖象于點(diǎn)a，pd±y軸于點(diǎn)d，交y=-的圖k象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在y=-的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：?△ODB與八OCA的面積相等;②四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一■定是PD的中點(diǎn).其中一定正確的是【解法指導(dǎo)】???A、B兩點(diǎn)在y=X的圖象上，根(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)k據(jù)反比例函數(shù)y=-中S=SAODB AOAC;S=S四邊形PAOB 矩形PDOC-SAODB不變時(shí)，若P變動(dòng)，而四邊形PAOB的面積不變.因k的幾何意義可知而①正確；-S=k-1,當(dāng)kAOAC_ k 1tk k1k—1 t而是②正確；若設(shè)P(t,—)，則A(t,),B(—,—),「.PA=———= ,PB=t—.t tkt ttt kk—1 t(k—1) , .7 .丁，丁若PA=PB，則有 =---.丁k^1,At2=k"t>0,t=yk/.當(dāng)P(、.；k,0k)時(shí)，有PAtkS=S=SAOAC AOPA AOBD=PB,并不是S=S=SAOAC AOPA AOBDSAOPC=SAODP''SAODB='AOPB，'^=PB，因而④正確；故填①，②.④.【變式題組】k01.(武漢)如圖，已知雙曲線y=-(k>0)經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且四邊形OEBF的面積為2,則k=.k02.如圖，矩形ABCD對角線BD中點(diǎn)E與A都在反比例函數(shù)y=-的圖象上，且S矩形abcd=3,03.如圖，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的1垂線，交函數(shù)y=-(x>0)的圖象于點(diǎn)a，交函數(shù)y=-(x>0)的圖象于點(diǎn)b，過1點(diǎn)B作x軸的平行線，交y=-(x>0)于點(diǎn)C，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，0)時(shí)，△ABC的面積是否隨t的變化而變化？04.函數(shù)y=-(x>0)與y=-(x>0)的圖象如圖所示，直線x=t(t>0)分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于A、C兩點(diǎn)，經(jīng)過A、C分別作x軸的平行線，交兩個(gè)函數(shù)圖象于B、D兩點(diǎn)，探索線段AB與CD的比值是否與t有關(guān)，請說明理由.

05.如圖，梯形AOBC的頂點(diǎn)A、C有反比例函數(shù)的圖象上，OAIIBC,上底OA在直線y=x上，下底BC交x軸于E（2,0）,求四邊形AOEC的面積.—的圖象點(diǎn)A—的圖象點(diǎn)A（2,1）、Bx演練鞏固?反饋提高01．（恩施自治州）如圖，一次函數(shù)y1=x-1與反比例函數(shù)y201．（―1,—2）,則使y1>y2的x的取值范圍是（ ）A.x>2 B. x>2或一1<x<0C. -1<x<2 D.x>2或x<-1k—102.（常州）若反比例函數(shù)y=—的圖象在其每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則k的值可以是（）A.-1 B.3C.0D.-303.（荊州）如圖，直線l是經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且與y軸平行的直線，Rt△ABC中直角邊AC=4,kBC=3,將BC邊在直線l上滑動(dòng)，使A、B在函數(shù)y=-的圖象上，那么k的值是（ ）x15A.3B.6 C.12 D.—404.（麗水）點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= （x>0）的圖象上，且橫坐標(biāo)為2,若將點(diǎn)P先向右x

經(jīng)過點(diǎn)2的反TOC\o"1-5"\h\z平移兩個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位后所得點(diǎn)為P/,則在第一象限內(nèi)比例函數(shù)圖象的解析式是（ ）經(jīng)過點(diǎn)2的反5 5 64 y=一—（x>o） b.y=— （x>0） c.y=-- （x>0）x x x>0)05.（鐵嶺）如圖所示，反比例函數(shù)％與正比例函數(shù)y2的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是八（2,1）,若y2>y1>0,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）-（——>―?—>—（5~? ―>——6——?——?―?—<——0 1 2 012 012 012…、i, 一06.（泰安）函數(shù)y=x+-圖象如圖所示，下列對該函數(shù)性質(zhì)的論斷不可能正確的是（ ）xA.該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 B.當(dāng)x>0時(shí)，該函數(shù)在x=1時(shí)取得上值2C.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D.y的值不可能為107.（蕪湖）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x向上平移一個(gè)單位長度得到直線l,直線lk k與反比例函數(shù)y=x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（。,2）則k的值等于. 4 — 08.（廣安）如圖，在反比例函數(shù)y=- （x>0）的圖象上有三點(diǎn)匕、p2、p3,它們的橫坐x 1 2 3標(biāo)依次為1,2,3,分別過這3個(gè)點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，設(shè)斬中陰影部分的面積依次為S1>S2、S3,則S1+S2+S3=.k-09.（十堰）已知函數(shù)y=—x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，與雙曲線y=-交x于點(diǎn)A、D，若AB+CD=BC,則k的值為.k.（遵義）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x（x>0,常數(shù)k>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1,2）,B（m,n）,（m>1）,過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為^若^ABC的面積為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為..如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3），過點(diǎn)P作x軸的平行線交y

軸于點(diǎn)4交雙曲線y=—(x>o)于點(diǎn)m作戶m，八可，交雙曲線于y=-(x>0)于點(diǎn)M.連接AM，已知PN=4,⑴求k的值；⑵求△⑴求k的值；⑵求△APM的面積..如圖，反比例函數(shù)y=x的圖象與直線y=x+m在第一象限交于點(diǎn)P(6,2),A、B為直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,為反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且AD、BC平行于y軸，⑴直接寫出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面積.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)3,D點(diǎn)B的橫坐標(biāo)3,D、C^若^OBC的面積為3,求k的值..如圖，已知雙曲線y=x(x>^若^OBC的面積為3,求k的值..如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸的正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長交yk軸負(fù)半軸于￡,雙曲線y=-(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,若S=8,求k的值.X 岫EC一 一一4 20.如圖，Rt△ABC中，NBAC=90°,BC所在直線的解析式為y=-3X+—,AC=3,若aAB的D在雙曲線y=x(x>0)上，將三角形向左平移，當(dāng)

點(diǎn)B落在雙曲線上時(shí)，求三角形平移的距離.k16.（荊州）如圖，。為反比例函數(shù)y=（k<0）圖象上一點(diǎn)，過D作DC±y軸于C,DE±x16.軸于E,一次函數(shù)J=-X+m與y=——X+2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)C,與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若梯形B兩點(diǎn)，若梯形DCAE有面積為4,求k的值., , m17.（四川廣安）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=X的圖象相交于點(diǎn)17.（一1,2）、點(diǎn)B（―4,n）⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;⑵求△AOB的面積.培優(yōu)升級?奧賽檢測m.n01.如圖，直線l與反比例函數(shù)y=X與y=X（m>n>0）的圖象分別交于點(diǎn)A、B，且直線川x軸，連接PA、PB，小芳與小麗同學(xué)針對^PAB面積的討論，有以下兩種意見：TOC\o"1-5"\h\z小芳：點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)時(shí)，△PAB的面積總保持不變；小麗：當(dāng)直線l上下平移時(shí)，△PAB的面積總保持不變；那么，你認(rèn)為她們的說法中（ ）A.只有小芳正確 B.只有小麗正確C.兩人都正確 D.兩人都不正確,一、，，，一一一 ，一" a2+102.（南昌市八年級競賽題）在函數(shù)y=- （。為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)：（一1,X1 1%），（—，y）,（5,y）則函數(shù)值/、y2、丫3的大小關(guān)系是（ ）1 4 2 2 3 1 2 3

人y1<y2<y3b.y3<y2<y人y1<y2<y3b.y3<y2<y1c.y3<y1<y2d.y2<y1<y303.（濟(jì)南）如圖，等腰直角三角形八BC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點(diǎn)八在直線y=x上，其中八點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且兩條直角邊八B、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線>=［（七°）與△八BC有父點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）A.1<k<2 B.1WkW3 C.1Wk<4 D.Kk<404.3（第十八屆“希望杯”初二）直線I交反比例函數(shù)y=彳的圖象于點(diǎn)A,交X軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A、B與坐標(biāo)原點(diǎn)。構(gòu)等邊三角形，則直線l的函數(shù)解析式為05.（成都）如圖，正方形OABC的面積是4,點(diǎn)B在反比例函“〃k數(shù)y=X（k>0，X<0）的圖象上，若點(diǎn)R是該反比例函數(shù)