江蘇省蘇州市部分高中2024屆高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市部分高中2024屆高三下學(xué)期3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，得到，所以的真子集個(gè)數(shù)為，故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)虛部為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，則，，則復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A.3.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B.2 C.0.4 D.10〖答案〗B〖解析〗由題有，得到，所以該組數(shù)據(jù)的方差為，故選：B.4.有形狀和大小完全相同的4個(gè)球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，若從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和不小于4的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，共有6種基本事件，其中摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和不小于4的事件為，四種基本事件數(shù)，因此概率為.故選：A.5.已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)高是3，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：易知圓錐的高，圓臺(tái)的高，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺(tái)下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C.6.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，圓上存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.0 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，由可得，又點(diǎn)在圓上，可得，即；所以點(diǎn)既在直線(xiàn)上，又在以為圓心，半徑為3的圓上，即直線(xiàn)和圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)距離，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為0.故選：A7.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)殡p曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為，又與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，由圖知，，即，所以離心率，又，所以，故選：B.8.已知，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，從而，令，設(shè)，顯然，則，因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以，整理得，即，解得，注意到，從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以經(jīng)檢驗(yàn)的最大值，即的最大值為.故選：D.二、選擇題9.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).則下列一定成立的是（）A B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由三棱柱性質(zhì)可得，又點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以，即A正確；對(duì)于B，由A中的結(jié)論可得，且，所以，因此可得四邊形是平行四邊形，所以，即B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹比庵云矫?，又平面，所以；又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以；又平面，可得平面，又平面，所以，若，且，所以平面，又平面，可得，在四邊形中，若，利用三角形相似可得，即，題目中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的條件，所以C不一定成立；對(duì)于D，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以；即D正確.故選：ABD10.如圖，在中，三個(gè)內(nèi)角、，成等差數(shù)列，且，.已知點(diǎn)（未畫(huà)出），若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，且、為該函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榻?、、成等差?shù)列，所以，在中，，，，記由余弦定理得到，即，得到，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B正確，由圖知，，所以，即有，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，又、為函數(shù)圖像與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，，所以，得到，又，得到，即，又，所以，又因?yàn)?，所以，得到，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.11.已知，且，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A.若該函數(shù)為偶函數(shù)，則其最小值為B.函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)唯一的定點(diǎn)C.若關(guān)于方程有且只有一個(gè)解，則或D.令為上的連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)至多存在一個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗A：若該函數(shù)為偶函數(shù)，此時(shí)由得，所以得，從而，，注意到，A錯(cuò)誤；B：顯然，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，那么對(duì)任意的b成立，從而與b無(wú)關(guān)，這意味著，故，B正確.C：顯然，所以必有一解，若，則單調(diào)遞增，從而一定是唯一解，若，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅，所以一定是唯一解，如果，則單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)，由于，所以，而在遞減，在遞增，且，所以，若，則由，可知在上還有一根t，且，故，若，則由，可知在上還有一根t，且，故.無(wú)論怎樣，都有一個(gè)不等于0的根t，從而解不唯一，綜上，C正確；D：根據(jù)C選項(xiàng)的過(guò)程，如果且，那么一定有兩個(gè)根和，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，所以，得到，即，故〖答案〗為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn).則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______；若，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗∵且，∴，.∴橢圓方程為.設(shè)，則，且.①∵以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍），∴.又∵圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故〖答案〗為：；.14.如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場(chǎng)分割為6個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上，分別與，相交于點(diǎn)，.（道路寬度忽略不計(jì)）設(shè)，.當(dāng)為_(kāi)_______時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.〖答案〗〖解析〗以所在的直線(xiàn)為軸，以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得半圓的方程為，則點(diǎn)，可得直線(xiàn)的方程為，令，可得，直線(xiàn)的方程為，令，可得，所以的長(zhǎng)度為，所以區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以，設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.四、解答題15.在中，角所對(duì)的邊分別是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即（2）由（1）中以及可得，所以；可得.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)均在軸右側(cè)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程．解：（1）由，得直線(xiàn)的方程為．令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以橢圓的方程為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為．在中，令，得，而點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以．所以直線(xiàn)的斜率．聯(lián)立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直線(xiàn)的方程為．17.已知函數(shù)有極值，與函數(shù)的極值點(diǎn)相同，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）通過(guò)計(jì)算用表示；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，從而，，所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為；（2）解：因?yàn)?，令，得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)；又因?yàn)?，所以，整理得，又?dāng)時(shí)，，若要使得函數(shù)有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）證明：因?yàn)?，且由?）可知，所以，令，則，令，得到，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，從而令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，則，記，則，因?yàn)椋?，單調(diào)遞增，所以，即.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)，使得恒成立；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)恒成立．（1）求常數(shù)的值；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，記，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）解：因?yàn)棰伲寓?，①－②得，即，又，所以，時(shí)，時(shí)，.因?yàn)闉檎龜?shù)，解得.又因?yàn)椋?，所?（2）證明：因?yàn)棰郏?dāng)時(shí)，④，③－④得，即⑤，證法1又⑥，⑤-⑥得，即，所以為等差數(shù)列．證法2由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)闀r(shí)，由得，所以，則，所以，對(duì)恒成立，所以為等差數(shù)列．（3）解：因?yàn)椋?，?2)知為等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，又，所以，令得，所以，解得，所以時(shí)，，即，時(shí)，因?yàn)?，所以，?此時(shí)，即，所以的最大值為，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，則的最大值，所以，所以正整數(shù)k的最小值為4.19.甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲蝗舯麖恼庵?條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?（1）比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大小；（參考數(shù)據(jù)）（2）現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng)，記（且），其展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，含項(xiàng)的系數(shù)為.①若，對(duì)成立，求實(shí)數(shù)，，的值；②對(duì)①中的實(shí)數(shù)，,用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意且，都成立.（1）解：如圖所示：由題意設(shè)為正四棱錐的高，為中點(diǎn)，由于正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都是2，所以，所以，由對(duì)稱(chēng)性以及三線(xiàn)合一可知，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，則的所有可能取值為，且，所以，若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，則的所有可能取值為，，代入?yún)⒖紨?shù)