江西省新余市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省新余市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可知，解得，所以集合，由，解得，所以，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則（）A.1 B. C. D.5〖答案〗A〖解析〗由，,得，所以．故選：A．3.在中，“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D4.為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì)，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊(duì)”參加“成語(yǔ)猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件“甲猜對(duì)”，“乙猜對(duì)”，“幾何隊(duì)至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)”，所以，則.由題意知，事件相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立，法一：，且兩兩互互斥，則.法二：事件的對(duì)立事件“幾何隊(duì)一個(gè)成語(yǔ)也沒(méi)有猜對(duì)”，即，則.故選：B.5.如圖，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，，，所以，因?yàn)榈谝幌笙藿?，所以可得，所?故選：C.6.已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.7.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，則，即，，故選：C.8.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為6，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類(lèi)推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切(，且)，則球的表面積等于()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，是三棱錐的高，是的外心，設(shè)，則，，是三棱錐的外接球和內(nèi)切球的球心，在上，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，由得：，，所以，過(guò)中點(diǎn)作與底面平行的平面與三條棱交于點(diǎn)，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內(nèi)切球，注意到三棱錐的棱長(zhǎng)是三棱錐棱長(zhǎng)的，所以其內(nèi)切球半徑，同理球的半徑為，則是公比為的等比數(shù)列，所以，即，．故選：D.二、選擇題9.某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.005 B.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為75C.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80 D.估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225〖答案〗AD〖解析〗由，可得，故A正確；前三個(gè)矩形的面積和為，所以這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；由成績(jī)的頻率分布直方圖易知，這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤；總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.故選：AD.10.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)為上的偶函數(shù)C.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù) D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)B的〖解析〗可知函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上沒(méi)有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，且函?shù)周期為，所以，即的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D正確.故選：ABD.11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A.若，則M為的重心B.若M為的內(nèi)心，則C.若M為的垂心，，則D.若，，M為的外心，則〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線(xiàn)，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知長(zhǎng)方體的表面積為10，十二條棱長(zhǎng)度之和為16，則該長(zhǎng)方體（）A.一定不是正方體B.外接球的表面積為C.長(zhǎng)、寬、高的值均屬于區(qū)間D.體積的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則可得，即，又因，所以，由不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而，取不到等號(hào)，所以得不到，即該長(zhǎng)方體一定不是正方體，故A正確；設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為，則，即，則外接球的表面積為，故B正確；由可得，，代入可得，，即，因?yàn)?，由基本不等式可得，即，設(shè)，則，則，化簡(jiǎn)可得，即，所以，即，又因?yàn)?，則，同理可得，故C錯(cuò)誤；設(shè)長(zhǎng)方體的體積為，則，且，，即，其中，化簡(jiǎn)可得，，，且，，令，則或，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，有極小值，且，當(dāng)時(shí)，有極大值，且，又因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題13.若直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗或〖解析〗圓可化為.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得：或7.故〖答案〗為：或14.已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，則的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗令，明顯其在上單調(diào)遞增，又由得，即，所以，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.15.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運(yùn)會(huì)競(jìng)賽項(xiàng)目設(shè)置為40個(gè)大項(xiàng)，61個(gè)分項(xiàng)，481個(gè)小項(xiàng)，并增設(shè)電子競(jìng)技、霹靂舞兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競(jìng)技、霹靂舞三個(gè)項(xiàng)目志愿服務(wù)，其中每個(gè)項(xiàng)目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項(xiàng)目，則不同的志愿服務(wù)方案共有______種（用數(shù)字作答）.〖答案〗50〖解析〗①若霹靂舞項(xiàng)目只有1人，則乒乓球項(xiàng)目2人、電子競(jìng)技項(xiàng)目2人或乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目3人或乒乓球項(xiàng)目3人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）；②若霹靂舞項(xiàng)目有2人，則乒乓球項(xiàng)目2人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人或乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目2人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）；③若霹靂舞項(xiàng)目有3人，則乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）.綜上所述：不同的志愿服務(wù)方案共有（種）.故〖答案〗為：5016.已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意，由，得，即的平分線(xiàn)與直線(xiàn)PQ垂直，如圖，設(shè)的平分線(xiàn)與直線(xiàn)PQ交于點(diǎn)D，則，，又，所以，所以，．由題得，，設(shè)，，，在中，，，則，，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故〖答案〗為：四、解答題17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，化?jiǎn)得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，等式兩邊平方得，即①．在中，由余弦定理得②，聯(lián)立①②解得，所以．18.如圖，與都是邊長(zhǎng)為2正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：取中點(diǎn)，連接都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面（2）解：由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為19.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為.證明：為定值.（1）解：因動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為，由題意得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：（2）證明：如圖，因直線(xiàn)的斜率不能為零（否則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)），又過(guò)點(diǎn)，可設(shè)由消去并整理得：，顯然設(shè)，則由韋達(dá)定理，（*）則，將（*）代入得：,故為定值.20.魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類(lèi)可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國(guó)的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱(chēng)為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開(kāi)賽上，杜宇生以3.47秒的成績(jī)打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手．（1）小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？解：（1）因?yàn)椴捎萌謨蓜僦?，所以的可能取值為，表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負(fù)；所以，，所以的分布列為：則的數(shù)學(xué)期望為.（2）若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝；則小王獲勝的概率為；若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負(fù)勝；勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝勝；勝勝負(fù)負(fù)勝；勝負(fù)勝負(fù)勝；勝負(fù)負(fù)勝勝；負(fù)負(fù)勝勝勝；負(fù)勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝負(fù)勝；則小王獲勝的概率為，因?yàn)椋孕⊥鯌?yīng)選擇“五局三勝制”.21.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求的最小值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，，既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，得，，解得，即，所以，．（2）∵，∴．又∵，∵①∴②①減②得：∴，∴（3），，，則是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，，令，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，且遞減，可得的最大值為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，且遞增，可得的最小值為，所以的最小值為，最大值為，因?yàn)?，?duì)恒成立，所以，所以，所以的最小值為．22.已知函數(shù)，且．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）若，且存在三個(gè)零點(diǎn)，，．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)，求證：．（1）解：當(dāng)時(shí)，則，又，所以，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即.（2）（i）解：因?yàn)榍掖嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，，，所以在上是單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理，方程必有一個(gè)負(fù)根