山東省泰安肥城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安肥城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，所以，在復(fù)平面內(nèi)表示的點的坐標(biāo)為位于第三象限.故選：C.2.下列向量的運算結(jié)果不正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗對于A，，所以A正確；對于B，，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D正確.故選：B.3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=3，b=5，，則sinB=（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得.故選：A.4.為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（）A.向右平行移動個單位長度B.向右平行移動個單位長度C.向左平行移動個單位長度D.向左平行移動個單位長度〖答案〗B〖解析〗因為，所以只要把的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，可得的圖象.故選：B.5.湖南岳陽市岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.如圖，為了測量岳陽樓的高度，選取了與底部水平的直線，測得米，則岳陽樓的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗因為，所以又可得米.故選：D.6.在△中，為邊上的中線，為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)向量的運算法則，可得，所以.故選：A.7已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．8.已知，向量繞著點順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，則（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗作，設(shè)點在角的終邊上，則，則，，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，是方程的兩個虛數(shù)根，則（）A.的取值范圍為 B.的共軛復(fù)數(shù)是C. D.為純虛數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗由，得，A錯誤；因為原方程的根為，所以的共軛復(fù)數(shù)是，B正確；，C正確；因為等于或，所以為純虛數(shù)，D正確.故選：BCD.10.已知向量，則（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，三點共線C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，是銳角〖答案〗ABC〖解析〗，所以，選項A正確；三點共線，所以選項B正確；，，，選項C正確；當(dāng)時，三點共線，由B可知，選項D錯誤.故選：ABC.11.中，分別為內(nèi)角的對邊，則（）A.若，則為等腰直角三角形B.若，則等腰三角形C.若，則D.若，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，由，得，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以A錯誤；對于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以為等腰三角形，所以B正確；對于C，由，得，所以由余弦定理得，因為，所以，所以C錯誤；對于D，因為，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，因，所以，所以D正確.故選：BD.12.某簡諧運動的圖象如圖所示.若兩點經(jīng)過秒后分別運動到圖象上兩點，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，由圖知，，解得，所以，假設(shè)，則即，，，，，，，對于選項A：，，所以，故選項A正確；對于選項B：，，顯然最大值為，所以不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C：，，所以，故選項C正確；對于選項D：，，所以，因為，所以，即，所以，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，復(fù)數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.14.已知向量是平面內(nèi)的一組基底，若向量與共線，則______.〖答案〗〖解析〗因為向量是平面內(nèi)的一組基底，與共線，所以即，所以解得：.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，寫出滿足條件的角的一個取值______.〖答案〗（只需寫出滿足的一個值）〖解析〗，因為是偶函數(shù)，所以，得，故〖答案〗為：（只需寫出滿足的一個值）.16.如圖，在等邊三角形中，，點為的中點，點是邊（包括端點）上的一個動點，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗因為等邊三角形中，，點為的中點，設(shè)，則，所以當(dāng)時，取最小值，最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，表示實數(shù)；當(dāng)時，表示純虛數(shù).求的值.（2）復(fù)數(shù)的長度記作，求的最大值.解：（1）因為當(dāng)時，表示實數(shù)，所以，所以，又因為當(dāng)時表示純虛數(shù)，所以，且所以，從而.（2）因為，當(dāng)時，，則取得最大值，此時的最大值為.18.已知梯形中，，，三個頂點.（1）求頂點的坐標(biāo)；（2）求在上的投影向量.解：（1）設(shè)頂點，已知三個頂點，所以，因為且，所以，即，所以，解得：，即頂點的坐標(biāo)為頂點.（2）可求得，設(shè)的夾角為，則，設(shè)，所以在上的投影向量為：或19.的內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若點D在BC邊的延長上，且，證明：.解：（1）因為，由正弦定理得，又，所以化簡為，又，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，由（1）可知：，所以，所以，，所以.20.在直角坐標(biāo)系中，以為始邊分別作角，，其終邊分別與單位圓交于點，．（1）證明：；（2）已知，為銳角，，，求的值．解：（1）由三角函數(shù)的定義知，，，設(shè)，，設(shè)與的夾角為，則，得，又，所以，又，得，因此，所以.（2）由，為銳角，得，由，，得，，所以.21.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為米的圓，筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時秒，當(dāng)時，筒車上的某個盛水筒位于點處，經(jīng)過秒后運動到點，點的縱坐標(biāo)滿足.已知筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)盛水筒到水面的距離為（單位：米）（盛水筒在水面下時，則為負(fù)數(shù)）.（1）將距離表示成旋轉(zhuǎn)時間的函數(shù)；（2）求筒車在秒的旋轉(zhuǎn)運動過程中，盛水筒位于水面以下的時間有多長？解：（1）由題意可知，由于，所以得，因為時，，所以，由，可求得，從而，所以，其中.（2）當(dāng)盛水筒位于水面以下時，應(yīng)滿足，即，可列不等式，解得，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，由，可得盛水筒位于水面以下的時間有80秒鐘.22.如圖在五邊形中，，，.（1）求線段的長；（2）