2024屆黑龍江省哈三中高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

2024屆黑龍江省哈三中高三第二次診斷性檢測數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．當時，函數的圖象大致是（）A． B．C． D．3．是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內心4．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．5．已知拋物線y2=4x的焦點為F，拋物線上任意一點P，且PQ⊥y軸交y軸于點Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．16．閱讀下側程序框圖，為使輸出的數據為31，則①處應填的數字為A．4 B．5 C．6 D．77．函數在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．8．用電腦每次可以從區(qū)間內自動生成一個實數，且每次生成每個實數都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數，則這3個實數都小于的概率為（）A． B． C． D．9．設函數（，）是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區(qū)間上是單調函數，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的左、右頂點分別是，雙曲線的右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當的外接圓面積達到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．11．集合，，則（）A． B． C． D．12．己知函數的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．14．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2，體積是_____15．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．16．已知x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，則三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若函數在處有極值，且，則稱為函數的“F點”.（1）設函數（）.①當時，求函數的極值；②若函數存在“F點”，求k的值；（2）已知函數（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.18．（12分）已知數列滿足，，其前n項和為.（1）通過計算，，，猜想并證明數列的通項公式；（2）設數列滿足，，，若數列是單調遞減數列，求常數t的取值范圍.19．（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求證：當時，．21．（12分）設函數.（1）求的值；（2）若，求函數的單調遞減區(qū)間.22．（10分）已知函數的圖象在處的切線方程是.（1）求的值；（2）若函數，討論的單調性與極值；（3）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

轉化為，構造函數，利用導數研究單調性，求函數最值，即得解.【詳解】由，可知．設，則，所以函數在上單調遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導數在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.2、B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.3、B【解析】

解出，計算并化簡可得出結論．【詳解】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經過△ABC的垂心．故選B．【點睛】本題考查了平面向量的數量積運算在幾何中的應用，根據條件中的角計算是關鍵．4、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當時，令，，則，，排除B、C選項；（2）當時，令，，則，排除A選項.故選：D.【點睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關系，不等式的基本性質，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題．5、A【解析】

設點，則點，，利用向量數量積的坐標運算可得，利用二次函數的性質可得最值.【詳解】解：設點，則點，，，，當時，取最小值，最小值為.故選：A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學生的計算能力，是基礎題.6、B【解析】考點：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當i＜5時退出，故選B．7、B【解析】

根據特殊值及函數的單調性判斷即可；【詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據函數圖象選擇函數解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.8、C【解析】

由幾何概型的概率計算，知每次生成一個實數小于1的概率為，結合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數小于1的概率為.∴這3個實數都小于1的概率為.故選：C.【點睛】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率，考查學生基本的計算能力，是一道容易題.9、D【解析】

根據函數為上的奇函數可得，由函數的對稱軸及單調性即可確定的值，進而確定函數的解析式，即可求得的值.【詳解】函數（，）是上的奇函數，則，所以.又的圖象關于直線對稱可得，，即，，由函數的單調區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調性確定參數，屬于中檔題.10、A【解析】

點的坐標為，，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】不妨設點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因為，，所以，當且僅當，即當時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【點睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.11、A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.12、A【解析】

先將函數解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據導數幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數即直線與函數圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質的綜合應用，由交點及導數的幾何意義求函數值，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是．答案：14、20+45，8【解析】試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8，故填：20+4考點：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.15、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.16、3【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，畫出可行域如圖所示.目標函數z=2x-y，即平移直線y=2x-z，截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A（12，z在點A處有最小值：z＝2×1故答案為：32【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用數形結合，結合目標函數的幾何意義是解決此類問題的基本方法．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①極小值為1，無極大值.②實數k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數單調性，即得極值；②設是函數的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數可知，且，可得，根據可得，設，由的單調性可得，即得.（2）方法一：先求的導數，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據已知解即得.方法二：由函數存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數根，由得，分兩種情況：是函數一個“F點”，不是函數一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）①當時，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數在處取得極小值，極小值為1，無極大值.②設是函數的一個“F點”（）.（），是函數的零點.，由，得，，由，得，即.設，則，所以函數在上單調增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據①知，時，是函數的極小值點，所以1是函數的“F點”.綜上，得實數k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數存在不相等的兩個“F點”和，，是關于x的方程（）的兩個相異實數根.又，，，即，從而，，即..，，解得.所以，實數a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（a，b，，）所以（）.又因為函數存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關于x的方程組的兩個相異實數根.由得，.（2.1）當是函數一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）當不是函數一個“F點”時，則，是關于x的方程的兩個相異實數根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數求函數極值，以及由函數的極值求參數值等，是一道關于函數導數的綜合性題目，考查學生的分析和數學運算能力，有一定難度.18、（1），證明見解析；（2）【解析】

（1）首先利用賦值法求出的值，進一步利用定義求出數列的通項公式；（2）首先利用疊乘法求出數列的通項公式，進一步利用數列的單調性和基本不等式的應用求出參數的范圍．【詳解】（1）數列滿足，，其前項和為．所以，，則，，，所以猜想得：．證明：由于，所以，則：（常數），所以數列是首項為1，公差為的等差數列．所以，整理得．（2）數列滿足，，所以，則，所以．則，所以，所以，整理得，由于，所以，即．【點睛】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，疊乘法的應用，函數的單調性在數列中的應用，基本不等式的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題型．19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結論；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進而可求得其正弦值.【詳解】（1）取中點，連接、、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，設平面的法向量為，由，得，取，則，，，設平面的法向量為，由，得，取，則，，，，，因此，二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）（2）見解析【解析】

(1)取，則；取，則，∴；(2)要證，只需證，當時，；假設當時，結論成立，即，兩邊同乘以3得：而∴，即時結論也成立，∴當時，成立.綜上原不等式獲證.21、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【解析】

（1）化簡函數，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區(qū)間，再結合即可求出.【詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【點睛】本題主要考查了三角函數的恒等變形，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.22、（1）；（2）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值；（3）見解析.【解析】

（1）切點既在切線上又在曲線上得一方程，再根據斜率等于該點的導數再列一方程，解方程組即可