專題01空間向量與立體幾何（基礎12種題型+能力提升題）（原卷版）

專題01空間向量與立體幾何（基礎12種題型+能力提升題）一．異面直線及其所成的角（共4小題）1．（2022秋?藍田縣期末）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是．2．（2022秋?潁州區(qū)校級期末）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為．3．（2022秋?東坡區(qū)校級期末）如圖，S為等邊三角形ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點，則異面直線EF與AC所成的角為．4．（2022秋?渦陽縣校級期末）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點．設D是線段B1C1（包括兩個端點）上的動點，當直線BD與EF所成角的余弦值為，則線段BD的長為．二．空間中的點的坐標（共1小題）5．（2022秋?西城區(qū)期末）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（1，3，0），B（0，3，﹣1），則（）A．直線AB∥坐標平面xOy B．直線AB⊥坐標平面xOy C．直線AB∥坐標平面xOz D．直線AB⊥坐標平面xOz三．空間兩點間的距離公式（共1小題）（多選）6．（2022秋?凌河區(qū)校級期末）空間直角坐標系中，坐標原點到下列各點的距離不大于5的是（）A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4）四．空間向量及其線性運算（共6小題）7．（2022秋?定遠縣校級期末）已知三棱錐O﹣ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（）A． B． C． D．8．（2022秋?黃山期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F分別是BC、CC1的中點，G為△ABC的重心，則＝（）A． B． C． D．9．（2022秋?米東區(qū)校級期末）如圖，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，，，，則＝（）A． B． C． D．10．（2022秋?玉林期末）如圖，空間四邊形OABC中，．點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，則＝（）A． B． C． D．11．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）已知O為空間任意一點，A、B、C、P滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則m的值為．12．（2022秋?淄博期末）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．（1）用向量表示；（2）求．五．共線向量與共面向量（共1小題）13．（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）已知，，若與共線，則x+y＝．六．空間向量的數(shù)量積運算（共4小題）14．（2022秋?天寧區(qū)校級期末）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是．15．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）已知向量，若，則m＝．16．（2022秋?勃利縣校級期末）已知向量＝（0，﹣1，1），＝（4，1，0），|λ+|＝且λ＞0，則λ＝．17．（2022秋?豐城市期末）＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），則||＝．七．空間向量的夾角與距離求解公式（共1小題）18．（2022秋?錦州期末）直線l的方向向量為，且l過點A（1，1，1），則點P（﹣1，2，1）到l的距離為（）A． B． C． D．八．空間向量基本定理、正交分解及坐標表示（共4小題）19．（2022秋?新余期末）已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．（多選）20．（2022秋?東湖區(qū)校級期末）已知，，是空間的一個基底，則下列說法中正確的是（）A．若x+y+z＝，則x＝y(tǒng)＝z＝0 B．，，兩兩共面，但，，不共面 C．一定存在實數(shù)x，y，使得＝x+y D．+，﹣，+2一定能構成空間的一個基底（多選）21．（2022秋?花都區(qū)校級期末）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，22．（2023春?龍巖期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點．若＝，＝，＝，則向量＝（）A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+九．向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共2小題）23．（2022秋?荊州區(qū)校級期末）已知x，y∈R，向量，，，且，，則＝（）A． B． C．4 D．324．（2022秋?東城區(qū)期末）已知空間向量＝（1，﹣1，0），＝（m，1，﹣1），若⊥，則實數(shù)m＝．十．平面的法向量（共2小題）（多選）25．（2022秋?西城區(qū)校級期末）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是（）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，3，﹣1），，﹣3，1），則l1∥l2 B．直線l的方向向量，﹣1，2），平面α的法向量是，4，﹣1），則l⊥α C．兩個不同的平面α，β的法向量分別是，2，﹣1），，4，2），則α⊥β D．直線l的方向向量，3，0），平面α的法向量是，﹣5，0），則l∥α26．（2022秋?蘭山區(qū)校級期末）已知平面α的一個法向量，點A（﹣1，﹣3，0）在平面α內(nèi)，若點B（m，0，2﹣m）在平面α內(nèi)，則m＝．十一．直線與平面所成的角（共4小題）27．（2022秋?興城市校級期末）如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB、BD．（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．28．（2022秋?懷柔區(qū)期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，點E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直線BC1與A1C所成角的大??；（Ⅱ）求BC1與平面A1EC所成角的正弦．29．（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點．（1）求證：C1M⊥B1D；（2）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值．30．（2022秋?城區(qū)校級期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB＝BC＝3，BP＝3，CF＝CP，DE＝DA．（1）證明：EF∥平面ABP；（2）求直線PC與平面ADF所成角的正弦值．十二．二面角的平面角及求法（共2小題）31．（2022秋?郴州期末）在空間中，已知平面α過點（3，0，0）和點（0，4，0）及z軸上一點（0，0，a）（a＞0），如果平面α與平面xOy上的夾角為45°，則a＝．32．（2022秋?溫州期末）二面角α﹣l﹣β的棱上有兩個點A、B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則平面α與平面β的夾角為．一．多選題（共3小題）（多選）1．（2022秋?薛城區(qū)期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P在線段BD1上運動（包括端點），下列選項正確的有（）A．AP⊥B1C B．PD⊥BC C．直線PC1與平面A1BCD1所成角的最小值是 D．PC+PD的最小值為（多選）2．（2022秋?廣州期末）已知空間向量＝（﹣2，﹣1，1），＝（3，4，5），則下列結論正確的是（）A． B． C． D．在上的投影數(shù)量為（多選）3．（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AC的中點，則（）A．＜，＞＝120° B．BD1⊥AC C．BD1⊥EB1 D．∠BB1E＝45°二．填空題（共2小題）4．（2022秋?保山期末）半正多面體（又稱作“阿基米德體”），是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，其構成體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正14面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體沿共頂點的三條棱的中點截去八個相同的三棱錐所得，則這個半正多面體的體積為；若點E為線段BC上的動點，則直線DE與平面AFG所成角的正弦值的取值范圍為．5．（2022秋?惠州期末）空間直角坐標系xOy中，過點P（x0，y0，z0）且一個法向量為的平面α的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，過點P（x0，y0，z0）且方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面α的方程為x﹣y+z+1＝0，直線l是兩個平面x﹣y+2＝0與2x﹣z+1＝0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為．三．解答題（共9小題）6．（2022秋?三門峽期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是邊長為2的等邊三角形，直線PB與底面ABCD所成的角為45°，PA＝2CD，PD＝，E是棱PD的中點．（1）求證：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一點T，使得平面ATE與平面APB所成銳二面角的余弦值為？若存在，請指出T的位置；若不存在，請說明理由．7．（2022秋?中山市校級期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD為等邊三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點．（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點G，使得DG∥平面AEF？若存在，求直線DG與平面AEF的距離；若不存在，說明理由．8．（2022秋?西山區(qū)期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC＝，PD＝DC＝2BC＝4，點E是線段AD的中點，點F在線段AP上且滿足＝λ，PD⊥面ABCD．（Ⅰ）當λ＝時，證明：PC∥平面BFE；（Ⅱ）當λ為何值時，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最?。?．（2022秋?邵東市校級期末）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，，PA＝PB＝PD＝2．（1）證明：PA⊥BD；（2）求直線BC與平面PCD所成角的余弦值．10．（2022秋?湖北期末）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，，AB∥CD，∠APD＝∠ABC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA中點．（1）求證：DE∥面PBC；（2）求證：PA⊥面PBD；（3）點Q在棱PB上，設，若二面角P﹣AD﹣Q的余弦值為，求λ．11．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設，，．（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．12．（2022秋?溫州期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離．13．（2022秋?浉河區(qū)校級期末）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面A