河南省南陽市六校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題

2023－2024學年（下）南陽六校高二年級期中考試數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．曲線在點處的切線的斜率為（）A．－2 B．－1 C．1 D．22．已知數(shù)列的首項，當時，，若，則的值可以是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20253．下列求導錯誤的是（）A． B．C． D．4．具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的樣本數(shù)據(jù)如下：－2－4－6－817.4138.25其回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．在數(shù)列中，若，則（）A．1012 B．1013 C．2023 D．20246．已知數(shù)列滿足，其前項和為，若，則（）A．8 B．9 C．10 D．117．設(shè)點到直線的距離為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，在數(shù)列的每相鄰兩項與之間插人個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前項和為，則（）A．150 B．151 C．170 D．171二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列結(jié)論中正確的是（）A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過點B．樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)程度越強，反之，線性相關(guān)程度越弱C．若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)D．若樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－110．已知是等差數(shù)列，是其前項和，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若和都為遞增數(shù)列，則11．已知直線與曲線和都相切，切點分別為，則（）A． B．C．滿足條件的直線有2條 D．滿足條件的直線只有1條三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知等比數(shù)列的前項和為，且，則_______．13．已知變量和之間的關(guān)系可以用模型來擬合．設(shè)，若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算可得，且與的線性回歸方程為，則_______．（參考數(shù)據(jù)：）14．ChatGPT爆火以來，各種人工智能平臺如雨后春筍般層出不窮．某人工智能服務(wù)商提供了兩種會員服務(wù)套餐，購買會員服務(wù)的既有個人用戶也有公司用戶．后臺隨機調(diào)取名會員的基本信息，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買B套餐的用戶數(shù)占總用戶數(shù)的，購買B套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的倍，購買套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半．根據(jù)獨立性檢驗，有的把握認為購買的套餐類型與用戶類型有關(guān)系，則的最小值為_______．（參考公式及數(shù)據(jù)見18題）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）（I）若函數(shù)有三個零點1，2，4，求；（II）若曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)和的值．16．（15分）某運動服飾公司對產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：十萬元）與年銷售量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表：123453540505570（I）求和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)程度很強；若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度很弱）（II）求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸直線方程，并據(jù)此預測年投資額為60萬元時的年銷售量．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線方程中，．17．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列．（I）證明：為等差數(shù)列；（II）若，數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和．18．（17分）“村BA”是由貴州省臺盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展而來的賽事，比賽由村民組織，參賽者以村民為主，極具鄉(xiāng)村氣息．某學校為了研究不同性別的學生對該賽事的了解情況，進行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件“了解村BA”，“學生為女生”，據(jù)統(tǒng)計．（I）根據(jù)已知條件，作出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該校學生對“村”的了解情況與性別有關(guān)；（II）現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：． 0.0500.0100.0050.001 3.8416.6357.87910.82819．（17分）記數(shù)列的前項和為，已知，且．（I）令，求數(shù)列的通項公式；（II）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2023－2024學年（下）南陽六校高二年級期中考試數(shù)學?答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案B命題意圖本題考查導數(shù)的幾何意義．解析因為，所以．2．答案C命題意圖本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系．解析，故數(shù)列的周期為3，因為，所以可以為2024．3．答案D命題意圖本題考查導數(shù)的計算．解析對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．4．答案A命題意圖本題考查回歸直線的性質(zhì)．解析由表中的數(shù)據(jù)知正相關(guān)．所以，又，，即點在回歸直線上，且在第二象限，所以回歸直線經(jīng)過第一、二、三象限．5．答案B命題意圖本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系．解析因為，所以，所以，所以是常數(shù)列，所以，又，所以．6．答案C命題意圖本題考查等比數(shù)列求和．解析因為，所以，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又因為11，所以，所以，即，所以．由題意可得，解得．7．答案A命題意圖本題考查導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．解析設(shè)直線與曲線相切于點，則可得，得，所以點到直線的距離最小，且最小值為，又因為，所以曲線上到直線的距離為的點有兩個，其中一個為，故選A．8．答案命題意圖本題考查數(shù)列的概念和綜合應(yīng)用．解析由題意知之間插入1個之間插人2個之間插人4個之間插入8個1，之間插入16個之間插入32個之間插入64個1，由于，故數(shù)列的前100項含有的前7項和93個1，故．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．答案命題意圖本題考查回歸分析的相關(guān)概念．解析對于A，回歸直線必過點，故A正確；對于B，越接近1，兩個變量的線性相關(guān)程度越強，越接近0，線性相關(guān)程度越弱，故B錯誤；對于C，若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)，故C正確；對于D，樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，說明是負相關(guān)且為線性函數(shù)，所以這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，故D正確．10．答案BC命題意圖本題考查等差數(shù)列的相關(guān)計算．解析對于A，，則，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，所以，又因為，所以，所以，故C正確；對于D，因為為遞增數(shù)列，所以其公差，因為為遞增數(shù)列，所以，所以對任意的，但的正負不確定，故D錯誤．11．答案AC命題意圖本題考查導數(shù)的幾何意義．解析由題可知直線與曲線相切于點，又，所以直線的斜率，則在點處的切線方程為，即，直線與曲線相切于點，可得在點處的切線方程為，即．因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即，可得，解得，故A正確，B錯誤；把代入，得，數(shù)形結(jié)合可得的值有兩個，故C正確，D錯誤．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案32命題意圖本題考查等比數(shù)列的基本運算．解析設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，由，得，解得，所以．13．答案0.3命題意圖本題考查非線性回歸的應(yīng)用．解析由題意知，解得，所以，由，得，所以，則．14．答案170命題意圖本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用．解析由題意可得用戶類型與購買的套餐類型列聯(lián)表如下：總計個人用戶公司用戶總計，解得，又因為必須是10的倍數(shù)，所以的最小值為170．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．命題意圖本題考查導數(shù)的計算和幾何意義．解析（I）由題意知，所以．（II），題意知即解得16．命題意圖本題考查線性回歸分析的應(yīng)用．解析（I）由題可知，，，變量和的線性相關(guān)程度很強．（II），．關(guān)于的回歸直線方程為．（12分）當時，，研發(fā)的年投資額為60萬元時，預測產(chǎn)品的年銷售星為75.5萬件．17．命題意圖本題考查等差數(shù)列以及裂項法求和．解析（I）因為為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，又因為，所以．當時，，又因為適合上式，所以．所以，所以為等差數(shù)列．（II）因為，由（I）知，得，所以．所以，當時，，因為滿足上式，所以．所以．18．命題意圖本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用和超幾何分布的有關(guān)計算．解析（I）因為，所以對“村BA”了解的女生人數(shù)為，了解“村BA”的學生人數(shù)為，結(jié)合男生和女生各80名，作出列聯(lián)表為：了解不了解總計男生305080女生57580總計35125160，因此，有的把握認為該校學生對“村BA”的了解情況與性別有關(guān)．（