2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達(dá)標(biāo)檢測(cè)卷（2）（人教版）含答案

2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達(dá)標(biāo)檢測(cè)卷（二）【人教版】考試時(shí)間：100分鐘；滿分：100分學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）評(píng)卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2019秋?寧德期末）下列四個(gè)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2019秋?咸豐縣期末）如圖所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于點(diǎn)F，且BE＝CD，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD3．（3分）（2019?江北區(qū)模擬）如果一個(gè)正多邊形內(nèi)角和等于1080°，那么這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于（）A．45° B．60° C．120° D．135°4．（3分）（2019秋?紅安縣期中）如圖，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P為OC上任意點(diǎn)，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，則PD的長(zhǎng)為（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.55．（3分）（2019秋?荔灣區(qū)期末）如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD，則BE＝（）A．7 B．8 C．9 D．106．（3分）（2018秋?昆明期末）三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形的（）A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊中線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)7．（3分）（2019?重慶模擬）如圖，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長(zhǎng)是（）A．10 B．15 C．20 D．58．（3分）（2018秋?墾利區(qū)期中）如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，則∠BOC＝（）A．130° B．120° C．110° D．100°9．（3分）（2018秋?嘉蔭縣期末）如圖，D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，△ADE的面積為2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．10 D．1210．（3分）（2019秋?官渡區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足為D點(diǎn)，AE平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接DG，交AE于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF

第Ⅱ卷（非選擇題）評(píng)卷人得分二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2019春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）若等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，那么腰長(zhǎng)x的取值范圍是．12．（3分）（2018秋?上杭縣期中）一輛汽車的車牌號(hào)在水中的倒影是：那么它的實(shí)際車牌號(hào)是：．13．（3分）（2018秋?濱?？h期末）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．若BC＝7，AC＝4，則△ACE的周長(zhǎng)為．14．（3分）（2019秋?襄州區(qū)期末）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是．15．（3分）（2019秋?株洲縣期末）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是平面上的6個(gè)點(diǎn)，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．16．（3分）（2019秋?岑溪市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．評(píng)卷人得分三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2018秋?新賓縣期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，AC＝BE．（1）求證：AD＝BD；（2）求∠B的度數(shù)．18．（8分）（2019秋?瑤海區(qū)期末）（1）如圖1，已知△DEF，用直尺和圓規(guī)在△DEF內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到△DEF三邊距離相等不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖在圖示的網(wǎng)格中，作出△ABC關(guān)于MN對(duì)稱的圖形△A1B1C1；說(shuō)明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的？19．（8分）（2019秋?淶水縣校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖，若點(diǎn)O在邊BC上，試說(shuō)明AB＝AC；（2）若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC．20．（8分）（2019秋?郯城縣期末）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）寫出∠DAE與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．21．（10分）（2019秋?黃石期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖中與∠DBE相等的角有：；（2）直接寫出BE和CD的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．22．（10分）（2019秋?河西區(qū)校級(jí)月考）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的結(jié)論下，若將M、N改在CA、BC的延長(zhǎng)線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達(dá)標(biāo)檢測(cè)卷（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列四個(gè)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【答案】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對(duì)稱圖形的定義．不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對(duì)稱圖形的定義．不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對(duì)稱圖形的定義．不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）如圖所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于點(diǎn)F，且BE＝CD，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD【分析】先根據(jù)∠ABC＝∠ACB，得出AB＝AC，再根據(jù)SAS判定△ABE≌△ACD，即可得到AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【答案】解：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，故A選項(xiàng)正確；又∵CD⊥AC于C，BE⊥AB，∴∠ABE＝∠ACD，又∵BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，故C、D選項(xiàng)正確；而BF＝EF不一定成立．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．3．（3分）如果一個(gè)正多邊形內(nèi)角和等于1080°，那么這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于（）A．45° B．60° C．120° D．135°【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝1080，即可求得n＝8，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．【答案】解：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8，∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于：360°÷8＝45°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)．注意掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°，外角和等于360°．4．（3分）如圖，OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P為OC上任意點(diǎn)，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM＝3，則PD的長(zhǎng)為（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.5【分析】過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PN＝PM，根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC＝30°，然后求出PM，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠PDN＝60°，求出∠DPN＝30°，再求解即可．【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，∴PN＝PM，∵OC平分∠AOB，且∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°，∵OM＝3，∴PM＝3×＝，∵PD∥OA，∴∠PDN＝∠AOB＝60°，∴∠DPN＝90°﹣60°＝30°，∴PD＝÷＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，解直角三角形以及平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD，則BE＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分線，則∠DBC＝30°，AD＝CD＝AC，再由題中條件CE＝CD，即可求得BE．【答案】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CE＝CD，∴CE＝AC＝3∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，得到AD＝CD＝AC是正確解答本題的關(guān)鍵．6．（3分）三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)一定是三角形的（）A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊中線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線的判定可知，到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是角平分線的交點(diǎn)．【答案】解：在一個(gè)三角形的內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是角平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】主要考查了角平分線的判定．本題注意不要與線段中垂線的性質(zhì)或判定混淆，三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．7．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長(zhǎng)是（）A．10 B．15 C．20 D．5【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可證的△DPB和△EPC為等腰三角形，從而將△PDE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為BC的長(zhǎng)．【答案】解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周長(zhǎng)＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．即△PDE的周長(zhǎng)是5cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，難度不大，注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．8．（3分）如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，則∠BOC＝（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，從而得出答案．【答案】解：延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)D，∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B＝20°+80°+30°＝130°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．9．（3分）如圖，D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，△ADE的面積為2，則△ABC的面積為（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)解答即可．【答案】解：∵D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，△ADE的面積為2，∴△ADC的面積＝4，∴△ABC的面積＝8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)解答．10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足為D點(diǎn)，AE平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接DG，交AE于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF【分析】通過(guò)證明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性質(zhì)可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．【答案】解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，∴∠CAB＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△ADF≌△BDC（AAS）∴AF＝BC＝2CE，故選項(xiàng)C不符合題意，∵點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°∴∠AHG＝67.5°，∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，∴DH＝DF，故選項(xiàng)D不符合題意，連接BH，∵AG＝BG，DG⊥AB，∴AH＝BH，∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，∴∠EHB＝∠EBH＝45°，∴HE＝BE，故選項(xiàng)B不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，那么腰長(zhǎng)x的取值范圍是5cm＜x＜10cm．【分析】根據(jù)已知三角形周長(zhǎng)公式可表示出底邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系確定x的取值范圍即可．【答案】解：∵等腰三角形的腰長(zhǎng)為xcm，周長(zhǎng)20cm，∴底邊為（20﹣2x）cm，∴20﹣2x＞0且2x＞20﹣2x，解得x＜10且x＞5．∴腰長(zhǎng)x的取值范圍是5cm＜x＜10cm．故答案為：5cm＜x＜10cm【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得x的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．12．（3分）一輛汽車的車牌號(hào)在水中的倒影是：那么它的實(shí)際車牌號(hào)是：K62897．【分析】關(guān)于倒影，相應(yīng)的數(shù)字應(yīng)看成是關(guān)于倒影下邊某條水平的線對(duì)稱．【答案】解：實(shí)際車牌號(hào)是K62897．故答案為：K62897．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱的性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是得到對(duì)稱軸，進(jìn)而得到相應(yīng)數(shù)字．也可以簡(jiǎn)單的寫在紙上，然后從紙的后面看．13．（3分）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．若BC＝7，AC＝4，則△ACE的周長(zhǎng)為11．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【答案】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EB＝EA，∴△ACE的周長(zhǎng)＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝11，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是6．【分析】連接CA′交BC′于點(diǎn)E，C，A′關(guān)于直線BC′對(duì)稱，推出當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+BC的值最小，最小值為線段AA′的長(zhǎng)＝6．【答案】解：連接CA′交BC′于點(diǎn)E，∵直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴A，B，A′共線，∵∠ABC＝∠A′BC′＝60°，∴∠CBC′＝60°，∴∠C′BA′＝∠C′BC，∵BA′＝BC，∴BD⊥CA′，CD＝DA′，∴C，A′關(guān)于直線BC′對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+BC的值最小，最小值為線段AA′的長(zhǎng)＝6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇?wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．15．（3分）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是平面上的6個(gè)點(diǎn)，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是360°．【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠A+∠B＝∠1，∠E+∠F＝∠2，∠C+∠D＝∠3，再根據(jù)三角形的外角和是360°進(jìn)行解答．【答案】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠3、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3或厘米/秒時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分①BD、PC是對(duì)應(yīng)邊，②BD與CQ是對(duì)應(yīng)邊兩種情況討論求解即可．【答案】解：∵AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝×10＝5cm，設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則BP＝3t，PC＝（8﹣3t）cm①當(dāng)BD＝PC時(shí)，8﹣3t＝5，解得：t＝1，則BP＝CQ＝3t＝3，故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：3÷1＝3（厘米/秒）；②當(dāng)BP＝PC時(shí)，∵BC＝8cm，∴BP＝PC＝4cm，∴t＝4÷3＝（秒），故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為5＝（厘米/秒）；故答案為：3或厘米/秒．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)角分情況討論是本題的難點(diǎn)．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，AC＝BE．（1）求證：AD＝BD；（2）求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD＝∠BAD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B＝∠BAD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．【答案】證：（1）∵DE⊥AB于E，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴CD＝DE，在Rt△ACD與Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，∵AC＝BE，∴AE＝BE，∴AD＝BD；（2）∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并列出求出∠CAD＝∠BAD＝∠B是解題的關(guān)鍵．18．（8分）（1）如圖1，已知△DEF，用直尺和圓規(guī)在△DEF內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到△DEF三邊距離相等不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖在圖示的網(wǎng)格中，作出△ABC關(guān)于MN對(duì)稱的圖形△A1B1C1；說(shuō)明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的？【分析】（1）如圖1，已知△DEF，用直尺和圓規(guī)在△DEF內(nèi)作三角形其中任意兩個(gè)角的平分線交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P到△DEF三邊距離相等；（2）如圖在圖示的網(wǎng)格中，作出△ABC關(guān)于MN對(duì)稱的圖形△A1B1C1即可，△A2B2C2是由△A1B1C1向右平移6個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位得到的．【答案】解：（1）如圖1所示：點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)；（2）如圖2所示：△A1B1C1即為所求作的圖形；△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過(guò)向右平移6個(gè)單位、再向下平移2個(gè)單位得到的、【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換、角平分線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件準(zhǔn)確作圖．19．（8分）如圖，已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖，若點(diǎn)O在邊BC上，試說(shuō)明AB＝AC；（2）若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC．【分析】（1）先利用斜邊直角邊定理證明△OEB和△OFC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠B＝∠C，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得到AB＝AC；（2）過(guò)O作OE⊥AB，OF⊥AC，與（1）的證明思路基本相同．【答案】證明：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，∴OE＝OF，又∵OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠B＝∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∴AB＝AC（等角對(duì)等邊）；（2）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，由題意知，OE＝OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE＝∠OCF，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO+∠OBC＝∠OCF+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（8分）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）寫出∠DAE與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和可得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，再根據(jù)角平分線與高線的定義得到∠CAE＝∠CAB＝45°，∠ADC＝90°，求出∠AEC，然后利用∠DAE＝90°﹣∠AEC計(jì)算即可．（2）根據(jù)題意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，從而可以得到∠DAE與∠C﹣∠B的關(guān)系．【答案】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝45°．∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．（2）由（1）知，∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（）又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．∴∠DAE＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C），＝（∠C﹣∠B）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．21．（10分）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖中與∠DBE相等的角有：∠ACE和∠BCD；（2）直接寫出BE和CD的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；（2）延長(zhǎng)BE交CA延長(zhǎng)線于F，證明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，證明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，證明結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與AE相交于H，分別證明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【答案】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴∠DBE＝∠BCD，故答案為：∠ACE和∠BCD；（2）延長(zhǎng)BE交CA延長(zhǎng)線于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE，在△CEF和△CEB中，，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE＝BE，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BE＝CD；（3）BE＝DF證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥CA，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，∵∠EDB＝∠C，∴∠EDB＝∠EDG＝∠C，∵BE⊥ED，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHD，∵∠EFB＝∠HFD，∴∠EBF＝∠HDF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠C＝45°，∴∠GDB＝∠ABC＝45°，∴BH＝DH，在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA）∴BG＝DF，∵在△BDE和△GDE中，，∴△BDE≌△GDE（ASA）∴BE＝EG，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（10分）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的結(jié)論下，若將M、N改在CA、BC的延長(zhǎng)線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【分析】（1）延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【答案】（1）AM+BN＝MN，證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝AM，連接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，證明：在CB截取BE＝AM，連接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，運(yùn)用了類比推理的方法，題目比較典型，但有一定的難度．專題01三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】【方法點(diǎn)撥】理解穩(wěn)定性：“只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說(shuō)，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了”.【例1】（2019春?永泰縣期中）如圖小方做了一個(gè)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的加固方案（）A． B． C． D．【變式1-1】（2019秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）將幾根木條用釘子釘成如圖的模型，其中在同一平面內(nèi)不具有穩(wěn)定性的是（）A．B． C． D．【變式1-2】（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連接而構(gòu)成的，它的形狀不穩(wěn)定．如果用在圖中木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來(lái)達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓盡可能少，那么需要添加螺栓（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2019秋?安陸市期中）我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，要想使多邊形（三角形除外）木架不變形至少再釘上若干根木條，如圖所示，四邊形至少再釘上一根；五邊形至少再釘上兩根；六邊形至少再釘上三根；…，按照此規(guī)律，十二邊形至少再釘上（）A．11根 B．10根 C．9根 D．8根【考點(diǎn)2判斷三角形的高】【方法點(diǎn)撥】三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過(guò)該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)線上．【例2】（2019春?海州區(qū)期中）如圖，△ABC中的邊BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【變式2-1】（2019春?大豐區(qū)期中）要求畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（）A．B． C．D．【變式2-2】（2019春?蘇州期中）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【變式2-3】（2018春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列說(shuō)法正確的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.【例3】（2019春?福州期末）用一根長(zhǎng)為10cm的繩子圍成一個(gè)三角形，若所圍成的三角形中一邊的長(zhǎng)為2cm，且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式3-1】（2019秋?銀海區(qū)期末）a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，結(jié)果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【變式3-2】（2019春?秦淮區(qū)期末）已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是a、b，且a＞b，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a(chǎn)+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【變式3-3】（2019?孝感模擬）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框（形狀不限），不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念】【方法點(diǎn)撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對(duì)角線與所分成三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：從n(n≥3)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出(n-3)條對(duì)角線.將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形.【例4】（2019春?道里區(qū)期末）下列選項(xiàng)中的圖形，不是凸多邊形的是（）A．B． C． D．【變式4-1】（2019秋?德州校級(jí)月考）要使一個(gè)五邊形具有穩(wěn)定性，則需至少添加（）條對(duì)角線．A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-2】（2018秋?南城縣期末）從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【變式4-3】（2018秋?綿陽(yáng)期中）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形則這個(gè)多邊形原來(lái)的邊數(shù)是（）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10【考點(diǎn)5多邊形內(nèi)角和與外角和的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】（1）掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式：(n-2)×180°(n≥3的整數(shù)），多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無(wú)關(guān).【例5】（2019春?吳江區(qū)期中）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，并且它的一個(gè)外角與一個(gè)內(nèi)角的比為1：3，則這個(gè)多邊形為（）A．三角形 B．四邊形 C．六邊形 D．八邊形【變式5-1】（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了（）米．A．100 B．120 C．140 D．60【變式5-2】（2019春?江都區(qū)期中）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°【變式5-3】（2019春?江陰市期中）如圖，在六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分別平分∠BCD、∠CDE，則∠P的度數(shù)是（）A．α﹣180° B．180°﹣α C．α D．360°﹣α【考點(diǎn)6三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.【例6】（2019春?石景山區(qū)期末）如圖，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求證：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【變式6-1】（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度數(shù)；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，試用含α、β的式子表示∠EAD，則∠EAD＝．（直接寫出結(jié)論即可）【變式6-2】（2019春?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．作∠BDE＝∠ABD交AB于點(diǎn)E．（1）求證：ED∥BC；（2）點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）連接BM，∠ABM的平分線交射線ED于點(diǎn)N．若∠MBC＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度數(shù)．【變式6-3】（2018秋?豐城市期末）已知將一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線直線MN∥DE，若∠ACD＝20°，試求∠CAM的大小．【考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【例7】（2019春?寶應(yīng)縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【變式7-17】（2018春?岱岳區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度數(shù)．【變式7-2】（2018春?商水縣期末）如圖，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．【變式7-3】（2019春?南開(kāi)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點(diǎn)F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數(shù)．【考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角】【方法點(diǎn)撥】直角三角形兩銳角互余，通常利用這一結(jié)論進(jìn)行倒角.【例8】（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF＝∠CFE．【變式8-1】（2011春?越城區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高線，BE是一條角平分線，它們相交于點(diǎn)P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度數(shù)．【變式8-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)C作CF⊥AE，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠D＝65°，求∠EAC的度數(shù)．【變式8-3】（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀是什么？為什么？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，點(diǎn)C，B，E在同一直線上，∠A與∠D有什么關(guān)系？為什么？八上專題01三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】【方法點(diǎn)撥】理解穩(wěn)定性：“只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說(shuō)，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了”.【例1】如圖小方做了一個(gè)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的加固方案（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【答案】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得C是最好的加固方案．故選：C．【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性．【變式1-1】將幾根木條用釘子釘成如圖的模型，其中在同一平面內(nèi)不具有穩(wěn)定性的是（）A．B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【答案】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得A、B、D都具有穩(wěn)定性，C未曾構(gòu)成三角形，因此不穩(wěn)定，故選：C．【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，是需要識(shí)記的內(nèi)容．【變式1-2】圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連接而構(gòu)成的，它的形狀不穩(wěn)定．如果用在圖中木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來(lái)達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓盡可能少，那么需要添加螺栓（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】用木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來(lái)達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的目的，可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【答案】解：如圖：A點(diǎn)加上螺栓后，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，原不穩(wěn)定的五角星中具有了穩(wěn)定的各邊．故選：A．【方法總結(jié)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過(guò)連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．【變式1-3】我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，要想使多邊形（三角形除外）木架不變形至少再釘上若干根木條，如圖所示，四邊形至少再釘上一根；五邊形至少再釘上兩根；六邊形至少再釘上三根；…，按照此規(guī)律，十二邊形至少再釘上（）A．11根 B．10根 C．9根 D．8根【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分成三角形個(gè)數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，需要的木條數(shù)等于過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)，由此得出答案即可．【答案】解：過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作（n﹣3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形，所以，要使一個(gè)十二邊形木架不變形，至少需要12﹣3＝9根木條固定．故選：C．【方法總結(jié)】此題考查了圖形的變化規(guī)律，考慮把多邊形分成三角形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2判斷三角形的高】【方法點(diǎn)撥】三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過(guò)該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)線上．【例2】如圖，△ABC中的邊BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形高的定義即可解答．【答案】解：△ABC中的邊BC上的高是AF，故選：A．【方法總結(jié)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)邊的垂線，這個(gè)點(diǎn)與垂足的連線段叫三角形的高．【變式2-1】要求畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（）A．B． C．D．【思路點(diǎn)撥】作哪一條邊上的高，即從所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊或者條邊的延長(zhǎng)線作垂線即可．【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作AB邊的垂線，正確的是C．故選：C．【方法總結(jié)】本題是一道作圖題，考查了三角形的角平分線、高、中線，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．【變式2-2】如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可直接得出結(jié)論．【答案】解：∵直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，∴若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；故選：B．【方法總結(jié)】本題考查的是三角形高的性質(zhì)，熟知直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列說(shuō)法正確的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的高的定義以及平行線的性質(zhì)，即可解答．【答案】解：∵BD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵EF∥AC，∴∠EGB＝∠ADB＝90°，∴BG是△EBF的高，①正確；∵∠CDB＝90°，∴CD是△BGC的高，②正確；∵∠ADG＝∠CDG＝90°，∴DG是△AGC的高，③正確；∵∠ADB＝90°，∴AD是△ABG的高，④正確．故選：D．【方法總結(jié)】本題考查了三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，理解定義是關(guān)鍵．也考查了平行線的性質(zhì)．【考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.【例3】用一根長(zhǎng)為10cm的繩子圍成一個(gè)三角形，若所圍成的三角形中一邊的長(zhǎng)為2cm，且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，根據(jù)周長(zhǎng)是10厘米，可知最長(zhǎng)的邊要小于5厘米，進(jìn)而得出三條邊的情況．【答案】解：∵三角形中一邊的長(zhǎng)為2cm，且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，∴三條邊分別是2cm、4cm、4cm．故選：A．【方法總結(jié)】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)三角形三條邊之間的關(guān)系解決問(wèn)題的能力．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．【變式3-1】a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，結(jié)果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)：三角形兩邊之和大于第三邊，去掉絕對(duì)值號(hào)，然后根據(jù)整式的加減法的運(yùn)算方法，求出結(jié)果是多少即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故選：A．【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的三邊的關(guān)系，以及整式加減法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形兩邊之和大于第三邊．【變式3-2】已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是a、b，且a＞b，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b） C．a(chǎn)+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再確定這個(gè)三角形的周長(zhǎng)l的取值范圍即可．【答案】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)x．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a﹣b＜x＜a+b．∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故選：B．【方法總結(jié)】考查三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式3-3】如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框（形狀不限），不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長(zhǎng)來(lái)判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可．【答案】解：已知4條木棍的四邊長(zhǎng)為3、4、5、7；①選3+4、5、7作為三角形，則三邊長(zhǎng)為7、5、7，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為7；②選5+4、7、3作為三角形，則三邊長(zhǎng)為9、7、3，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為9；③選5+7、3、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為12、4、3；4+3＜12，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；④選7+3、5、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為10、5、4；而5+4＜10，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為9．故選：D．【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念】【方法點(diǎn)撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對(duì)角線與所分成三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：從n(n≥3)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出(n-3)條對(duì)角線.將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形.【例4】下列選項(xiàng)中的圖形，不是凸多邊形的是（）A．B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)凸多邊形的概念，如果多邊形的邊都在任何一條邊所在的直線的同旁，該多邊形即是凸多邊形．否則即是凹多邊形．【答案】解：圖形不是凸多邊形的是A．故選：A．【方法總結(jié)】本題主要考查了凸多邊形的定義，正確理解凸多邊形的定義是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-1】要使一個(gè)五邊形具有穩(wěn)定性，則需至少添加（）條對(duì)角線．A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作出所有對(duì)角線即可得解．【答案】解：如圖需至少添加2條對(duì)角線．故選：B．【方法總結(jié)】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性的應(yīng)用，作出圖形更形象直觀．【變式4-2】從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【思路點(diǎn)撥】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)四邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形．【答案】解：從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成7﹣2＝5個(gè)三角形．故選：B．【方法總結(jié)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．【變式4-3】一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形則這個(gè)多邊形原來(lái)的邊數(shù)是（）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10【思路點(diǎn)撥】根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，不變，減少1討論得解．【答案】解：∵截去一個(gè)角后邊數(shù)可以增加1，不變，減少1，∴原多邊形的邊數(shù)是7或8或9．故選：C．【方法總結(jié)】本題考查了多邊形，關(guān)鍵是理解多邊形截去一個(gè)角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．【考點(diǎn)5多邊形內(nèi)角和與外角和的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】（1）掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式：(n-2)×180°(n≥3的整數(shù)），多邊形的外角和等于360°特別注意：與邊數(shù)無(wú)關(guān).【例5】一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，并且它的一個(gè)外角與一個(gè)內(nèi)角的比為1：3，則這個(gè)多邊形為（）A．三角形 B．四邊形 C．六邊形 D．八邊形【思路點(diǎn)撥】此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系來(lái)尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求出每個(gè)外角．多邊形外角和是固定的360°．【答案】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴這個(gè)多邊形為八邊形，故選：D．【方法總結(jié)】此題考查多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系、方程的思想．關(guān)鍵是記住多邊形一個(gè)內(nèi)角與外角互補(bǔ)和外角和的特征．【變式5-1】如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了（）米．A．100 B．120 C．140 D．60【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形的外角和為360°，由題意得到小明運(yùn)動(dòng)的軌跡為正10邊形的周長(zhǎng)，求出即可．【答案】解：由題意得：360°÷36°＝10，則他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了12×10＝120（米）．故選：B．【方法總結(jié)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和定理是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于（）A．180° B．90° C．210° D．270°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)B、點(diǎn)C為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和等于180°，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解．【答案】解：延長(zhǎng)AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，根據(jù)多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故選：A．【方法總結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，是基礎(chǔ)題，理清求解思路是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，在六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分別平分∠BCD、∠CDE，則∠P的度數(shù)是（）A．α﹣180° B．180°﹣α C．α D．360°﹣α【思路點(diǎn)撥】由多邊形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分線定義得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由和②即可求出結(jié)果．【答案】解：在六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分別平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，∴2（∠P+∠PCD+∠PDE）＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A+∠B+∠E+∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝α﹣180°；故選：A．【方法總結(jié)】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理、角平分線定義以及三角形內(nèi)角和定理；熟記多邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)6三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.【例6】如圖，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求證：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）想辦法證明∠ADB＝∠DBC即可．（2）利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【答案】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∵∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC．（2）解：∵AD∥BC，且∠BAD＝α，∴∠ABC＝180°﹣α，∴∠DBC＝∠ABC＝90°﹣α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°∴∠C＝90°﹣（90°﹣α）＝α．【方法總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式6-1】如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度數(shù)；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，試用含α、β的式子表示∠EAD，則∠EAD＝．（直接寫出結(jié)論即可）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠D＝90°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC＝50°，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【答案】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝β，∴∠ACD＝180°﹣β，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，∵∠B＝α，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．故答案為：β﹣α．【方法總結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．作∠BDE＝∠ABD交AB于點(diǎn)E．（1）求證：ED∥BC；（2）點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）連接BM，∠ABM的平分線交射線ED于點(diǎn)N．若∠MBC＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，得出內(nèi)錯(cuò)角相等，從而兩直線平行；（2）分兩種情況分別進(jìn)行解答，根據(jù)每一種情況畫出相應(yīng)的圖形，依據(jù)圖形中，角之間的相互關(guān)系，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，利用三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵∠BDE＝∠ABD，∴∠BDE＝∠DBC，∴ED∥BC；（2）∵BN平分∠ABM，∴∠ABN＝∠NBM，①當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上時(shí)，如圖1所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝∠MBC＝∠NBC，設(shè)∠MBC＝x°，則∠EBN＝∠NBM＝x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△ENB中，由內(nèi)角和定理得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，∴∠ENB＝2x＝50°，②當(dāng)點(diǎn)M在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝3∠MBC，設(shè)∠MBC＝x°，則∠EBN＝∠NBM＝3x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△EMB中，由內(nèi)角和定理得：3x+2x+105°＝180°，解得：x＝15，∴∠ENB＝2x＝30°，答：∠ENB的度數(shù)為50°或30°．【方法總結(jié)】綜合考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，分類討論，分別畫出相應(yīng)的圖形，利用等量代換和圖形中角之間的關(guān)系布列方程是解決問(wèn)題常用的方法．【變式6-3】已知將一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線直線MN∥DE，若∠ACD＝20°，試求∠CAM的大?。舅悸伏c(diǎn)撥】（1）在△DBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入計(jì)算即可；（2）在Rt△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整體代入即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°；故答案為90；（2）在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵M(jìn)N∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出∠ABD+∠BAC＝70°．【考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【例7】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠CBD，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【變式7-17】如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE；根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠CDF．【答案】解：∵∠A＝30°，