高等數學 課件 1.5函數連續(xù)

第一章函數、極限與連續(xù)1.5函數連續(xù)目錄二、間斷點及其分類一、函數連續(xù)性的概念三、連續(xù)函數的性質一、函數連續(xù)性的概念1.增量在點x0的某鄰域內有定義.如圖,當自變量由x0變到x時,其差x-x0稱為自變量在x0處的增量(或改變量),記作Δx,即函數值由y=f(x)變到,其差設函數y=f(x)一、函數連續(xù)性的概念且當自變量x在x0處的增量Δx趨近于0時,的增量也趨近于0,即則稱函數y=f(x)在點x0處連續(xù),定義1:如果函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,函數y=f(x)的連續(xù)點.點x0稱為函數y=f(x)一、函數連續(xù)性的概念且當x→x0時函數極限存在且等于它在點x0處的函數值,定義1’:如果函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,即則稱函數y=f(x)在點x0處連續(xù),否則稱y=f(x)在點x0處間斷,點x0稱為函數的間斷點.在定義1中,設,則于是有如下等價定義:一、函數連續(xù)性的概念可見,函數在點(1)在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;一、函數連續(xù)性的概念例1:證明函數在點x=1處連續(xù).證1:函數的定義域為當x=1處有增量Δx時,函數增量為因此故在點x=1處連續(xù).一、函數連續(xù)性的概念例1:討論函數解:因此在點x=0處的連續(xù)性.f(x)的定義域是R,且f(0)=1,故f(x)在點x=0處連續(xù).作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂討論函數在處的連續(xù)性.主觀題10分一、函數連續(xù)性的概念3.左連續(xù)、右連續(xù)的概念則稱函數y=f(x)在點x0處左連續(xù).定義2:如果函數y=f(x)在有定義,且右連續(xù)如果函數f(x)在開區(qū)間

(a,b)內每一點都連續(xù),連續(xù)函數的圖形就是一條不間斷的曲線.則稱函數f(x)在

(a,b)內連續(xù).如果f(x)在

(a,b)內連續(xù),且在點x=a處右連續(xù),在點在點x=b處左連續(xù),則稱函數f(x)在

[a,b]上連續(xù).一、函數連續(xù)性的概念例3:證明正弦函數y=sinx在

(-∞,+∞)內連續(xù).證:取x點處的增量Δx,但且因此所以任取x∈(-∞,+∞),則即y=sinx在

(-∞,+∞)內連續(xù).同理可證:余弦函數y=cosx在

(-∞,+∞)內連續(xù).二、間斷點及其分類(1)y=f(x0)不存在,即f(x)在點x=x0處沒有定義;

(2)極限不存在;存在,但設在點處間斷有以下三種情形,(3)雖然f(x)在點x=x0處有定義,且極限例4:觀察下列函數在給定點的間斷性在x=1處;(1)函數為間斷點.在x=1處;(2)函數為間斷點.二、間斷點及其分類在x=1處;(3)函數為間斷點.在x=0處;(4)函數為間斷點.二、間斷點及其分類函數在或處是什么間斷點？跳躍間斷點可去間斷點無窮間斷點振蕩間斷點ABCD提交單選題1分函數在處是什么間斷點？跳躍間斷點可去間斷點無窮間斷點振蕩間斷點ABCD提交單選題1分函數在處是什么間斷點？跳躍間斷點可去間斷點無窮間斷點振蕩間斷點ABCD提交單選題1分函數在處是什么間斷點？跳躍間斷點可去間斷點無窮間斷點振蕩間斷點ABCD提交單選題1分設試問為何值時函數在處連續(xù)？作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分三、連續(xù)函數的性質1.連續(xù)函數的運算定理1:若函數f(x)和g(x)在x0點處連續(xù),商(分母不為0)

都在點x0處連續(xù).則它們的和,差,積,即在其定義域內連續(xù).例如:sinx,cosx在

(-∞,+∞)內連續(xù),則在分母不為零的每個點上都連續(xù),tanx,cotx,secx,cscx三、連續(xù)函數的性質定理2:區(qū)間上單調增加例如:在上單調增加且連續(xù),其反函數在[-1,1]上也增加且連續(xù),(或單調減少)的連續(xù)函數必定2.反函數、復合函數的連續(xù)性同理(單調減少)y=arctanx,y=arccotx在

(-∞,+∞)都是連續(xù)的.y=cosx在

[0,π]上單調減少且連續(xù),則y=arccosx在

[-1,1]上也單調減少且連續(xù).存在反函數,且其反函數在相應區(qū)間上也是單調增加三、連續(xù)函數的性質且且復合函數定理3:如果函數函數y

=

f(u)在點u0處連續(xù),在點x0處的某鄰域內有定義,則在點x0處連續(xù).三、連續(xù)函數的性質3.初等函數的連續(xù)性基本初等函數在其各自定義域內都連續(xù).一切初等函數在其定義的區(qū)間內每一點都連續(xù).三、連續(xù)函數的性質定理4:(最大值與最小值定理)則f(x)在[a,b]上必若函數f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù),有最大值和最小值.推論:則f(x)在[a,b]若函數f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù),上必有界.三、連續(xù)函數的性質定理6:

(介值定理)f(a)≠f(b),且若函數f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù),C介于f(a)與f(b)之間,則至少存在一點ξ∈(a,b)使f(ξ)=C.定理5:(零點定理)f(a)?f(b)<0,若函數f(x)在閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù),且則至少存在一點ξ∈(a,b)使f(ξ)=0.三、連續(xù)函數的性質例5:證明方程在區(qū)間(0,1)內有根.證:又根據零點定理,在(0,1)內至少有一點ξ使得即在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),證明方程在內至少有一個根.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分證明方程