高等數(shù)學 課件 王震 第二章 導數(shù)和微分

第二章導數(shù)和微分2.1導數(shù)的概念目錄二、單側(cè)導數(shù)三、導數(shù)的幾何意義一、導數(shù)的定義四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系一、導數(shù)的定義1.直線運動的速度假設有一質(zhì)點作直線運動,設其位移s關(guān)于時間t的函數(shù)為

并記為v,則稱為質(zhì)點在時刻t0的速度(或稱變化率).

一、導數(shù)的定義2.切線問題割線的極限位置——切線位置一、導數(shù)的定義2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置一、導數(shù)的定義定義1:如圖，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即2.切線問題假設一、導數(shù)的定義定義2:設函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)f(x)若極限的某個鄰域內(nèi)有定義,在點可導,在點的導數(shù).一、導數(shù)的定義一、導數(shù)的定義練習

設存在，求A代表什么.其中存在(1)(2)(3)一、導數(shù)的定義★★關(guān)于導數(shù)的說明：一、導數(shù)的定義若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在I內(nèi)可導.的導數(shù)為無窮大.一、導數(shù)的定義例1求函數(shù)(為正整數(shù))在

處的導數(shù).解.又由于因此，函數(shù)

在

處的導數(shù)為：一、導數(shù)的定義解一、導數(shù)的定義例3求函數(shù)

的導數(shù)以及.解類似可求得：即所以一、導數(shù)的定義一、導數(shù)的定義例5求函數(shù)

的導數(shù).解一、導數(shù)的定義二、單側(cè)導數(shù)二、單側(cè)倒數(shù)例7試求函數(shù)

的

和

，并討論其在

處的可導性.解顯然函數(shù)在

處是連續(xù)的，左導數(shù)右導數(shù)雖然函數(shù)在

處的左、右導數(shù)都存在，但不相等，所以函數(shù)

在

處不可導.作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習主觀題10分三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義例8求曲線

在點

處的切線方程與法線方程.解由導數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分四、可導與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)卻不一定可導。證四、可導與連續(xù)的關(guān)系例7解四、可導與連續(xù)的關(guān)系練習解：四、可導與連續(xù)的關(guān)系四、可導與連續(xù)的關(guān)系1.導數(shù)的實質(zhì):增量比的極限;3.導數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5.求導數(shù)最基本的方法:由定義求導數(shù).6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.連續(xù)直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.小結(jié)：

第二章導數(shù)和微分2.2函數(shù)的求導法則目錄二、復合函數(shù)的求導法則三、反函數(shù)的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1的和、差、積、商(除分母為零的點外)在并且下面僅對(1)(2)加以證明如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)在點x處可導,則它們點x也可導,一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則因為u(x),v(x)在點x處可導,所以證:一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則(2)因為u(x),v(x)在點x處可導,所以v(x)連續(xù),于是一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則推論:(C為常數(shù))一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則例1:求函數(shù)解:利用第一節(jié)例題1可知根據(jù)定理可知的導數(shù).一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則例2已知函數(shù)

求.解一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則例3已知函數(shù),求解:一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則例4已知函數(shù),求解:

即同樣可得一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則例5:已知函數(shù),求解:

即同理可得求函數(shù)的導數(shù)作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分二、復合函數(shù)的求導法則在點x

可導,定理2:在相應的點則復合函數(shù)且其導數(shù)為

在點x

可導,或者即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)設

推廣：二、復合函數(shù)的求導法則例6設

，求.解函數(shù)

可以看作由

復合而成，由于所以二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則例7解二、復合函數(shù)的求導法則例8:已知函數(shù),求解:函數(shù)f(x)的定義域是故函數(shù)f(x)可以寫成從而作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習設,求主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習設,求主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分三、反函數(shù)求導定理1:如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導,也可導，則即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).并且具有反函數(shù)x=f

-1(y)三、反函數(shù)求導例9所以三、反函數(shù)求導例10:求函數(shù)解:由反函數(shù)的求導法則得又所以特別地,當時,有的導數(shù).作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習設,求主觀題10分1.常數(shù)和基本初等函數(shù)導數(shù)公式(C為常數(shù))4.反函數(shù)的求導法則2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則3.復合函數(shù)求導法則第二章

導數(shù)和微分2.3隱函數(shù)求導與參數(shù)方程的求導法則及對數(shù)求導法一、隱函數(shù)求導二、對數(shù)求導法三、參數(shù)方程求導若兩個變量y與x之間的對應關(guān)系表示成y=f

(x),這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)

.如果變量y與x的函數(shù)關(guān)系由方程F

(x,

y

)

=0給出,則稱y是

x的隱函數(shù).把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化.例如,

x

y3

1

0

可確定顯函數(shù)y

3

1

xy5

2

y

x

3x7

0

可確定

y是

x的函數(shù)

,但此隱函數(shù)不能顯化

.

d

F

(x,

y)

0d

x(含導數(shù)y

的方程)隱函數(shù)求導方法:直接從方程出發(fā),在方程兩邊同時對自變量求導.F

(x,

y)

0兩邊對

x求導d

(

y3

)

3

y2

dy

dx dxdxd [x

arccos

y]

1

1

dy1

y2dxdx1

dy1

y2.11dxdy

3

y21

y2所以

3

y2

dy

1

dx從而dx解: 方程兩邊對

x

求導,其中

左邊對

x

求導得右邊對

x

求導得例1:求由方程y3

x

arccos

y所確定的隱函數(shù)的導數(shù)

dy

.dyeydyey

dx 2

y例2:求由方程

y

1

xe

y

所確定的隱函數(shù)的于是

dx 1

xe

y,即導數(shù)

dy

.dxdy

dy解:方程的兩邊分別求導得

ey

xeydx

dx主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答1

y

ln

x

x

1y xy

y

(ln

x

1)

xx

(ln

x

1)所以冪指函數(shù)

f

(x)

u(x)v(x) (u(x)

0)

的求導問題可以通過取對數(shù)來解決,這個方法稱為對數(shù)求導法.例3:設

y

xx (

x

0),

求y

.解:等式兩邊取對數(shù)得

ln

y

x

ln

x上式兩邊對x求導得y

xx

ex

ln

x本題還可用如下取對數(shù)的方法求導

y

'

(ex

ln

x

)

'

exlnx(1

ln x

)

xx(1

ln x

)(x

1)2y).2 1 1 1(x

1)2

1y

'

(x

1)

3

(

x

2 x

13x

13x

2例4:已知函數(shù)

y

(x

1)

3

，求

y

'所以x

2解:等式兩邊取絕對值后再取對數(shù)ln

|

y

|

ln

|

x

1

|

2

ln

|

x

1

|

1

ln

|

x

2

|3 3上式兩邊對x求導得1

1

1

2

3 x

1 3 x

2y

'

1x

1主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答

y

(t)參數(shù)方程

x

(t)

(a

t

b)

如果x

(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t

1

(x)

,那么由上述參數(shù)方程確定的復合函數(shù)為y

[

1

(x)]如果函數(shù)

,

可導,且

(t)

0

,則d

tdxdy

dy

d

tdx d

t dx d

t

(t)

(t)

dy

1

x

3ty

t

2

dxt

3

y

2x

3

0例5:求某平面曲線

故切線方程為y

1

2

(x

3)3即在t=1處點P的切線方程.解:

當t=1時,x=3,y

=1,

故P點坐標為(3,1),曲線在切點P處的切線斜率為3

23t

1t tt

1

(t

2

)

(3t

)

d

x

2t1 d

t d

tt

1dy

d

y

x

ln(1

t

2

)

dydy

dydx dt dt例6:已知某曲線方程

y

t

arctan

t

,求

dx

.解:2

t)1 2tdx

(1

1

t

2 1

t2主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答主觀題10分正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂作答

第二章導數(shù)和微分2.4高階導數(shù)高階導數(shù)一、高階導數(shù)的概念

定義若函數(shù)f(x)的導數(shù)

在點x0可導,則稱

在點x0的導數(shù)為f(x)在x0的二階導數(shù),記作同時稱f(x)在點x0二階可導.即若f(x)在區(qū)間I上每一點都二階可導,則得到一個定義在I上的二階導數(shù),也簡稱二階導數(shù),記作高階導數(shù)類似地,二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),階導數(shù)的導數(shù)稱為n

階導數(shù).依次類推,二階以及二階以上的導數(shù)都稱為高階導數(shù).函數(shù)f(x)的n階導數(shù)在x0處的值記作相應地函數(shù)f(x)在任意點x處的n階導數(shù)記作高階導數(shù)例1:已知,求解:高階導數(shù)例2:已知函數(shù)

,求解:高階導數(shù)例3已知函數(shù)

,證明:由得

試驗證高階導數(shù)例4:已知函數(shù)，求解:一般地,例5:已知正弦函數(shù)，求解:

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習

已知函數(shù)求主觀題10分已知求作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分高階導數(shù)例6:求由方程所確定的隱函數(shù)的解:方程的兩邊分別求導得于是,即上式兩邊再對x求導得二階導數(shù)高階導數(shù)作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

主觀題10分高階導數(shù)如果具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù),那么由上述參數(shù)方程確定的復合函數(shù)為如果函數(shù)可導,且,則參數(shù)方程高階導數(shù)利用參數(shù)方程得高階導數(shù)例7:已知某曲線方程,求解:作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂練習:已知某曲線方程求主觀題10分高階導數(shù)都具有n

階導數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設函數(shù)高階導數(shù)例8已知函數(shù)

，求.解假設

,那么一般地，可得代入萊布尼茲公式中得

第二章導數(shù)和微分2.5微分目錄二、微分的幾何意義三、微分的運算法則一、微分的概念一、微分的概念假設一邊長為x的正方形,它的面積為若邊長x0增加Δx,相應地正方形面積的增量一、微分的概念引例:S=x2它由兩部分組成,第一部分2x0Δx是第二部分(Δx)2是較Δx高階的Δx的線性函數(shù),如圖故ΔS可以用2x0Δx近似代替.無窮小量(Δx)2=o(Δx),如圖一、微分的概念定義1:設函數(shù)y=f(x)

在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δx其中A是不依賴于Δx的常數(shù),而o(Δx)是比Δx高階的無窮小記作,即在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量那么稱y=f(x)在點x0是可微的.一、微分的概念可導與可微的關(guān)系:定理:函數(shù)在點可微的充要條件是證:必要性因為在點可微,則從而一、微分的概念即在點的可導,且充分性因為在點的可導,所以其中即y=f(x)在點x0可微.一、微分的概念例1:求函數(shù)在解:因為而處的微分.一、微分的概念故所以一、微分的概念從而該函數(shù)的導數(shù),所以導數(shù)又叫做微商.通常把自變量x的增量Δx稱為自變量x的微分,記作dx,即dx=Δx,則即函數(shù)的微分dy與自變量x的微分dx之商等于二、微分的幾何意義當很小時,如圖,當自變量由