二面角的幾何求法

關(guān)于二面角的幾何求法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、知道二面角和二面角的平面角定義以及二面角平面角的范圍。2、熟悉二面角的常見作法：定義法、垂面法、三垂線法3、掌握求二面角的一般步驟第2頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.二面角的定義:復(fù)習(xí):2、二面角的表示方法AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定義第3頁,共21頁，2024年2月25日，星期天二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必須滿足：

3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)二面角的平面角的范圍:[00，1800]

二面角的大小用它的平面角的大小來度量以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。A1B1

P1注意:(與頂點位置無關(guān))∠APB=∠A1P1B1第4頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VABC第5頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第6頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCA第7頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

例1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，求二面角A-VC-B的大小。VBCAO解：過B點作BO⊥VC于O,連接AO.因為在正三棱錐中VA=VB,VO=VO,∠BVO=∠AVO.所以所以AO⊥VC。所以∠BOA即為所求二面角的平面角。在△AOB中，設(shè)AB=1，則AO=BO=作角證角求角定義法第8頁,共21頁，2024年2月25日，星期天探究準(zhǔn)備想一想：

1、還能用什么方法作出二面角的平面角？

（1）、定義法：在棱上取一點，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與2個半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；

（3）、三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點（記為A）做另一個半平面的一條垂線，過這個垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。ABCαβαβαβγ第9頁,共21頁，2024年2月25日，星期天例2、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第10頁,共21頁，2024年2月25日，星期天分析：1、根據(jù)已知條件提供的數(shù)量關(guān)系通過計算證明有關(guān)線線垂直；2、利用已得的垂直關(guān)系找出二面角的平面角。解：如圖：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E為SC的中點，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE為平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角?！逜B⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600解畢。SECAD議一議：剛才的證明過程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？

垂面法第11頁,共21頁，2024年2月25日，星期天

PABCD過B作BD⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)ED，解：過B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=例3:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的正切值。三垂線法第12頁,共21頁，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)：1、二面角以及二面角的平面角的定義、范圍。2、二面角平面角的作法：定義法、垂面法、三垂線法3、求二面角的步驟：作角-----證角--------求角第13頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共21頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共21頁，2024年2月25日，星期天預(yù)習(xí)探究如圖：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點。（1）求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1與平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第17頁,共21頁，2024年2月25日，星期天謝謝指導(dǎo)！第18頁,共21頁，2024年2月25日，星期天預(yù)習(xí)探究如圖：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點。（1）求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1與平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF第19頁,共21頁，2024年2月25日，星期天A1D1C1CB1BDAPF如圖：延長D1F交DA的延長線于點P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線。

∵

F是AA1的中點，∴可得A也是PD的中點，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因為是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,