2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編(安徽卷)04挑戰(zhàn)壓軸題(解答題二)(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）04挑戰(zhàn)壓軸題（解答題二）1．(2023·全國）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點A、B，與拋物線交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．2．（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線經(jīng)過點．拋物線恰好經(jīng)過三點中的兩點．判斷點是否在直線上．并說明理由；求的值；平移拋物線，使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標(biāo)的最大值．3．（安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標(biāo)為（1,2），另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點（1）求k，a，c的值；（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點，點O為坐標(biāo)原點，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值.4．（安徽省2018年中考數(shù)學(xué)試題）小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2;（2）當(dāng)x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少?5．(2023·江蘇·漣水縣義興中學(xué)）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x/(元/千克)506070銷售量y/千克1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤＝收入－成本)；(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？1．(2023·陜西師大附中九年級期末）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．(1)求點B、D的坐標(biāo)；(2)若點P是x軸上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，是否存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在請求出，點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校九年級開學(xué)考試）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，．(1)如圖1，求m的值；(2)如圖2，點P是第四象限拋物線上一點，連接PA交y軸于點D，E為PD中點，連接BE，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CE，F(xiàn)為CE上一點，連接PF，M為拋物線的頂點，連接PM，將射線PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點G，交拋物線于點N，若，，求點N的坐標(biāo)．3．(2023·四川涼山·九年級期末）某商場出售甲乙兩種商品，出售甲種商品15件，乙種商品20件共獲利390元，出售甲、乙兩種商品各10件共獲利220元．(1)求甲、乙兩種商品每件的利潤；(2)商場調(diào)研甲種商品發(fā)現(xiàn)：若按現(xiàn)在售價出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售價每上漲2元，則每周少賣10件，商場要求每周甲商品的銷量不低于80件．設(shè)甲種商品每件價格上漲x（元），銷售數(shù)量為y（件）①寫出y（件）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；②每件甲商品的利潤為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大的利潤是多少元？4．(2023·河南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．(1)若該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，當(dāng)y2＞y1時，求x1的取值范圍；(3)該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點時，將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），當(dāng)m≤x≤n時，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．5．(2023·黑龍江·牡丹江四中九年級階段練習(xí)）一天早晨，佳佳從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校，媽媽發(fā)現(xiàn)佳佳忘帶數(shù)學(xué)書了，于是立即下樓騎車沿佳佳行進路線勻速追趕，媽媽追上佳佳后，立即按原路線返回家中，由于路人漸多，媽媽返回時的速度只是去時的，佳佳則以原速度的1．5倍趕往學(xué)校媽媽與佳佳之間的路程y（米）與佳佳從家出發(fā)后步行的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示（佳佳與媽媽交接學(xué)習(xí)用品耽擱的時間忽略不計），結(jié)合圖象信息解答下列問題：(1)佳佳步行速度是______，媽媽追佳佳時的速度是______；(2)求圖象中線段DE所表示的y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)直接寫出佳佳出發(fā)多長時間，佳佳與媽媽相距300米的時間．1．(2023·貴州遵義·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，試探究點P的坐標(biāo)是多少時，△CDP的面積最大，并求出最大面積；(3)如圖2，點M是二次函數(shù)圖象上一動點，過點M作ME⊥CD于點E，MF//x軸交直線CD于點F，是否存在點M，使得△MEF≌△COD，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．(2023·河南省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，拋物線經(jīng)過，，三點中的兩點．(1)求拋物線的表達式；(2)點為（1）中所求拋物線上一點，且，求的取值范圍；(3)一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標(biāo)分別是和，且，請直接寫出的取值范圍．3．(2023·四川成都·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A(3，n)，與y軸交于點B(0，﹣2)，點P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一動點，過點P作直線PQy軸交直線y＝x+b于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，且0＜t＜3，連接AP，BP．(1)求k，b的值．(2)當(dāng)ABP的面積為3時，求點P的坐標(biāo)．(3)設(shè)PQ的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標(biāo)．4．(2023·江蘇揚州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標(biāo)為頂點P的坐標(biāo)為，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作的切線，切點為C．(1)求拋物線的解析式；(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標(biāo)．5．(2023·福建省福州屏東中學(xué)九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與x軸交于點A，B（點B在點A的右側(cè)）．拋物線頂點為C點，△ABC為等腰直角三角形．(1)求此拋物線解析式．(2)若直線與拋物線有兩個交點，且這兩個交點與拋物線的頂點所圍成的三角形面積等于，求k的值．(3)若點，且點E，D關(guān)于點C對稱，過點D作直線交拋物線于點M，N，過點E作直線軸，過點N作于點F，求證：點M，C，F(xiàn)三點共線．2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）04挑戰(zhàn)壓軸題（解答題二）1．(2023·全國）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點A、B，與拋物線交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱軸，代值計算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對稱軸為直線，且當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大．當(dāng)時，y1隨x1的增大而減小，時，，時，同理：時，y2隨x2的增大而增大時，．

時，

（3）令

令A(yù)B與CD的比值為【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點的特點解題是重點2．（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線經(jīng)過點．拋物線恰好經(jīng)過三點中的兩點．判斷點是否在直線上．并說明理由；求的值；平移拋物線，使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標(biāo)的最大值．【答案】（1）點在直線上，理由見詳解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將將B代入看式子能否成立即可；（2）先跟拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標(biāo)相同，判斷出拋物線只能經(jīng)過A，C兩點，然后將A，C兩點坐標(biāo)代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程組；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為y=-（x-h）2+k，根據(jù)頂點在直線上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，在將式子配方即可求出最大值．【詳解】（1）點在直線上，理由如下：將A（1，2）代入得，解得m=1，∴直線解析式為，將B（2，3）代入，式子成立，∴點在直線上；（2）∵拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標(biāo)相同，∴拋物線只能經(jīng)過A，C兩點，將A，C兩點坐標(biāo)代入得，解得：a=-1，b=2；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為y=-（x-h）2+k，∵頂點在直線上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴當(dāng)h=時，此拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)取得最大值．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移和求最值，求出兩個函數(shù)的表達式是解題關(guān)鍵．3．（安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像的一個交點坐標(biāo)為（1,2），另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點（1）求k，a，c的值；（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點，點O為坐標(biāo)原點，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）,W取得最小值7.【分析】（1）把（1,2）分別代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為（0,4），可得c=4，然后計算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐標(biāo)，進而表示出BC長度，將OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W關(guān)于m的函數(shù)解析式，求出最小值即可.【詳解】解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函數(shù)解析式為：y=-2x+4又二次函數(shù)頂點橫坐標(biāo)為0，∴頂點坐標(biāo)為（0,4）∴c=4把（1,2）帶入二次函數(shù)表達式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0∴，設(shè)B，C兩點的坐標(biāo)分別為（x1，m）（x2，m），則，∴W=OA2+BC2=∴當(dāng)m=1時，W取得最小值7【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，將二次函數(shù)圖像與直線的交點問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程的解，得到B，C坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.4．（安徽省2018年中考數(shù)學(xué)試題）小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）（1）用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2;（2）當(dāng)x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少?【答案】（1）W1=-2x2+60x+8000，W2=-19x+950；（2）當(dāng)x=10時，W總最大為9160元.【解析】【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根據(jù)盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元，②花卉的平均每盆利潤始終不變，即可得到利潤W1，W2與x的關(guān)系式；（2）由W總=W1+W2可得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由題意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W總=W1+W2=-2x2+60x+8000+（-19x+950）=-2x2+41x+8950，∵-2＜0，=10.25，故當(dāng)x=10時，W總最大，W總最大=-2×102+41×10+8950=9160.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.5．(2023·江蘇·漣水縣義興中學(xué)）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元．經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x/(元/千克)506070銷售量y/千克1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤＝收入－成本)；(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)y＝－2x＋200(2)W＝－2x2＋280x－8000(3)售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式；（2）利用利潤的定義，求與之間的函數(shù)表達式；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求極值.【詳解】解：(1)設(shè)，由題意，得，解得，∴所求函數(shù)表達式為.(2).(3)，其中，∵，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元.考點：二次函數(shù)的實際應(yīng)用.1．(2023·陜西師大附中九年級期末）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．(1)求點B、D的坐標(biāo)；(2)若點P是x軸上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，是否存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在請求出，點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點B（3，0），點D（1，-4）；(2)存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，點P的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．【解析】【分析】（1）令y=0，解一元二次方程，將二次函數(shù)配方為頂點式即可；（2）存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，過D作DE⊥y軸于E，先確定△COB為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BC=，∠OCB=∠OBC=45°，再確定△DCE為等腰直角三角形，CD=，∠ECD=∠EDC=45°，可證△BCD為直角三角形分以下四種情況點P在點A左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似得出△PQA∽△CBD，當(dāng)點P在點A右側(cè)，對稱軸與x軸交點左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似得出△PQA∽△CBD，當(dāng)點P在對稱軸與x軸交點右側(cè)，點B左側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PAQ∽△CBD，當(dāng)點P在點B右側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PAQ∽△CBD，AP為短直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，得出△PQA∽△CBD，根據(jù)相似得出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可．(1)解：令y=0，，因式分解得：，轉(zhuǎn)化為，解得，∵點A在點B左側(cè)∴點B（3，0）∴點D（1，-4）；(2)解：存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似過D作DE⊥y軸于E，∵OB=OC=3，∠COB=90°∴BC=，∠OCB=∠OBC=45°，∵點D（1，-4），DE⊥y軸∴點E（0，-4），∠CED=90°∴CE=-3-（-4）=1，DE=1-0=1，∴DE=CE，∴CD=，∠ECD=∠EDC=45°，∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCE=180°-45°-45°=90°，∵∠QPA=90°，PQ=，分以下四種情況設(shè)點P（x，0）則點Q的坐標(biāo)為（x，）∴PQ=，，∴，，∴當(dāng)，即或時，，∴當(dāng)或時，，當(dāng)時，點P在點A左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1,或x=0（舍去），點P（-1，0）點A，P，Q三點重合，不成三角形舍去，當(dāng)點P在點A右側(cè)，對稱軸與x軸交點左側(cè)，PQ為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=0,點P（0，0），當(dāng)點P在對稱軸與x軸交點右側(cè)，點B左側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，∴△PAQ∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=,點P（，0），當(dāng)點P在點B右側(cè)，AP為長直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，∴△PAQ∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=,點P（，0），AP為短直角邊，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=6，點P（6，0），綜合得出存在這樣的P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與相似，點P的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．【點睛】本題考查拋物線與兩軸交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)，配方為頂點式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握拋物線與兩軸交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)，配方為頂點式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性質(zhì)，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用使問題得以完整全面解決．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校九年級開學(xué)考試）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C，．(1)如圖1，求m的值；(2)如圖2，點P是第四象限拋物線上一點，連接PA交y軸于點D，E為PD中點，連接BE，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CE，F(xiàn)為CE上一點，連接PF，M為拋物線的頂點，連接PM，將射線PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點G，交拋物線于點N，若，，求點N的坐標(biāo)．【答案】(1)m=2(2)(3)【解析】【分析】（1）先求拋物線與y軸交點C，在根據(jù)，確定點B的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出m的值（2）根據(jù)拋物線確定點P為（t，），再用待定系數(shù)法求出直線PA為，從而確定點D的坐標(biāo)，最后根據(jù)中點確定點E的坐標(biāo)表示出的面積為（3）根據(jù)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法分別確定直線EC和直線PM，從而得出EC∥PM，∠DCE=∠PHC，然后根據(jù)得，四邊形PFCH是等腰梯形，PF=CH=t，又因為所以，G（0，），從而得出直線PN為，最后根據(jù)得出（舍去），確定點N的坐標(biāo)為(1)解：∵拋物線與y軸交于點C∴點C（0，3）∴OC=3∵∴OB=3∴點B（3，0）∵拋物線與x軸交于點B∴0=-9+3m+3即m=2(2)∵m=2∴拋物線為∴點A（-1，0）∴AB=4∵點P的橫坐標(biāo)為t，且點P在拋物線上∴點P為（t，）設(shè)直線PA為∴解得∴直線PA為∴點D為（0，3-t）∵E為PD中點∴∵點P在第四象限∴點E也在第四象限∴∴的面積為(3)如圖，∵點M是拋物線的頂點∴M（1,4）設(shè)直線PM為∴解得∴直線PM為設(shè)直線CE為∴解得∴直線CE為∴CE∥PM∴∠DCE=∠PHC∵∴∴四邊形PFCH是等腰梯形∴PF=CH∵C（0,3）,H（0,3+t）∴PF=CH=t∵∴∴G（0，）設(shè)直線PN為∴解得∴直線PN為∵拋物線與直線PN交于點N解得（舍去），當(dāng)，所以，點N的坐標(biāo)為【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，坐標(biāo)中點，一元二次方程以及兩直線平行的條件，而解決本題的關(guān)鍵在正確的表示各點的坐標(biāo)和利用待定系數(shù)法求函數(shù).3．(2023·四川涼山·九年級期末）某商場出售甲乙兩種商品，出售甲種商品15件，乙種商品20件共獲利390元，出售甲、乙兩種商品各10件共獲利220元．(1)求甲、乙兩種商品每件的利潤；(2)商場調(diào)研甲種商品發(fā)現(xiàn)：若按現(xiàn)在售價出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售價每上漲2元，則每周少賣10件，商場要求每周甲商品的銷量不低于80件．設(shè)甲種商品每件價格上漲x（元），銷售數(shù)量為y（件）①寫出y（件）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；②每件甲商品的利潤為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大的利潤是多少元？【答案】(1)甲種商品每件的利潤為10元，乙種商品每件的利潤為12元(2)①；②每件甲商品的利潤為14元時，每周可獲得最大利潤，最大的利潤是1120元【解析】【分析】（1）設(shè)甲種商品每件的利潤為元，乙種商品每件的利潤為元，可得，即可解得答案；（2）①根據(jù)題意得，由每周甲商品的銷量不低于80件，可得，即可得答案；②設(shè)甲商品的總利潤為元，可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．(1)解：設(shè)甲種商品每件的利潤為元，乙種商品每件的利潤為元，根據(jù)題意得：，解得，答：甲種商品每件的利潤為10元，乙種商品每件的利潤為12元；(2)①根據(jù)題意得：，每周甲商品的銷量不低于80件，，解得，（件與（元之間的函數(shù)關(guān)系式為；②設(shè)甲商品的總利潤為元，根據(jù)題意得：，，在對稱軸直線左側(cè)，隨的增大而增大，時，最大，最大值為，此時，答：每件甲商品的利潤為14元時，每周可獲得最大利潤，最大的利潤是1120元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系列方程組和函數(shù)關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．4．(2023·河南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．(1)若該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，當(dāng)y2＞y1時，求x1的取值范圍；(3)該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點時，將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），當(dāng)m≤x≤n時，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．【答案】(1)y＝4x2﹣8x+4(2)﹣2＜x1＜4(3)-3【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可；(2)利用拋物線的解析式求得拋物線的對稱軸，利用拋物線的對稱性得到點(4,y2)關(guān)于對稱軸x=1的對稱點為(?2,y2)，從而根據(jù)已知條件確定出點(x1,y1)的大致位置，結(jié)論可得；(3)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，利用分類討論的思想方法得到m，n的關(guān)系式，從而求出m，n的值，即可求得．(1)解：∵該圖象經(jīng)過點A（1，0），B（2，4），∴．解得：．∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝4x2﹣8x+4．(2)解：∵x1，∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1．∴點（4，y2）關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點為（﹣2，y2）．∵a＞0，∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）開口向上．∵點（x1，y1），（4，y2）在該函數(shù)圖象上，且y2＞y1，∴點（x1，y1）在（4，y2）與（﹣2，y2）之間．∴﹣2＜x1＜4．∴x1的取值范圍為：﹣2＜x1＜4．(3)解：∵將該圖象向上平移2個單位恰好經(jīng)過點（4，8），∴原拋物線一定經(jīng)過點（4，6）．∴16a﹣8a+c＝6．∵該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，∴該函數(shù)圖象的頂點在x軸上．∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1，∴該函數(shù)圖象的頂點為（1，﹣a+c）．∴﹣a+c＝0．∴．解得：．∴原拋物4線的解析式為，∴平移后的拋物線的解析式為，頂點為（1，2）．當(dāng)m＜n＜1時，y隨x的增大而減小，∵m＜n，∴2m＜2n．∵當(dāng)m≤x≤n時，2m≤y≤2n，∴，解得：無解．當(dāng)1≤m＜n時，y隨x的增大而增大，∵m＜n，∴2m＜2n．∵當(dāng)m≤x≤n時，2m≤y≤2n，∴，解得：．∴m﹣n＝﹣3．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的平移的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．5．(2023·黑龍江·牡丹江四中九年級階段練習(xí)）一天早晨，佳佳從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校，媽媽發(fā)現(xiàn)佳佳忘帶數(shù)學(xué)書了，于是立即下樓騎車沿佳佳行進路線勻速追趕，媽媽追上佳佳后，立即按原路線返回家中，由于路人漸多，媽媽返回時的速度只是去時的，佳佳則以原速度的1．5倍趕往學(xué)校媽媽與佳佳之間的路程y（米）與佳佳從家出發(fā)后步行的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示（佳佳與媽媽交接學(xué)習(xí)用品耽擱的時間忽略不計），結(jié)合圖象信息解答下列問題：(1)佳佳步行速度是______，媽媽追佳佳時的速度是______；(2)求圖象中線段DE所表示的y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)直接寫出佳佳出發(fā)多長時間，佳佳與媽媽相距300米的時間．【答案】(1)50米/分鐘；150米/分鐘；(2)（）；(3)6分鐘或12分鐘或分鐘．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和圖像，列出一元一次方程，解方程即可求出答案；（2）由題意，先求出點E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出解析式；（3）根據(jù)題意，佳佳與媽媽相距300米可分為3種情況，分別求出每一種情況的時間即可(1)解：根據(jù)圖像，設(shè)佳佳的速度為m米/分鐘，則有，解得：；設(shè)媽媽追佳佳時的速度是n米/分鐘，則，解得：；∴佳佳步行速度是50米/分鐘；媽媽追佳佳的速度為150米/分鐘；故答案為：50米/分鐘；150米/分鐘；(2)解：由圖可知，點E表示媽媽已經(jīng)回到家，則媽媽回家所用的時間為：（分鐘），∴點E的橫坐標(biāo)為：，此時佳佳走過的路程為：（米），∴點E的縱坐標(biāo)為1312.5；設(shè)線段DE的解析式為，則把點D（15，0），點E（22.5，1312.5）代入，得，解得，∴；∴自變量x的取值范圍是；∴（）；(3)解：根據(jù)題意，①當(dāng)佳佳出發(fā)300米，媽媽在家沒有出發(fā)時，有（分鐘）；②當(dāng)媽媽追佳佳時相距300米，有，解得：；③當(dāng)媽媽返回家途中，與佳佳相距300米，有，解得：，∴此時的時間是（分鐘）；綜合上述，佳佳與媽媽相距300米的時間為：6分鐘或12分鐘或分鐘．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠理解函數(shù)圖象各個拐點的實際意義求解．1．(2023·貴州遵義·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，試探究點P的坐標(biāo)是多少時，△CDP的面積最大，并求出最大面積；(3)如圖2，點M是二次函數(shù)圖象上一動點，過點M作ME⊥CD于點E，MF//x軸交直線CD于點F，是否存在點M，使得△MEF≌△COD，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)P（,），最大面積為(3)M（2，8）或M（5，4）【解析】【分析】（1）將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；（2）過點P作PG⊥x軸交直線CD于點G，設(shè)P（t，），則G（t，），由S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，即可求解；（3）由題意可得FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），再由F點在直線CD上，即可求m的值，進而確定M點的坐標(biāo)．(1)解：將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，∴，∴，∴(2)過點P作PG⊥x軸交直線CD于點G，設(shè)P（t，），則G（t，），，∴GP＝令y＝0，則x＝3，∴D（3，0），∵S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，，∴當(dāng)t＝時，S△CDP有最大值此時P（,）；(3)存在點M，使得△MEF≌△COD，理由如下：∵ME⊥CD，∴∠MEF＝90°，∵MF∥x軸，∴∠FME＝∠CDO，∵△MEF≌△COD，∴MF＝CD，∵OC＝4，OD＝3，∴CD＝5，∴FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），∵F點在直線CD上，∴＝∴m＝2或m＝5，∴M（2，8）或M（5，4）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023·河南省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，拋物線經(jīng)過，，三點中的兩點．(1)求拋物線的表達式；(2)點為（1）中所求拋物線上一點，且，求的取值范圍；(3)一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標(biāo)分別是和，且，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)拋物線圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求得；（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．(1)解：由題意可知：拋物線經(jīng)過，兩點，．解得：，拋物線的表達式為：；(2)解：拋物線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，；(3)解：，拋物線開口向下，與軸的交點為，，一次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點的橫坐標(biāo)分別是和，且，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)．3．(2023·四川成都·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A(3，n)，與y軸交于點B(0，﹣2)，點P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一動點，過點P作直線PQy軸交直線y＝x+b于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，且0＜t＜3，連接AP，BP．(1)求k，b的值．(2)當(dāng)ABP的面積為3時，求點P的坐標(biāo)．(3)設(shè)PQ的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標(biāo)．【答案】(1)b=-2，k=3(2)(3)或【解析】【分析】(1)將點B代入y=x+b，求得b，進而求得y=x-2，將A點坐標(biāo)代入求得n；(2)表示出PQ的長，根據(jù)PQ(xA-xB)=3求得t，進而得出點P的坐標(biāo)；(3)分為BC為邊點D在x軸正半軸上和在負半軸上，以及BC為對角線兩種情況．當(dāng)BC為邊時，點D在x軸正半軸上時，過點C作CF⊥y軸，作DG⊥CF，證明△BCF≌△CGD，進而得出CF=OF，從而求得t的值，另外情況類似方法求得．(1)解：∵直線y=x+b過點B(0，-2)，∴0+b=-2，∴b=-2；∵直線y=x-2過點A(3，n)，∴n=3-2=1，∴A(3，1)，∵y＝過點A(3，1)，∴k=xy=3×1=3．(2)解：設(shè)，Q(t，t-2)，A(3，1)，B(0，-2)，∴，∵，其中分別表示A、B、P三點的橫坐標(biāo)，∴，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴．(3)解：，Q(t，t-2)，的中點，分類討論：情況一：當(dāng)BC為邊且點D在x軸正半軸上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，如下圖1所示：∴∠BFC=∠G=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∵∠BCD=90°，∴∠DCG+∠FCB=90°，∴∠FBC=∠DCG，∵BC=CD，∴△BFC≌△CGD（AAS），∴CF=DG，∵OF=DG，∴OF=CF，即，解得(舍去)，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴此時P點坐標(biāo)為；情況二：當(dāng)BC為邊且點D在x軸負半軸上，過B點作FG⊥y軸于B，作DF⊥GF于F，作CG⊥GF于點G，如下圖2所示：同情況一中思路，同理可證：△DFB≌△BGC(AAS)，∴BG=DF=2，∴t=2，此時P點坐標(biāo)為；情況三：當(dāng)BC為對角線時，過D作FG⊥x軸，過C作CF⊥FG于F，過B作BG⊥FG于G，設(shè)PQ交x軸于N，如下圖3所示：同理可證：△CFD≌△DGB(AAS),∴CF=DG=OB=DN=2，BG=DF=DO=CN=，又∵ON=DN-DO，∴，解出：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴此時P點坐標(biāo)為；綜上所述，P點坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，根據(jù)線段之間的和、差關(guān)系列出方程求解．4．(2023·江蘇揚州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點B坐標(biāo)為頂點P的坐標(biāo)為，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作的切線，切點為C．(1)求拋物線的解析式；(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M，N兩點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)M點坐標(biāo)為：，