【教案】傾斜角與斜率1課時(shí)說課稿高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.1.1 傾斜角與斜率（1課時(shí)，說課稿）各位評(píng)委老師好！我說課的課題是“傾斜角與斜率”，我將從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)過程五個(gè)方面進(jìn)行闡述.1 教材分析1.1 課標(biāo)定位直線和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn).本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置和圓的幾何要素；然后用代數(shù)方法刻畫直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離.在此基礎(chǔ)上，建立直線和圓的方程；用方程研究兩條直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離以及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，初步感悟平面解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.以上是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對本章內(nèi)容的整體定位，也是本章單元教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想.1.2 內(nèi)容“傾斜角與斜率”是普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章“直線和圓的方程”中“2.1直線的傾斜角與斜率”的第1課時(shí)，也是第二章的起始課.2.1節(jié)包含兩課時(shí)內(nèi)容：2.1.1傾斜角與斜率；2.1.2兩條直線平行和垂直的判定.“2.1直線的傾斜角與斜率”知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（圖1）圖1本節(jié)課內(nèi)容包括直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜率之間的關(guān)系，過兩點(diǎn)的直線斜率公式.運(yùn)用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關(guān)系是下一課時(shí)研究的課題.1.3 內(nèi)容解析解析幾何的研究對象是幾何圖形，坐標(biāo)法是解析幾何中最基本的研究方法.坐標(biāo)法的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標(biāo)系，把幾何的基本元素——點(diǎn)和代數(shù)的基本對象——數(shù)（有序數(shù)對或數(shù)組）對應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線（點(diǎn)的軌跡）的方程，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代1數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).章頭圖展示了黃河大橋上的旭日，描述的是“黃河旭日圓”的生動(dòng)景象，圖中既有直線形圖形，也有圓，明確了本章的研究對象是直線、圓.直線是平面幾何中已經(jīng)研究過的圖形，并且過去學(xué)習(xí)的一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是一條直線.教材把直線作為解析幾何學(xué)習(xí)起始階段的第一個(gè)研究對象，通過建立直線的方程，研究它的有關(guān)問題.這樣安排，一方面容易建立與平面幾何的聯(lián)系，另一方面，有利于學(xué)生構(gòu)建研究的路徑，使學(xué)生在比較中體會(huì)坐標(biāo)法的特點(diǎn).本節(jié)課主要研究如何用代數(shù)方法來刻畫直線的方向.兩點(diǎn)確定一條直線，可以歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線.方向是直線的重要幾何要素.直線的傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫了直線的方向.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)平面圖形的幾何特征”，就是強(qiáng)調(diào)直角坐標(biāo)系的參照系作用.對于直角坐標(biāo)系中的直線l，我們利用x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α的大小來刻畫直線的方向，α叫做直線l的傾斜角（圖2）.過兩點(diǎn)的直線斜率公式把直線的傾斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了對直線幾何特征的代數(shù)刻畫.直線的斜率公式是解析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎(chǔ).圖2本節(jié)課用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題的基本步驟是：首先探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素（點(diǎn)、方向）；然后用代數(shù)方法表示這些幾何要素.通過一點(diǎn)和一個(gè)方向可以確定一條直線，引入傾斜角刻畫直線的傾斜程度（方向）；接著通過具體實(shí)例，由特殊到一般，通過向量法，用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫傾斜角，把傾斜角的正切值表示為這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差與橫坐標(biāo)的差的商，進(jìn)而引出直線的斜率的概念；最后推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.本節(jié)課是解析幾何單元的開篇，承擔(dān)著從宏觀上明確研究對象、構(gòu)建研究框架、形成研究路徑等任務(wù).所以，在開篇伊始就要注重解析幾何基本思想、用坐標(biāo)法解決問題的基本套路（即“一般觀念”）的滲透，這是本教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本指導(dǎo)思想.1.4 教學(xué)重點(diǎn)2直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2 學(xué)情分析2.1 認(rèn)知基礎(chǔ)分析學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念，知道了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系.在平面幾何中，學(xué)生比較系統(tǒng)地經(jīng)歷了用綜合法研究直線的位置關(guān)系等.在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生比較充分地感受到了在直角坐標(biāo)系中研究變量關(guān)系和規(guī)律的意義，特別是函數(shù)圖象所提供的幾何直觀在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，學(xué)生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)的圖象是一條直線.所有這些都成為本單元的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).2.2 教學(xué)問題診斷分析盡管學(xué)生對直角坐標(biāo)系已經(jīng)非常熟悉，但將它作為一個(gè)研究幾何圖形的工具，這是第一次.學(xué)生對于坐標(biāo)系作為一個(gè)參照系，在刻畫直線位置時(shí)如何發(fā)揮其作用，之前沒有這方面的經(jīng)驗(yàn)，因此他們對為什么不用“兩點(diǎn)確定一條直線”而是以一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向作為確定直線位置的幾何要素，會(huì)感到困惑.教學(xué)中，要通過對直角坐標(biāo)系的要素分析，使學(xué)生明確坐標(biāo)軸的定向功能和原點(diǎn)的基準(zhǔn)點(diǎn)作用，從而理解直角坐標(biāo)系作為“參照系”的內(nèi)涵，并進(jìn)而理解把“方向”作為確定直線位置的幾何要素的合理性，這是為了發(fā)揮直角坐標(biāo)系的作用的需要.學(xué)生對“直線的方向”的認(rèn)知不深刻，因此對“直線的區(qū)別是它們的方向不同”，“x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角”等說法都會(huì)有困惑.教學(xué)中要通過適當(dāng)?shù)那榫?，引?dǎo)學(xué)生理解用直線與x軸所成的角不能區(qū)分清楚直線的方向，以及利用x軸正向與直線l向上的方向之間的“方向差”（即傾斜角）區(qū)分直線方向的合理性.如何引入斜率概念？以往的做法是借助生活中的“坡度”概念.雖然“坡度”所刻畫的“陡峭程度”與斜率具有一致性，但這不是“利用直角坐標(biāo)系將幾何元素代數(shù)化”的過程，在數(shù)學(xué)內(nèi)容的連續(xù)性上稍有遜色.而且有明顯的不方便之處，當(dāng)傾斜角是鈍角時(shí)，按照生活常識(shí)，其坡度仍然是正數(shù)，即傾斜角互補(bǔ)的兩條直線的坡度是一樣的，此時(shí)無法建立傾斜角與縱橫坐標(biāo)差商之間的一一對應(yīng)關(guān)系，不利于表達(dá)問題.所以，人教A版新教材采取了一個(gè)全新的處理方法：以“一個(gè)點(diǎn)一個(gè)方向”和“兩個(gè)點(diǎn)”都能唯一確定一條直線，那么它們一定有內(nèi)在聯(lián)系（可以相互轉(zhuǎn)換）為指導(dǎo)思想，在已知直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通過向量法把直線傾斜角的正切表示為兩點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的差商，進(jìn)而把傾斜角的正切定義為斜率，同時(shí)得到過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.現(xiàn)在教科書這種處理方式是從數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯聯(lián)系的角度考慮，挖掘與已有知識(shí)的聯(lián)系，特別是與向量的聯(lián)系，建立角度與坐標(biāo)兩者之間的邏輯關(guān)系.這個(gè)過程非常簡潔，但對學(xué)生的抽象思維要求很高，要聯(lián)系向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，還要3進(jìn)行分類討論，所以難度很大.教學(xué)中，要根據(jù)教材設(shè)計(jì)的從具體到抽象的過程，在建立傾斜角代數(shù)化的思路、直線方向向量的坐標(biāo)表示、用傾斜角的正切表示傾斜程度、分類討論的必要性等方面加強(qiáng)引導(dǎo).2.3 教學(xué)難點(diǎn)基于以上認(rèn)知基礎(chǔ)分析和教學(xué)問題診斷分析確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：把方向作為直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，把直線的方向轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，建立傾斜角與直線上兩點(diǎn)之間的關(guān)系，直線斜率計(jì)算公式的推導(dǎo).突破難點(diǎn)的策略：教學(xué)中，在知識(shí)生成的關(guān)鍵點(diǎn)處充分發(fā)揮平面向量的作用.借助向量工具，引導(dǎo)學(xué)生將兩點(diǎn)確定一條直線歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線；借助信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察過一點(diǎn)的不同直線的區(qū)別，幫助學(xué)生建立直線的方向和傾斜角之間的聯(lián)系；通過向量方法從特殊到一般的過程，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地理解用點(diǎn)的坐標(biāo)的差商刻畫直線的傾斜角的方法，建立直線的斜率公式.向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量方法的運(yùn)用突出了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合.3 教學(xué)目標(biāo)3.1 目標(biāo)根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對本節(jié)教學(xué)的要求并結(jié)合學(xué)情分析確定以下教學(xué)目標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.2 目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：能以直角坐標(biāo)系為參照系，得出直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素——一點(diǎn)和一個(gè)方向.能準(zhǔn)確說出直角坐標(biāo)系中刻畫直線方向的幾何方法，能說明用傾斜角刻畫直線傾斜程度的合理性.能用向量法推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，能說出其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.在探索確定直線位置的幾何要素、定義直線的傾斜角和斜率的概念以及推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式的過程中，體會(huì)坐標(biāo)法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、4數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).4 教學(xué)方法4.1 教法問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的生長點(diǎn).為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課釆用問題導(dǎo)向式教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法，用環(huán)環(huán)相扣的問題將教學(xué)活動(dòng)層層推進(jìn)，使教師總是站在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力.另外，課堂教學(xué)融合信息技術(shù).通過PPT演示為學(xué)生揭示解析幾何的創(chuàng)始；應(yīng)用GeoGebra直觀演示直線的傾斜角，突破難點(diǎn)；使用同屏軟件實(shí)時(shí)分享學(xué)生的探究成果，提升課堂參與度,并充分發(fā)揮生生互評(píng)、師生互評(píng)的評(píng)價(jià)效能.4.2 學(xué)法為了體現(xiàn)學(xué)生是課堂的主人、教學(xué)的主體，讓學(xué)生參與教學(xué)全過程，讓學(xué)生自覺思考、自主探究、自我感悟，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、分析、交流、合作、類比、歸納的學(xué)習(xí)方法及能力.5 教學(xué)過程5.1 教學(xué)流程（圖3）圖3這個(gè)過程是對“直線”這個(gè)幾何研究對象逐步代數(shù)化的過程，把“形”逐步轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，用“數(shù)”表示“形”.這個(gè)過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化、不斷精致的過程，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想：用代數(shù)方法刻畫直線的幾何特征.5.2 教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)一 感悟歷史，引出課題問題1：回顧平面幾何的學(xué)習(xí)，我們主要研究了哪些類型的圖形？所用的研究方法是什5么？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中的研究對象、研究方法，在此基礎(chǔ)上指出本章要用解析幾何的方法即“坐標(biāo)法”對這些對象進(jìn)行再研究.利用教師自制的微視頻介紹解析幾何的背景知識(shí).特別說明坐標(biāo)法的基本思想，即幾何問題代數(shù)化，借助坐標(biāo)系把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).結(jié)合章頭圖，指出本章的研究對象是直線和圓.設(shè)計(jì)意圖：通過與平面幾何研究對象和研究方法的對比，引導(dǎo)學(xué)生明確解析幾何的研究對象也是直線和圓等幾何圖形，但研究方法不同.通過對解析幾何的背景介紹，使學(xué)生了解坐標(biāo)法的基本思想，初步構(gòu)建用坐標(biāo)法研究曲線的整體框架，為用代數(shù)方法研究直線做好鋪墊.環(huán)節(jié)二 抽象概念，建立聯(lián)系引導(dǎo)語：本節(jié)課我們從最簡單的幾何圖形——直線開始研究.根據(jù)上述研究思路，為了用代數(shù)方法研究直線，首先要明確在直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示岀來.問題2：確定一條直線的幾何要素是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、作答.在學(xué)生回答“兩點(diǎn)確定一條直線”后，教師繼續(xù)用問題進(jìn)行引導(dǎo).追問1：如圖4，對于直角坐標(biāo)系中的一條直線l，還有沒有其他確定一條直線的方法？圖4師生活動(dòng)：回顧向量的知識(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生利用直線上兩點(diǎn)可以得到直線的方向向量.除了點(diǎn)之外，方向也是確定直線位置的一個(gè)重要幾何要素，進(jìn)而得出一點(diǎn)和一個(gè)方向也能確定一條直線，把兩點(diǎn)確定一條直線歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線.追問2：觀察圖中（圖5）經(jīng)過定點(diǎn)P的直線束，它們的區(qū)別是什么？6圖5師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)直線的方向不同，即相對于x軸的傾斜程度不同.追問3：如何表示這些直線的方向？你能利用坐標(biāo)系中的要素刻畫這些直線的方向嗎？師生活動(dòng)：根據(jù)習(xí)慣，并借助坐標(biāo)軸的“定向”作用，定義直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向.教師引導(dǎo)學(xué)生以x軸為基準(zhǔn)思考這些直線的差異，發(fā)現(xiàn)這些直線相對于x軸的傾斜程度不同.教師利用動(dòng)態(tài)課件演示直線l以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，從與x軸重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與x軸再次重合的過程，通過直觀動(dòng)態(tài)演示、互動(dòng)交流，最終使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，利用x軸正方向與向上方向的射線所成的角，如圖6中的α1，α2，α3，…，就可以刻畫“直l相對于x軸的傾斜程度”，所以可以稱這樣的角為“傾斜角”.可以看到，過點(diǎn)P的直線與傾斜角是一對一的.圖6在此基礎(chǔ)上，推廣到一般，給出傾斜角的定義：當(dāng)直線l與軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.追問4：你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？師生活動(dòng)：教師再次用動(dòng)態(tài)課件演示直線l從與x軸平行或重合時(shí)開始繞直線上一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程，讓學(xué)生直觀感受直線的傾斜角的變化范圍是0°≤α＜180°.然后教師采取邊問邊答的方式，使學(xué)生明確：平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可用7傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.設(shè)計(jì)意圖：圍繞“探索直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素”這一任務(wù)，以發(fā)揮直角坐標(biāo)系的定位功能為思維導(dǎo)向，通過問題引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng)：第一步，在兩點(diǎn)確定一條直線的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線，方向是直線的一個(gè)重要幾何要素，從而把直線的代數(shù)化轉(zhuǎn)化為方向的代數(shù)化.第二步，定義直線的方向.第三步，以直角坐標(biāo)系為參照系，讓學(xué)生通過觀察過同一點(diǎn)的不同方向的直線，探索利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)分開來的幾何條件，在動(dòng)態(tài)幾何軟件的幫助下實(shí)現(xiàn)從“傾斜程度”（定性）到“傾斜角”（定量）的過渡.推廣到一般，得出傾斜角的定義.第四步，借助信息技術(shù)的直觀，引導(dǎo)學(xué)生討論直線傾斜角的范圍，感受用傾斜角定量刻畫直線的方向，是確定的、唯一的，體會(huì)在直角坐標(biāo)系中利用傾斜角刻畫直線方向的合理性.這是在“以直角坐標(biāo)系為工具刻畫直線的幾何要素”這個(gè)目標(biāo)引領(lǐng)下的探究活動(dòng)，以坐標(biāo)法思想為指導(dǎo)，使學(xué)生在解析幾何入門階段就對如何發(fā)揮坐標(biāo)系的作用留下深刻印象，有利于學(xué)生理解傾斜角概念的內(nèi)涵，并在概念形成過程中提升理性思維水平.問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線l可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)傾斜角唯一確定.另一方面，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)確定一條直線可知，直線l由點(diǎn)P1，P2唯一確定.所以，可以推斷，直線l的傾斜角一定與P1，P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系？你覺得可以用什么方法來建立這種聯(lián)系？師生活動(dòng)：先讓學(xué)生思考，請有想法的學(xué)生說一說思路，然后教師再進(jìn)行引導(dǎo)性提問：如何用坐標(biāo)刻畫“傾斜角”？你之前學(xué)過的知識(shí)里有沒有用坐標(biāo)刻畫角的例子？師生活動(dòng)：對于問題(1)，學(xué)生根據(jù)條件作出圖形，先獨(dú)立思考，再通過討論、對比正弦、余弦和正切函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示傾斜角α的正切比較方便，如圖7(1).每一種情況下都有tany2y1.x2x1追問3：當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？當(dāng)直線P1P2與y軸平行或重合時(shí)，情況又如何？師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成、回答.在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行歸納，給出直線斜率的概念：綜上可知，直線l的傾斜角α與直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐標(biāo)有如下關(guān)系：tany2y1.此式右邊是一個(gè)比率，而α是刻畫直線傾斜程度的幾何要x2x1素,將“傾斜程度”和“比率”結(jié)合，我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.這樣，利用正切函數(shù)把傾斜角（幾何）對應(yīng)R上的實(shí)數(shù)——斜率k（代數(shù)），更有利于我們用代數(shù)方法研究幾何問題，實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)方法表示方向這一幾何要素的目標(biāo).追問4：若已知直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線P1P2的斜率時(shí)，與P1，P2兩點(diǎn)的順序有關(guān)嗎？設(shè)計(jì)意圖：問題3將直角坐標(biāo)系下兩種確定直線位置的幾何要素聯(lián)系起來，在“同一對象的兩種表示一定有內(nèi)在聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指導(dǎo)下，提出問題，并啟發(fā)學(xué)生從“如何用坐標(biāo)刻畫角”的角度思考把直線的傾斜角和直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，進(jìn)而想到三角函數(shù)的定義.根據(jù)平移的幾何直觀，想到借助向量法來解決問題，讓學(xué)生感受平面向量及其方法在研究幾何圖形性質(zhì)方面的便捷性，體會(huì)幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合.問題3的探究分為三個(gè)層次：第一個(gè)層次是由經(jīng)過原點(diǎn)的直線上的另一個(gè)具體點(diǎn)（包括原點(diǎn)共兩個(gè)點(diǎn)）的坐標(biāo)刻畫直級(jí)的傾斜角；第二個(gè)層次是由不經(jīng)過原點(diǎn)的直線上的兩個(gè)具體的點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫直線的傾斜角；10最后一個(gè)層次是由經(jīng)過直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫直線的傾斜角.由于平移后直線的傾斜角不變，后面兩個(gè)問題都可以轉(zhuǎn)化為第一個(gè)問題.三個(gè)問題按照從特殊到一般、由具體到抽象順次展開，逐步引導(dǎo)學(xué)生用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫直線的傾斜角，把直線的方向進(jìn)一步代數(shù)化.在補(bǔ)充特例（直線與x軸平行或重合）后給出直線斜率的概念.在探究中體會(huì)向量的工具作用，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想.這個(gè)過程的邏輯性很強(qiáng)，對學(xué)生思維的嚴(yán)密性要求很高，對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)都有作用.追問4進(jìn)一步對斜率公式進(jìn)行辨析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到斜率只與直線上兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)有關(guān)，而與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，加深對斜率計(jì)算公式的理解.問題4：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在得出一個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理等之后，我們要從不同角度、聯(lián)系相關(guān)知識(shí)以加深對它的理解.首先請同學(xué)們思考一下，生活實(shí)際中有沒有與傾斜程度、傾斜角、斜率等類似的概念？師生活動(dòng)：由學(xué)生思考、回答：日常生活中常用“坡度”表示傾斜面的傾斜程度，坡度＝水平寬度鉛直高度.當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，直線的斜率與坡度是類似的（圖8）.圖8追問：當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時(shí)，其斜率如何變化？為什么？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、回答，教師投屏學(xué)生給出的結(jié)果并進(jìn)行互動(dòng)交流.由正切函數(shù)的圖象（圖9）及單調(diào)性可知：當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，其斜率為正值，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，其斜率為負(fù)值，斜率仍然是隨著傾斜角的增大而增大.除了90°之外，直線的傾斜角與它的斜率是一一對應(yīng)的.因此，我們可以用斜率表示傾斜角不等于90°的直線相對于x軸的傾斜程度，進(jìn)而表示直線的方向.圖911在用斜率討論問題時(shí)，要考慮到斜率不存在的情況，此時(shí)要轉(zhuǎn)化為傾斜角為90°情況進(jìn)行討論.在此基礎(chǔ)上，教師總結(jié)刻畫直線方向的兩種方法.傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)方面刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，轉(zhuǎn)換的工具是坐標(biāo)法.設(shè)計(jì)意圖：問題4通過對比，發(fā)現(xiàn)斜率和坡度的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到斜率可以用來解決實(shí)際生活中的問題，感受數(shù)學(xué)來源于生活，用于生活.對于追問，結(jié)合正切函數(shù)的定義及其單調(diào)性，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)隨著傾斜角的變化斜率的變化情況，讓學(xué)生直觀地看到除了90°之外，直線的傾斜角與它的斜率是一一對應(yīng)的.明確用斜率刻畫傾斜角是確定的、唯一的，合理的.通過總結(jié)刻畫直線方向的兩種方法，其一是直線的傾斜角，其二是直線的斜率，體會(huì)傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度，感受解析幾何坐標(biāo)法的思想.由斜率的定義把傾斜角（幾何）對應(yīng)到R上的實(shí)數(shù)——斜率k（代數(shù)），這種形式能直接參與代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問題的目的.問題5：我們知道，向量PP以及與它平行的非零向量都是直線P1P2的方向向量.直線1 2的方向向量也是刻畫直線傾斜程度的量，你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察PP的坐標(biāo)表示與過兩點(diǎn)的直線斜率的公式之間的聯(lián)系，1 2一個(gè)是兩點(diǎn)坐標(biāo)的差，另一個(gè)是兩點(diǎn)坐標(biāo)的差商，引發(fā)學(xué)生思考如何把二者互相轉(zhuǎn)化.并引導(dǎo)性提問：“你能用斜率k表示直線P1P2的一個(gè)方向向量嗎？”學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，給出解答后教師投屏小組探究的結(jié)果，并讓學(xué)生說岀思路.如果直線P1P2與xy2-y1軸不垂直，則x1≠x2，PP(x-x，y-y)(x-x)(1，)(x-x)(1，k).x2-x1然后教師再追問：“反過來，你能用直線P1P2的方向向量(x，y)(x≠0)表示斜率k嗎？”，學(xué)生思考、作答.教師板書方向向量與斜率的關(guān)系.教師強(qiáng)調(diào)直線的方向向量不唯一，本質(zhì)上是方向向量的模不同.為了考慮問題方便，若直線l的斜率為k，我們常用(1，k)或(x，y)(其中kxy，x≠0)表示直線的方向向量.盡管直線的方向向量有很多變式，但萬變不離其宗，變的是向量的模，不變的“宗”是直線的斜率.設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯關(guān)系提出問題，建立斜率與直線的方向向量及其坐標(biāo)表示之間的聯(lián)系，可以多角度認(rèn)識(shí)斜率和方向向量，使學(xué)生體會(huì)向量法和坐標(biāo)法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).12環(huán)節(jié)三 學(xué)以致用，鞏固新知辨析 判斷下列說法是否正確.（1）所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對應(yīng).（ ）（2）每一個(gè)傾斜角都對應(yīng)于唯一的一條直線.（ ）（3）因?yàn)槠叫杏趛軸的直線的斜率不存在，所以它的傾斜角不存在.（ ）（4）直線的傾斜角越大，它的斜率也越大.（ ）（5）當(dāng)直線的斜率確定時(shí)，其方向向量唯一確定.（ ）師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考、作答，學(xué)生相互評(píng)價(jià)，教師點(diǎn)評(píng).設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)概念的辨析，增進(jìn)學(xué)生對概念的準(zhǔn)確理解.例1 如圖10，已知A(3，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求分別直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角？圖10思考題：例1變式(1)若直線l過點(diǎn)B，且與線段AC有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍是______.變式(2)若直線m過點(diǎn)C，且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線m傾斜角的取值范圍是______.師生活動(dòng)：例1由學(xué)生獨(dú)立思考、作答，教師投屏展示學(xué)生成果，讓學(xué)生進(jìn)行相互評(píng)價(jià).思考題為備選題，