2023-2024學(xué)年陜西省高二年級下冊綜合評價數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年陜西省高二下冊綜合評價數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,若4=9,Sg=45,則數(shù)列｛a,,｝的公差為（）.

A.2B.-2C.6D.4

【正確答案】D

【分析】由題可得5,=9牝=45,即得.

【詳解】-：S9=9a5=45,

.?％=5,

二數(shù)列｛《,｝的公差為&-牝=4.

故選：D.

2.在N8C中，角A,8,C所對的邊分別為。，b,c,已知/=60。，b=2。為使此

三角形有兩個，則。滿足的條件是（）

A.y/3<a<3B.6<a<26C.3<°<2百D.也<a<40

【正確答案】C

【分析】為使此三角形有兩個，只需滿足bsiM<a<b,即可求a范圍.

【詳解】為使此三角形有兩個，即6sinJ<a<"

：.243^—<a<243,解得：3々<2百，

2

故選：C.

本題考查三角形解的情況，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

3.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文

化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總

和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0、2、4、8、

12、18、24、32、40、50,則此數(shù)列的第19項是（）

A.200B.182

C.180D.181

【正確答案】C

【分析】由己知數(shù)列可得〃為偶數(shù)時，a?=-y,〃為奇數(shù)時，q=工9,然后逐個分析判

斷即可.

【詳解】觀察此數(shù)列可知，當(dāng)”為偶數(shù)時，%=q,當(dāng)〃為奇數(shù)時，。,,=卡-

1Q2_1

所以，?19=-^—^=180,所以C正確，

2

故選：C.

4.已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且滿足4+42+2。3a8=9,%<0,則兒等于（）

A.-9B.-11C.-13D.-15

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)利用4+%。=%+4，代入等差數(shù)列的求和公式即可.

【詳解】+%2+2%。8=（%+%/=9，%<0，

%+/=-3,

.o_10(<71+a10)_10(a3+a8)_

??————13,

1022

故選：D

5.在△48C中，內(nèi)角Z,B,C所對的邊分別是“，b,c.已知”=45。，。=6,b=3?,則8

的大小為()

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

【正確答案】A

【分析】先由正弦定理求出sinB=｝,可得8=30?；?=150。，再由得4>8,從而可求

出8=30°.

【詳解】由正弦定理得一二a

sin8sinA

即更1=6,

sin6sin45°

解得sin^=y,

又8為三角形內(nèi)角，所以8=30?；?=150。,

又因為。>6,所以4>8,即8=30。.

故選：A.

6.在等比數(shù)列｛《,｝中，％=sinl5",則4%=（）

A2-石R2+行r76「百

A?--------L5?-----------?L/.

4434

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)和二倍角的余弦公式即可求解.

1粗r

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得27I1-cos30°1一萬2-^3.

a^a.=a.=sin15=-------------=-------=--------

285224

故選：A.

7.已知等差數(shù)列｛%｝的公差dwO,前〃項和為S“，若￡=$2,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.q:d=T7:2B.58=0

C.當(dāng)d>0時，6+44>°D.當(dāng)d<0時，

【正確答案】D

【分析】因為｛?｝是等差數(shù)列，由$6=岳2可得%+%。=0,利用通項轉(zhuǎn)化為卬和d即可判斷

選項A；利用前〃項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)

a6+a14=a9+a10+J=J即可判斷選項C；由d<0可得％,+44=d<0且4>>°，心<0即可

判斷選項D,進而得出正確選項.

【詳解】因為｛““｝是等差數(shù)列，前"項和為，，由$6=兒得：

S|2一=47+私+為+%（）+。||+《2=0，即3（。9+4。）=°，即。9+。10=0，

對于選項A：由%+%。=0得2q+17d=0,可得％:"=-17:2,故選項A正確；

對于選項B：$=18（4+%）J-%。）=0,故選項B正確；

對于選項C：a6+alA=a9+an=a9+a^+d=d,若d>0,則必+^^二?！?。，故選項C正確；

對于選項D：當(dāng)d<0時，a6+a14=d<0,則&<一《4，因為d<0,所以4>。，《4<。，

所以同<|即故選項D不正確，

故選：D

8.^(a+b+c)(b+c-a)=,3bc,且sin/=2sin8cosC,那么ABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】B

【分析】化簡(“+b+c)S+c—)=36c,結(jié)合余弦定理可得"=再利用正余弦定理對

sin力=2sin8cosc化簡可得6=。，從而可判斷出/8C的形狀

【詳解】由(a+6+c)(b+c—a)=3bc,得(b+c)--=3bc,

化簡得/+。2一/=加，

所以由余弦定理得cosA="+cT=_bc_=j_,

2bc2bc2

因為所以｛=

因為sin%=2sin8cosC,

所以由正余弦定理角化邊得a=??色直二土,化簡得

2ab

所以b=c,

所以ABC為等邊三角形,

故選：B

9.已知數(shù)列出｝的通項公式是對=(-1)"(3〃-2),則4+%+…+-9=()

A.-3028B.-3027C.3027D.3028

【正確答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列｛"“｝的通項公式，

+。2+…+。2019=(4+。2)+(。3+4)+…+(。2017+。2018)+。2019，利用并項求和法即可得出答

案.

【詳解】解：由%=(-1)"(3〃一2),

得q+ci-y+…+%oi9=-1+4+(-7)+10+?,?+(-6055)

=(-1+4)+(-7+10)+…+(-6055)

=3x1009—6055=—3028.

故選：A.

10.銳角三角形ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，如果B=2A,則的取

值范圍是()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(0,右)D.(VI，2)

【正確答案】C

【詳解】解：因為B=2A,故sinB=sin2A,

sinBhsin24八,八八，乃八八.，乃

-——=-=------=2cos4v0<2A<—0<0-3A<—

sinAasinJ22

<A<^-<cosJ<G<2cos4<VJ

6422

故所求的范圍是選C

ii.已知數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，也J是正項等比數(shù)列，若q=4，%=2,則

()

A.a4=b4B.a5Vb$C.4〉”D.a9cb

【正確答案】D

由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.

【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，〃cN",圖象中的孤立的點在一條直線

上，

而等比數(shù)列抄〃｝的通項公式是關(guān)于〃的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，

如圖所示當(dāng)d>0時，如下圖所示，

當(dāng)公差d<0時，如下圖所示,

如圖可知當(dāng)q=",/="時，。4>4，%>瓦,a9<h9.

故選：D

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項.

12.我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長

求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的

數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜寨并大斜塞減中斜累，余半之，自乘于上.以小斜塞乘大斜

哥減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即

S=R九2_(42+：一力2‘其中八爪c分別為"8C內(nèi)角"、B、C的對邊.若6=2,

tanC=%'，貝/8C面積S的最大值為

1-V3cosB

A.3B.y/5C.6D.V2

【正確答案】C

【分析】將已知等式進行化簡并利用正弦定理可得代入“三斜求積”公式即可計算

得解.

【詳解】ItanC=="nC,則sinC=G(sin8cosc+cos6sinC)=Gsin(8+C)

l-V3cosScosC

=VJsinA,由正弦定理得c=,?7=2,

LABC的面積S=?a2c2一=臥-21

=￡(-/+8/-4),.?.當(dāng)/=4即。=2時，的面積S有最大值為石.

故選C

本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查二次函數(shù)求最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

二、填空題

13.在Z8C中，A=60°,AB=2,且Z8C的面積S，則邊8c的長為.

【正確答案】也

【分析】利用面積公式S”c=；NBZC-sin/，可求解/C,再由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,可得解.

【詳解】由面積公式：SAgc=-AB-AC-smA=^-

ABC22

:.AC=\

由余弦定理：

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA=4+\-2x2x\x-=3

2

BC=43

故也

本題考查了面積公式，余弦定理綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.己知等比數(shù)列｛q｝的前"和為5“，若%,%嗎成等差數(shù)列，且縱=22,5+=-63,則

項+2的值為.

【正確答案】107

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得2卬才=。4+《/,從

而求出g=-2或q=l,再根據(jù)S*M=-63,確定《=-2,進而求出

%+2=44M=-2X(-85)=170,代入記得.S―=$川+=-63+170=107

【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,首項為4，

由%,出,%成等差數(shù)列可得：

2a｝=a4+a5,代入可得:

2*=*+*,解得：0=-2或1=1,

又因為&+i=-63,易知g=-2,

又因為S*=22,

4+1=Sk+l-Sk=-85,

所以。*+2=照*+1=-2X(-85)=170,

S"2=S"|+a-=-63+170=107,

故107.

本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了4和S,的關(guān)系，同時考查了計算能力,

屬于中檔題.

15.如圖，在離地面高200m的熱氣球M上，觀察到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯

角為45°,已知NA4C=60°,則山的高度8c為m.

【正確答案】300m

【分析】首先在中，求得/知=200匹，然后再△M4C,利用正弦定理求得

AC=200y/3,最后在18C中，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】在直角0WD中，可得的45","0=200,所以⑷1/=」"=200a,

sin45

因為△MC中，ZAMC=45^+15°=60',NM4c=180°-45'-60"=75',

所以ZMCA=180"-NAMC-ZMAC=45",

上十力士娠-r/曰。MAsinZAMC200^xy-r-

由正弦定理，可得忙=.八。,=——7=^-=200V3,

sinZ.MCAV2

T

在直角48c中，因為N84C=6(X,可得BC=4CsinN84c=20()6x立=300m.

2

故300m

16.已知如圖的一個數(shù)陣，該陣第〃行所有數(shù)的和記作。.，

q=lM2=l+g+l,a3=l+g+；+g+L…，數(shù)列｛叫的前"項和記作S“，則下列說法正確的

是

I

IyI

.III.

1TTT1

.JL_L_L±.

1TZT4~T1

L_LJL_LX±2

TTTT6TTT

三,3

①％=4一聲

3

②勺+「勺=9

③V227

3

@S?=4n-6+—

【正確答案】①②③

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式可求得勺=4-聲3，判斷①；利用%=4-旨3可求

出％一耳，判斷②；由。“=4-白可得￡=4〃-34+#-+9，繼而化簡求得S.，

繼而求得S5,判斷③④.

【詳解】由題意得

,11III.1XY）"以I#

0L—1H---1---F...4----rd---......+~]=------：---H------:---

〃242"T2n~221I.1

1—1-----

22

3

=4-產(chǎn)，①正確；

333

一%二4一m一（4一產(chǎn)）=齊，②正確；

3111

由?！ǘ?一F可得巴=4〃-3（乎+,+…+聲），

33227

即S=4n-3x=4〃-6+H，則$5=20-6+m=笠，③正確，④錯誤,

n2216

故①②③

三、解答題

17.已知/8C中，角48,C所對的邊分別為a,b,c,且色土乎吧-sin(8+費)=0,ABC

外接圓的半徑為46.

(1)求力的值；

⑵若5血=246，求N8C的周長.

【正確答案】(l)/=g

(2)1273+4721

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式即可求得cos4=-；,

即得答案；

(2)根據(jù)三角形外接圓半徑和角Z可求得°,再利用余弦定理求得b+c=I2行，即可求得

答案.

【詳解】(1)依題意由(''+2c)cos/_$抽(8+與)=0,可得(6+2°)(：0$4+恥0$8=0,

由正弦定理得(sinB+2sinC)cos4+sinJcosB=0,則2sinCcos4+sin(4+3)=0,

故2sinCcosJ+sinC=0,而C￡(0,冗),.b.sinC*0,

故2cosJ+1=0,則cosJ=一一，

2

而“e(O,7r),故4=

(2)因為/8C外接圓的半徑為4近，即R=4近，/號，

故由正弦定理，得4=27?山仙=4萬，

又S=—bcsin—=^-bc-246,解得6c=96,

234

由余弦定理，a1=b2+c2-IbccosA>得6?+c?+加=(6+c)2-be=336,

又be=96,故S+c>=432,則6+。=120，

則NBC的周長為12百+4>與.

18.已知數(shù)列的前”項和為S"，S?=n2,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，4=3,4=274.

(1)求數(shù)列和也｝的通項公式；

(2)設(shè)q,=a“+5,求數(shù)列｛0｝的前〃項和

2

【正確答案】(1)"=3"；(2)Tn=n+|(3"-1).

【分析】(1)由題意，利用4=S“-S“T，求得數(shù)列｛%｝的通項公式為=2〃-1,設(shè)等比數(shù)列

料｝的公比為夕，根據(jù)題意列出方程求得4=3,進而求得數(shù)列｛"｝的通項公式；

(2)由(1)知4=2〃-1,4=3",根據(jù)%=%+”,,結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即

可求解.

【詳解】(1)由數(shù)列｛/｝的前〃項和為S“，S?=n2,

當(dāng)〃22時，a?=5?-5,,.)=n2-(?i-l)2=2M-1,

當(dāng)”=1時，/=S[=1,適合上式，

所以數(shù)列｛?！埃耐椆?/p>

又由數(shù)列｛或｝是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為心

因為4=3,b7=27b4,可得%6=27*3/,即g:27,解得g=3,

所以數(shù)列也｝的通項公式為2=刖1=3X"T=3".

(2)由(1)知/=2〃-1,b“=3",又由C"=a"+6”，

數(shù)列匕,｝的前〃項和北=(%+%+…+。”)+(4+&+…+

=^^+^1=〃2+為一).

21-32V'

19.MLBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin4+6cos4=0,a=2亞6=2.

(1)求角A和邊長c；

(2)設(shè)。為BC邊上一點，且力。_L/C,求&48。的面積.

27r

【正確答案】(1)y,4;(2)G

【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出tan/=-B從而可得A的值，

再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長c的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出cosC,求出C。的長，

可得CO=；8C,從而得到葭,甌=；$.<.，進而可得結(jié)果.

試題解析：（1）?.,sin4+JJcos力=0,.\tan4=一百，<0<4<肛，/=｝■，由余弦定理可得

a2=b2+c2-26ccosA,即28=4+c'一2x2cx1-5）,KPc2+2c-24=0,解得。二一6（舍去）

或c=4,故c=4.

（2）Qc2=b2+a2-2abcosC,「.16=28+4-2x26x2xcosC,

cosC=,/.CD==—^―=近1

幣cosC2，:.CD=—BC,

萬2

??.SMBC=；4BSC.SENBAC=1-x2x2^,■-SMBD=^SMBC.

20.已知等差數(shù)列｛叫和等比數(shù)列也｝滿足q=4,2=2,a2=2b2-l,a3=b3+2.

（1）求｛%｝和仇｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛%｝和低｝中的所有項分別構(gòu)成集合A,B,將的所有元素按從小到大依

次排列構(gòu)成一個新數(shù)列｛。｝,求數(shù)列｛%｝的前60項和S60.

【正確答案】（1）=3/7+1,4=2"；（2）5014.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為"，等比數(shù)列也“｝的公比為4，

\4+d=2-2q-\Jd=4q-5

由j4+2d=2.r+2=，

:,q=2,d=3,

.??a“=3〃+l,b.=2〃.

177

（2）當(dāng)｛%｝的前60項中含有｛"｝的前6項時，令3"+1<27=128=〃〈亍，

此時至多有41+7=48項（不符）.

當(dāng)｛。｝的前60項中含有｛〃｝的前7項時，令3〃+1<2'=256=〃<85,

且2?,232,是&“｝和也｝的公共項，則｛%｝的前60項中含有出｝的前7項且含有｛4｝的

前56項，再減去公共的三項.

.?.$6。=〔56x4+56；*X3)+2+4+2+f=4844+170=5014

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分析新數(shù)列｛%｝是由｛%｝和｛4｝中的哪些選項構(gòu)成的，還

要注意去掉公共項.

21.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下上至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到

C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從8沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從

A處下山，甲沿/C勻速步行，速度為50加/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到8,

在8處停留Imin后，再從8勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山

123

路4C長為1260加，經(jīng)測量cos/=—，cosC=-.

(1)求索道48的長；

(2)問：乙出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？

(3)為使兩位游客在。處互相等待的時間不超過3min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍

內(nèi)？

【正確答案】(1)AB=1040m(2)(3)[⑵。(單位：m/min)

374314

123

【詳解】(1)在A48C中，因為cos4=石，cosC=-,

54

所以sin4=—,sinC=—,

135

從而sin8=sin[乃一(4+C)]=sin(4+C)=sinAcosC+sinCcosA=^x^-+-!y