高一數學必修一知識點歸納總結

高一數學必修一知識點歸納總結

第一章集合與函數概念

—?、集合有關概念：

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每

一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性；(2)元素的互異性；(3)元素的無序性

說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個

對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的

對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否

一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一

樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的籃球隊員｝，｛太平洋,大西洋，印

度洋,北冰洋｝

(1)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

(I)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號

括上。

（II）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號

內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合

的方法。

①語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛x￡R|x-3>2｝或

｛x|x-3>2｝

4、常用數集及其記法：

數集記號

非負整數集（即自N

然數集）

正整數集N*或N+

整數集Z

有理數集Q

實數集R

5、“屬于”的概念（集合與元素的關系）

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，

就說a屬于集合A記作a￡A,相反，a不屬于集合A記作a史A

6、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合2.無限集含有無限個元素的集

合3.空集不含任何元素的集合

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系----子集

對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元

素，我們就說兩集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作

AcB

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集

合。

集合A中有n個元素,則集合A子集個數為21

2.“相等”關系（525,且5W5,則5=5）

實例：設A={x|x2-l=0}B={-1,1}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B

的元素，同時一，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說

集合A等于集合B,即：A=B=AqB且B=A

①任何一個集合是它本身的子集。AcA

②真子集:如果AqB,且AwB那就說集合A是集合B的真子集，記作

AuB（或Bz>A）

③如果AGB,BGC，那么AGC

④如果AqB同時B2A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為0。

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集

合，叫做A,B的交集.

記作AGB(讀作：“A交B”)，BPAAB={x|xGA,且x￡B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所

組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB(讀作"A并B”)，即A

UB={x|xeA,或x￡B}.

3、交集與并集的性質：AAA=A,AA6=6,AAB=BAA,AUA

=A,AU4>=A,AUB=BUA.

4、全集與補集

(1)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，

這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(2)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即/

中

所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余

集)。

記作：CSA,即CSA={x|xwS且xeA}

(3)性質：⑴Cu(CuA)=A(2)(CuA)AA=0(3)(CuA)UA=U

(4)(CLA)A(CuB)=C式AUB)(5)(CuA)U(CUB)=Cu(AA

B)

二、函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應

關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定

的數f(x)和它對應，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B的一個

函數.記作：y=f(x),x￡A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍

A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值

的集合｛f(x)|x￡A｝叫做函數的值域.

注意：1、如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域，則

函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；

2、函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補充：

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的

定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；

(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，

它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等于零

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)

2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值

域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和

對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)。

(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而

與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①定

義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)

值域補充

(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函

數的值域都應先考慮其定義域.

(2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函

數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x￡A)中的x為

橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數

y=f(x),(x￡A)的圖象.

C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來，以

滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C

上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x￡A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任

意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組

成。

(2)畫法：

A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列

表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y),最后用平滑

的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法：

常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換

I、對稱變換：

(1)將丫=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=|f(x)|的圖象

(2)y=f(x)^0y=f(-x)的圖象關于y軸對稱。如

y=ay與y=a-=1—1

(3)y=f(x)^0y=-f(x)的圖象關于x軸對稱。如

y=log“x與y=-log?x=log,x

?

II、平移變換：由f(x)得到f(x±a)左加右減；由

￡6)得到￡6)±a上加下減

(3)作用：A、直觀的看出函數的性質；B、利用數形結合的方法分析

解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現解題中的錯誤。

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)

間；(3)區(qū)間的數軸表示.

5.映射

定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對

應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一

確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AfB為從集合A到集合

B的一個映射。記作“f：AfB”

給定一個集合A到B的映射，如果aSA,beB.且元素a和元素b對

應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原

象

說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、

B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合

A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；

③對于映射f：AfB來說，則應滿足：（I）集合A中的每一個元

素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（II）集合A中不同的元

素，在集合B中對應的象可以是同一個；（山）不要求集合B中的每

一個元素在集合A中都有原象。

6、函數的表示法：

常用的函數表示法及各自的優(yōu)點：

1函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點

等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據：作垂直于x軸的

直線與曲線最多有一個交點。

2解析法：必須注明函數的定義域；

3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解

析式；觀察函數的特征；

4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

注意：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象

法：便于量出函數值

補充一：分段函數

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的

范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解

析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式

并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情

況.注意：(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函

數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域

的并集.

補充二：復合函數

如果y=f(u),(u￡M),u=g(x),(x￡A),則y=f[g(x)]=F(x),(x

￡A)稱為f是g的復合函數。

7.函數單調性

(1).增函數

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內

的任意兩個自變量xi,X2,當x《X2時，都有f(Xi)<f(xD,那么就說

f(x)在區(qū)間D上是增函數。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間；

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xi,X2,當x《X2時一，都有

f(x,)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為

y=f(x)的單調減區(qū)間.

注意：1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數

的局部性質；

2、必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量xi,x2；當x〈X2時,，總有

f(Xi)<f(X2)(或f(Xi)>f(X2))。

(2)圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)

在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]

在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右增增增

是上升的，減函數的圖象從左到右是增減減

下降的.減增減

(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方減減增

法

(A)定義法：

1任取x”x2eD,且x〈X2；2作差f(xj-f(x》；3變形(通常是

因式分解和配方)；4定號(即判斷差f(x)—f(x1的正負)；5下

結論(指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性：復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數

u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：

復合函數單調性：口訣：同增異減

注意：1、函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調

性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

(4)判斷函數的單調性常用的結論

①函數y=-/⑺與y=/(幻的單調性相反；

1

y=

②當函數＞=/(幻恒為正或恒有負時，./⑴與函數的單調性

相反；

③函數＞=/(%)與函數y=/a)+c(c為常數)的單調性相同；

④當c＞o(C為常數)時，＞=/(幻與丁=。"3的單調性相同；

當c<o(c為常數)時，y="x)與y=c/a)的單調性相反;

⑤函數/(無)、g(x)都是增(減)函數，則/(x)+g(x)仍是增(減)函數；

⑥若〃x)〉0,g(x)>0且/⑴與g(x)都是增(減)函數，則/(x)?g(x)也是

增(減)函數；

若/(幻<()遙3<°且/(幻與83者口是增(減)函數，則/⑴咱⑴也是減

(增)函數；

⑦設/(x)>(),若人龍)在定義域上是增函數，則"在Z?7(x)(%>())、

1

/口)(〃>1)都是增函數，而/⑴是減函數.

8.函數的奇偶性

(1)偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(一

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.

(2)奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(—x)=一

f(x),那么f(那就叫做奇函數.

注意：1、函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇

偶性是函數的整體性質；

函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

2、由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要

條件是，對于定義域內的任意一個x,則一x也一定是定義域內的一

個自變量(即定義域關于原點對稱).

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.

總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定

義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；2確定f(—x)與f(x)的

關系；3作出相應結論：若f(—x)=f(x)或f(-x)-f(x)=

0,則f(x)是偶函數；若f(—x)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,

則f(x)是奇函數.

注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首

先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶

函數.若對稱，(1)再根據定義判定；(2)有時判定f(-x)=±f(x)比

較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判

定；(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.

函數奇偶性的性質

①奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相

同；

偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰

相反.

②奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.

③若/⑶為偶函數，則/(-x)=/(x)=/(|x|).

④若奇函數/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0.

⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數，都可表示成“一個

奇函數F(x)與一個偶函數G⑶的和(或差)”.如設/⑶是定義域為R

的任一函數，則F(x)力,G(X)=△.漱△?)..

22

⑥復合函數的奇偶性特點是：''內偶則偶，內奇同外”.

⑦既奇又偶函數有無窮多個(/(九)=(),定義域是關于原點對稱的任

意一個數集).

9、函數的解析表達式

(1)函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函

數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定

義域.

(2)求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法

等，A、如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；B、已知

復合函數f［g(x)］的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值

范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數

表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本p30頁)

(1)利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值；

(2)利用圖象求函數的最大(小)值；

(3)利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數

y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞增，在區(qū)間［b,c］上單調遞減則函數

y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單

調遞減，在區(qū)間［b,c］上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值

f(b)；

第二章基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數然的運算

1.根式的概念：

負數沒有偶次方根；。的任何次方根都是0,記作而=0。

注意：⑴(折)"=a

(2)當n是奇數時，而，當n是偶數時，

-a,。<0

2.分數指數塞

正數的正分數指數塞的意義，規(guī)定：=V？7(?>Q,m,n^N\fin>1)

正數的正分數指數塞的意義：加"=r(a>0,加,〃eN*,且〃>1)

a"

0的正分數指數越等于0,0的負分數指數零沒有意義

3.實數指數嘉的運算性質

(1)aras=ar+s(a〉0,r,seR)

(2)(優(yōu))"=a"(a>0,r,seR)

(3)(ab)r=a'br(a>0,/?>0,re/?)

注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如

[(1一夜)2]5H1_0而應=0一1

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數>=優(yōu)叫做指數函數，其中X是

自變量，函數的定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.即

a>0且aWl

2、指數函數的圖象和性質

0<a<la>l

圖象特征函數性質

向X軸正負方向無限延伸函數的定義域為R

函數圖象都在X軸上方函數的值域為R+

共性圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數

函數圖象都過定點（0,1）過定點（0,1）

自左向右看，圖象逐漸下降減函數

在第一象限內的圖象縱坐標都當x>0時,0<y<l;

0<a<l小于1

在第二象限內的圖象縱坐標都當x<0時,y>l

大于1

圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極

快，

到了某一值后減小速

度較慢；

自左向右看，圖象逐漸上升增函數

在第一象限內的圖象縱坐標都當x>0時,y>l;

a>l大于1

在第二象限內的圖象縱坐標都當x<0時,0<y<l

小于1

圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較

慢，

到了某一值后增長速

度極快；

注意：指數增長模型：y=N(l+p)x指數型函數：y=kax

3考點：(1)ab=N,當b>0時，a,N在1的同側；當b〈0時，a,N在

1的異側。

(2)指數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討

論。掌握利用單調性比較嘉的大小，同底找對應的指數函數，

底數不同指數也不同插進l(=a0)進行傳遞或者利用(1)的知

識。

(3)求指數型函數的定義域可將底數去掉只看指數的式子，值域求

法用單調性。

(4)分辨不同底的指數函數圖象利用￡=a,用x=l去截圖象得到對

應的底數。

(5)指數型函數:y=N(l+p)x簡寫：y=ka*

二、對數函數

(-)對數

1.對數的概念：一般地，如果a,=N,那么數x叫做以a為底N

的對數，記作：x=log?N

(a一底數，N一真數，log(,N一對數式)

說明：1.注意底數的限制，a>0且aWl；2.真數N>03.注意對

數的書寫格式.

2、兩個重要對數：

(1)常用對數：以10為底的對數，log“)N記為IgN；

(2)自然對數：以無理數e為底的對數的對數，log,N記為InN.

3、對數式與指數式的互化

x=logwNoa'=N

對數式指數式

對數底數一a一基底數

對數一xf指數

真數一N一幕

結論：(1)負數和零沒有對數

(2)logaa=l,logal=0特別地，lgl0=l,lgl=0,lne=l,

lnl=0

(3)對數恒等式：a啕N=N

(二)對數的運算性質

如果a>0,a1,M>0,N>0有：

1>log。(M?N)=log4M+log”N兩個正數的積的對數等于這兩個

正數的對數和

cM

2、log“R=log〃M-bg〃N兩個正數的商的對數等于這兩

個正數的對數差

3、log((M"=nlog?M(neR)一個正數的n次方的對數等于

這個正數的對數n倍

說明：

1）簡易語言表達:“積的對數=對數的和"

2）有時可逆向運用公式

3）真數的取值必須是（0,+8）

4）特別注意：log,MNHlogaMlogaN

log“（M±N）。log（,M±log?N

注意：換底公式log“b=幽”酸（a>0,awl,c>0,cwl/>0）

logcaIga

利用換底公式推導下面的結論

1

①log?b=―一②log/?logftc?logfd=logad（3）logb"=-log?b

log〃a〃m

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數y=bg“x（a>0,且aWl）叫做對數函

數，其中x是自變量，函數的定義域是（0,+8）.

注意：（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意

辨別。

如：y=Iog“?n,y=log“x+2都不是對數函數，而只能稱其為對數

型函數.

(2)對數函數對底數的限制：a>0,且aWl

2、對數函數的圖像與性質：對數函數y=log〃x(a>0,且a#l)

0<a<1a>1

y，y

1

1

1——~

0--------S

0

1優(yōu)、

圖1

1

像

定義域：(0,+°°)值域：R

過點(1,0),即當x=1時,y=0

性在(0,+8)上是減函數在(0,+8)上是增函數

質當x>l時，y<0當x>l時，y>0

當x=l時，y=0當x=l時，y=0

當0〈x〈l時,y>0當0〈x〈l時，y<0

重要結論：在logb中，當a,b同在(0,1)或

a

y=logx

(1,+8)內時,有l(wèi)og*〉。;2

a

當a,b不同在(0,1)內，或不同在a,+8)內時，J謫§5*

有l(wèi)ogb<0.

a

口訣：底真同大于0(底真不同小于0).

(其中，底指底數，真指真數，大于0指log/

d,

的值)3、如

圖，底數a對函數y=log“x的影響。

規(guī)律：底大枝頭低，頭低尾巴翹。

4考點：

I>logab,當a,b在1的同側時，logab>0；當a,b在1的異側

時，logab<0

II、對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行

討論。掌握利用單調性比較對數的大小，同底找對應的對數

函數，底數不同真數也不同利用(1)的知識不能解決的插進

1(=logaa)進行傳遞。

IIL求指數型函數的定義域要求真數>0,值域求法用單調性。

IV、分辨不同底的對數函數圖象利用l=loga,用y=l去截圖象

得到對應的底數。

V、y=a'(a>0且aW1)與y=logaX(a>0且aW1)互為反函

數，圖象關于y=x對稱。

5比較兩個寨的形式的數大小的方法：

(1)對于底數相同指數不同的兩個幕的大小比較,可以利用指數函

數的單調性來判斷.

(2)對于底數不同指數相同的兩個幕的大小比較，可以利用比商法

來判斷.

(3)對于底數不同也指數不同的兩個幕的大小比較，則應通過中間

值來判斷.常用1和0.

6比較大小的方法

(1)利用函數單調性(同底數)；(2)利用中間值(如:0,1.)；

(3)變形后比較；(4)作差比較

(三)募函數

1、事函數定義：一般地，形如y=￡的函數稱為幕函數，其中x是

自變量，a為常數.

2、基函數性質歸納.

(1)所有的幕函數在(0,+8)都有定義，并且

圖象都過點(1,1)；

(2)a>0時，幕函數的圖象通過原點，并且在

［0,+8)上是增函數.特別地，當a>1時-，塞函數的圖象下凸;

當0〈a〈l時-，幕函數的圖象上凸;

(3)a<0時，基函數的圖象在(0,+8)上是減函數.在第一象

限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正

半軸，當x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數y=f(x),使f(x)=0的實數x叫做函

數的零點。(實質上是函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標)

2、函數零點的意義：方程f(x)=0有實數根o函數y=f(x)的圖象與

X軸有交點=函數y=f(X)有零點

3、零點定理：函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的，并

且有f(a)f(b)<0,那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)至少有一個零點

c,使得f(c)=0,此時c也是方程f(x)=0的根。

4、函數零點的求法：求函數y=f(x)的零點：

(1)(代數法)求方程f(x)=0的實數根；

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數

y=f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

5、二次函數的零點：二次函數f(x)=ax"bx+c(aHO).

1)A>0,方程f(x)=O有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩

個交點，二次函數有兩個零點.

2)△=(),方程f(x)=O有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象

與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)A<0,方程f(x)=O無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二

次函數無零點.

二、二分法

1、概念：對于在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷且f(a)f(b)〈O的函數

y=f(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間

的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步驟：

⑴確定區(qū)間［a,b］,驗證f(a)f(b)〈O,給定精確度￡；

⑵求區(qū)間(a,b)的中點c;

⑶計算f(c),

①若f(c)=0,則c就是函數的零點；