高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

—?、集合有關(guān)概念：

1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每

一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性；(2)元素的互異性；(3)元素的無序性

說明：(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)

對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的

對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否

一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一

樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的籃球隊(duì)員｝，｛太平洋,大西洋，印

度洋,北冰洋｝

(1)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

(I)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)

括上。

（II）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)

內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合

的方法。

①語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛x￡R|x-3>2｝或

｛x|x-3>2｝

4、常用數(shù)集及其記法：

數(shù)集記號(hào)

非負(fù)整數(shù)集（即自N

然數(shù)集）

正整數(shù)集N*或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

5、“屬于”的概念（集合與元素的關(guān)系）

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，

就說a屬于集合A記作a￡A,相反，a不屬于集合A記作a史A

6、集合的分類：

1.有限集含有有限個(gè)元素的集合2.無限集含有無限個(gè)元素的集

合3.空集不含任何元素的集合

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系----子集

對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元

素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作

AcB

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集

合。

集合A中有n個(gè)元素,則集合A子集個(gè)數(shù)為21

2.“相等”關(guān)系（525,且5W5,則5=5）

實(shí)例：設(shè)A={x|x2-l=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B

的元素，同時(shí)一，集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說

集合A等于集合B,即：A=B=AqB且B=A

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AcA

②真子集:如果AqB,且AwB那就說集合A是集合B的真子集，記作

AuB（或Bz>A）

③如果AGB,BGC，那么AGC

④如果AqB同時(shí)B2A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為0。

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集

合，叫做A,B的交集.

記作AGB(讀作：“A交B”)，BPAAB={x|xGA,且x￡B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所

組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB(讀作"A并B”)，即A

UB={x|xeA,或x￡B}.

3、交集與并集的性質(zhì)：AAA=A,AA6=6,AAB=BAA,AUA

=A,AU4>=A,AUB=BUA.

4、全集與補(bǔ)集

(1)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，

這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

(2)補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即/

中

所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余

集)。

記作：CSA,即CSA={x|xwS且xeA}

(3)性質(zhì)：⑴Cu(CuA)=A(2)(CuA)AA=0(3)(CuA)UA=U

(4)(CLA)A(CuB)=C式AUB)(5)(CuA)U(CUB)=Cu(AA

B)

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)

關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定

的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B的一個(gè)

函數(shù).記作：y=f(x),x￡A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍

A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值

的集合｛f(x)|x￡A｝叫做函數(shù)的值域.

注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域，則

函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；

2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補(bǔ)充：

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的

定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，

它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

注意：(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值

域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和

對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))。

(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而

與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①定

義域一致；②表達(dá)式相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函

數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.

(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函

數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x￡A)中的x為

橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)

y=f(x),(x￡A)的圖象.

C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以

滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C

上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x￡A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任

意平行于Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組

成。

(2)畫法：

A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列

表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y),最后用平滑

的曲線將這些點(diǎn)連接起來.

B、圖象變換法：

常用變換方法有三種，即平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換

I、對(duì)稱變換：

(1)將丫=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象

(2)y=f(x)^0y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。如

y=ay與y=a-=1—1

(3)y=f(x)^0y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。如

y=log“x與y=-log?x=log,x

?

II、平移變換：由f(x)得到f(x±a)左加右減；由

￡6)得到￡6)±a上加下減

(3)作用：A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析

解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)

間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)

應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一

確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AfB為從集合A到集合

B的一個(gè)映射。記作“f：AfB”

給定一個(gè)集合A到B的映射，如果aSA,beB.且元素a和元素b對(duì)

應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原

象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，①集合A、

B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合

A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

③對(duì)于映射f：AfB來說，則應(yīng)滿足：（I）集合A中的每一個(gè)元

素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（II）集合A中不同的元

素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（山）不要求集合B中的每

一個(gè)元素在集合A中都有原象。

6、函數(shù)的表示法：

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)

等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于x軸的

直線與曲線最多有一個(gè)交點(diǎn)。

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解

析式；觀察函數(shù)的特征；

4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象

法：便于量出函數(shù)值

補(bǔ)充一：分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的

范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解

析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式

并用一個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情

況.注意：(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函

數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域

的并集.

補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u￡M),u=g(x),(x￡A),則y=f[g(x)]=F(x),(x

￡A)稱為f是g的復(fù)合函數(shù)。

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)

的任意兩個(gè)自變量xi,X2,當(dāng)x《X2時(shí)，都有f(Xi)<f(xD,那么就說

f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xi,X2,當(dāng)x《X2時(shí)一，都有

f(x,)>f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為

y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)

的局部性質(zhì)；

2、必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量xi,x2；當(dāng)x〈X2時(shí),，總有

f(Xi)<f(X2)(或f(Xi)>f(X2))。

(2)圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)

在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]

在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右增增增

是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是增減減

下降的.減增減

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方減減增

法

(A)定義法：

1任取x”x2eD,且x〈X2；2作差f(xj-f(x》；3變形(通常是

因式分解和配方)；4定號(hào)(即判斷差f(x)—f(x1的正負(fù))；5下

結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)

u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：口訣：同增異減

注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)

性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

(4)判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的結(jié)論

①函數(shù)y=-/⑺與y=/(幻的單調(diào)性相反；

1

y=

②當(dāng)函數(shù)＞=/(幻恒為正或恒有負(fù)時(shí)，./⑴與函數(shù)的單調(diào)性

相反；

③函數(shù)＞=/(%)與函數(shù)y=/a)+c(c為常數(shù))的單調(diào)性相同；

④當(dāng)c＞o(C為常數(shù))時(shí)，＞=/(幻與丁=。"3的單調(diào)性相同；

當(dāng)c<o(c為常數(shù))時(shí)，y="x)與y=c/a)的單調(diào)性相反;

⑤函數(shù)/(無)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù)；

⑥若〃x)〉0,g(x)>0且/⑴與g(x)都是增(減)函數(shù)，則/(x)?g(x)也是

增(減)函數(shù)；

若/(幻<()遙3<°且/(幻與83者口是增(減)函數(shù)，則/⑴咱⑴也是減

(增)函數(shù)；

⑦設(shè)/(x)>(),若人龍)在定義域上是增函數(shù)，則"在Z?7(x)(%>())、

1

/口)(〃>1)都是增函數(shù)，而/⑴是減函數(shù).

8.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(一

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2)奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(—x)=一

f(x),那么f(那就叫做奇函數(shù).

注意：1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇

偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要

條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則一x也一定是定義域內(nèi)的一

個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定

義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2確定f(—x)與f(x)的

關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(—x)=f(x)或f(-x)-f(x)=

0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(—x)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,

則f(x)是奇函數(shù).

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首

先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶

函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比

較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判

定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相

同；

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰

相反.

②奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

③若/⑶為偶函數(shù)，則/(-x)=/(x)=/(|x|).

④若奇函數(shù)/(x)定義域中含有0,則必有/(0)=0.

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)

奇函數(shù)F(x)與一個(gè)偶函數(shù)G⑶的和(或差)”.如設(shè)/⑶是定義域?yàn)镽

的任一函數(shù)，則F(x)力,G(X)=△.漱△?)..

22

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：''內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)(/(九)=(),定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任

意一個(gè)數(shù)集).

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函

數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定

義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法

等，A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；B、已知

復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值

范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時(shí)，也可用湊配法；C、若已知抽象函數(shù)

表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p30頁)

(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值；

(2)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；

(3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)

y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單

調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值

f(b)；

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)然的運(yùn)算

1.根式的概念：

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；。的任何次方根都是0,記作而=0。

注意：⑴(折)"=a

(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，而，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，

-a,。<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義，規(guī)定：=V？7(?>Q,m,n^N\fin>1)

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義：加"=r(a>0,加,〃eN*,且〃>1)

a"

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)越等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)零沒有意義

3.實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras=ar+s(a〉0,r,seR)

(2)(優(yōu))"=a"(a>0,r,seR)

(3)(ab)r=a'br(a>0,/?>0,re/?)

注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能輕易約分；如

[(1一夜)2]5H1_0而應(yīng)=0一1

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)>=優(yōu)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是

自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.即

a>0且aWl

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<a<la>l

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

向X軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

共性圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0,1）過定點(diǎn)（0,1）

自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都當(dāng)x>0時(shí),0<y<l;

0<a<l小于1

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都當(dāng)x<0時(shí),y>l

大于1

圖象上升趨勢(shì)是越來越緩函數(shù)值開始減小極

快，

到了某一值后減小速

度較慢；

自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都當(dāng)x>0時(shí),y>l;

a>l大于1

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都當(dāng)x<0時(shí),0<y<l

小于1

圖象上升趨勢(shì)是越來越陡函數(shù)值開始增長較

慢，

到了某一值后增長速

度極快；

注意：指數(shù)增長模型：y=N(l+p)x指數(shù)型函數(shù)：y=kax

3考點(diǎn)：(1)ab=N,當(dāng)b>0時(shí)，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b〈0時(shí)，a,N在

1的異側(cè)。

(2)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行討

論。掌握利用單調(diào)性比較嘉的大小，同底找對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，

底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)l(=a0)進(jìn)行傳遞或者利用(1)的知

識(shí)。

(3)求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求

法用單調(diào)性。

(4)分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用￡=a,用x=l去截圖象得到對(duì)

應(yīng)的底數(shù)。

(5)指數(shù)型函數(shù):y=N(l+p)x簡寫：y=ka*

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

(-)對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果a,=N,那么數(shù)x叫做以a為底N

的對(duì)數(shù)，記作：x=log?N

(a一底數(shù)，N一真數(shù)，log(,N一對(duì)數(shù)式)

說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且aWl；2.真數(shù)N>03.注意對(duì)

數(shù)的書寫格式.

2、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

(1)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)，log“)N記為IgN；

(2)自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)，log,N記為InN.

3、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

x=logwNoa'=N

對(duì)數(shù)式指數(shù)式

對(duì)數(shù)底數(shù)一a一基底數(shù)

對(duì)數(shù)一xf指數(shù)

真數(shù)一N一幕

結(jié)論：(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)

(2)logaa=l,logal=0特別地，lgl0=l,lgl=0,lne=l,

lnl=0

(3)對(duì)數(shù)恒等式：a啕N=N

(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,a1,M>0,N>0有：

1>log。(M?N)=log4M+log”N兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)

正數(shù)的對(duì)數(shù)和

cM

2、log“R=log〃M-bg〃N兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩

個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)差

3、log((M"=nlog?M(neR)一個(gè)正數(shù)的n次方的對(duì)數(shù)等于

這個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)n倍

說明：

1）簡易語言表達(dá):“積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和"

2）有時(shí)可逆向運(yùn)用公式

3）真數(shù)的取值必須是（0,+8）

4）特別注意：log,MNHlogaMlogaN

log“（M±N）。log（,M±log?N

注意：換底公式log“b=幽”酸（a>0,awl,c>0,cwl/>0）

logcaIga

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

1

①log?b=―一②log/?logftc?logfd=logad（3）logb"=-log?b

log〃a〃m

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=bg“x（a>0,且aWl）叫做對(duì)數(shù)函

數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意

辨別。

如：y=Iog“?n,y=log“x+2都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)

型函數(shù).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：a>0,且aWl

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對(duì)數(shù)函數(shù)y=log〃x(a>0,且a#l)

0<a<1a>1

y，y

1

1

1——~

0--------S

0

1優(yōu)、

圖1

1

像

定義域：(0,+°°)值域：R

過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí),y=0

性在(0,+8)上是減函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)

質(zhì)當(dāng)x>l時(shí)，y<0當(dāng)x>l時(shí)，y>0

當(dāng)x=l時(shí)，y=0當(dāng)x=l時(shí)，y=0

當(dāng)0〈x〈l時(shí),y>0當(dāng)0〈x〈l時(shí)，y<0

重要結(jié)論：在logb中，當(dāng)a,b同在(0,1)或

a

y=logx

(1,+8)內(nèi)時(shí),有l(wèi)og*〉。;2

a

當(dāng)a,b不同在(0,1)內(nèi)，或不同在a,+8)內(nèi)時(shí)，J謫§5*

有l(wèi)ogb<0.

a

口訣：底真同大于0(底真不同小于0).

(其中，底指底數(shù)，真指真數(shù)，大于0指log/

d,

的值)3、如

圖，底數(shù)a對(duì)函數(shù)y=log“x的影響。

規(guī)律：底大枝頭低，頭低尾巴翹。

4考點(diǎn)：

I>logab,當(dāng)a,b在1的同側(cè)時(shí)，logab>0；當(dāng)a,b在1的異側(cè)

時(shí)，logab<0

II、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行

討論。掌握利用單調(diào)性比較對(duì)數(shù)的大小，同底找對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)

函數(shù)，底數(shù)不同真數(shù)也不同利用(1)的知識(shí)不能解決的插進(jìn)

1(=logaa)進(jìn)行傳遞。

IIL求指數(shù)型函數(shù)的定義域要求真數(shù)>0,值域求法用單調(diào)性。

IV、分辨不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象利用l=loga,用y=l去截圖象

得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)。

V、y=a'(a>0且aW1)與y=logaX(a>0且aW1)互為反函

數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。

5比較兩個(gè)寨的形式的數(shù)大小的方法：

(1)對(duì)于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個(gè)幕的大小比較,可以利用指數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性來判斷.

(2)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)幕的大小比較，可以利用比商法

來判斷.

(3)對(duì)于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個(gè)幕的大小比較，則應(yīng)通過中間

值來判斷.常用1和0.

6比較大小的方法

(1)利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；(2)利用中間值(如:0,1.)；

(3)變形后比較；(4)作差比較

(三)募函數(shù)

1、事函數(shù)定義：一般地，形如y=￡的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是

自變量，a為常數(shù).

2、基函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且

圖象都過點(diǎn)(1,1)；

(2)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在

［0,+8)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)a>1時(shí)-，塞函數(shù)的圖象下凸;

當(dāng)0〈a〈l時(shí)-，幕函數(shù)的圖象上凸;

(3)a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象在(0,+8)上是減函數(shù).在第一象

限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正

半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函

數(shù)的零點(diǎn)。(實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與

X軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=f(X)有零點(diǎn)

3、零點(diǎn)定理：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的，并

且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)至少有一個(gè)零點(diǎn)

c,使得f(c)=0,此時(shí)c也是方程f(x)=0的根。

4、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)：

(1)(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)

y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

5、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)f(x)=ax"bx+c(aHO).

1)A>0,方程f(x)=O有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩

個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=(),方程f(x)=O有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象

與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)A<0,方程f(x)=O無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二

次函數(shù)無零點(diǎn).

二、二分法

1、概念：對(duì)于在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷且f(a)f(b)〈O的函數(shù)

y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間

的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步驟：

⑴確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證f(a)f(b)〈O,給定精確度￡；

⑵求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

⑶計(jì)算f(c),

①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；