高三數(shù)學一輪復習：第13講 直線與圓的方程

第13講直線、圓的方程

【課標要求】

1.直線與方程

（D在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要

；

（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過

程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；

（3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點

斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；

2.圓與方程

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與

一般方程。

【命題走向】

直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)

問題，可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是

參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。

預測2010年對本講的考察是：

（1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結(jié)合思

想的考察也會是一個出題方向；

（2）熱點問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方穩(wěn)

三.【要點精講】

1.傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做

直線的傾斜角，范圍為人兀）。

2.斜率：當直線的傾斜角不是90。時，則稱其正切值為該直線的斜率，即

k=tana；當直線的傾斜角等于90。時，直線的斜率不存在.

過兩點P円"〃”）（x產(chǎn)X）的直線的斜率公式:k±na=H（若

21

X=x,則直線pp的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90。）。

,4.直線方理圉五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直

線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。

名稱方程說明適用條件

k——斜率傾斜角為90。的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

b——縱截距不能用此式

（x,y）——直線上傾斜角為90°的直線

點斜式y(tǒng)-y=k(x-x)0,0

00已知點，k斜率不能用此式

2

)'一);二一,（x,y）,（x,y）是與兩坐標軸平行的直

兩點式直綾上兩個點知志

y-VX-X線不能用此式

9171

過（0,0）及與兩坐

a——直線的橫截距

截距式二+2=1標軸平行的直線不能

ahb——直線的縱截距

用此式

一反分別

BAB

一般式Ax+By+C=0

為斜率、橫截距和縱A、B不能同時為零

截距

直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于X軸）的直線；兩點式

不能表示平行或重合兩坐標軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標軸的直

線及過原點的直線。

5.圓的方程

圓心為。（。力），半徑為r的圓的標準方程為：（x-a）2+（y—與2=「2（「〉0）。

特殊地，當4=6=（）時，圓心在原點的圓的方程為：X2+>2r2o

_np

圓的一般方程無2+y2+Dr+Ey+F=0,圓心為點（-受「5）,半徑

7=+一"，其中￡)2+E2-4F>0。

2

二元二次方程Ax2+。2+m+￡>+尸=0,表示圓的方程的充要條件

是：①、X2項》2項的系數(shù)相同且不為0,即A=CH（）；②、沒有xy項，即

B=0；③'D2+￡2-4AF>0o

四.【典例解析】

題型1：直線的傾斜角

例1.（2008四川理，4）.

直線y=3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移1個單

位，所得到的直線為（A）

（A）y--lx+1（B）y--Ax+1（C）

333

y=3x-3(D)y=—x+1

3

【解】：，.直線y=3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。的直線為y=從而淘汰

(C),(D)

3

又???將v=—lx向右平移1個單位得y=—l（x-D,即》=一3+1故

33-33

選A；

【點評】：此題重點考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；

【突破］：熟悉互相垂直的直線斜率互為負倒數(shù)，過原點的直線無常數(shù)項；重視

平移方法：“左加右減”；

點評：本題重點考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。

例2.（上海文,18）過圓C：（x-l）2+（y—l）2=l

的圓心，作直線分

別交x、y正半軸于點A、B,AAO3被圓分成

四部分（如圖），

若這四部分圖形面積滿足S+S=S+S,則

Iriin

直線AB有（）

（A）0條（B）1條（C）2條(D)3條

【解析】由已知，得：S-S=S-5,,第II,IV部分的面

IV//III1

積是定值，所以，S-S為定值，即S-S,為定值，當直線

IVIIIII1

AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線

AB只有一條，故選B。

【答案】B

題型2：斜率公式及應用

例3.全國I文16）若直線機被兩平行線/:x-y+l=O與/:x-y+3=0所截得的

12

線段的長為2嫗，則，”的傾斜角可以是

①15②30③45④60⑤75

其中正確答案的序號是.（寫出所有正確答案的序號）

13-11

【解析】解：兩平行線間的距離為d==氏由圖知直線機與t的夾角為

30。，I的傾斜角為45",所以直線”的傾斜角等甘0。+45。=75?；?/p>

1

45?！?0。=15。o

4

【答案】①⑤

(2)已知過原點。的一條直線與函數(shù)y=logx的圖象交于A、B兩點，分別過點

A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=logx的圖蒙交于C、D兩點。

(1)證明點C、D和原點。在高一條直線上。

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標。

解析：(1)如圖，實數(shù)x,y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分(包括邊界)，

而丄=上二2表示點(x,y)與原點連線的斜率，

xx-0

則直線A0的斜率最大，其中A點坐標為(1,2),

此時k=』，所以上的最大值是」。

OA2x2

點評：本題還可以設丄=3則＞="，斜率k

X

的最大值即為上的最大值，但求解頗費周折。

X

(2)證明：設A、B的橫坐標分別為x,x,由題設知X>1,X>1,點A

1212

(X,logx),B(x,Iogx).

181282

因為A、B在過點。的直線上，所以"乙=嵯4,

XX

I2

又點c、D的坐標分別為(X,logX),(X,logX)

21222

宀工?l°g%logX

由于logx=_T=3logx,logx=-----8_2_=3logX,

21log28122log282,

88

所以oc的斜率和OD的斜率分別為

logx3logxlogx3logx

k=?」=_______X1,K丿、=X2

ocxxof)XX

1122

由此得k=k,即0、C、D在同一條直線上。

OCCD

由BC平彳幵x軸，有l(wèi)ogx=logx,解得x=X3

218221

宀一小、logXlogX9

將其代入--S_L=-----------8_2_,得X3|ogX=3x|ogX.

XX181181

12

由于X"知log/產(chǎn)0,故x：=3x「\=向于是點A的坐標為

颶戶).

點評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象'對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程

等基礎知識，考查運算能力和分析問題的能力。

5

點評：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導的方法求最值等。但將問

題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準確與清晰。

題型3：直線方程

例4.已知直線的點斜式方程為y-1=-3Q-2),求該直線另外三種特殊形式的

4

方程。

解析：(1)將y-1=-3(X-2)移項、展開括號后合并，即得斜截式方程

4

(2)因為點(2,1)、(0,1)均滿足方程y-1=-如-2),故它們?yōu)橹?/p>

線上的兩點。

由兩點式方程得：=1=七二

5.0-2

——1

2

2

355

(3)由y=-三x+2知：直線在y軸上的截距6=2

-422

又令y=0,得x=?

故直線的截距式方程嚙+3=1

T2

點評：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條

件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時，要根據(jù)問題

的條件、結(jié)論，靈活恰當?shù)剡x用公式，使問題解得簡捷、明了。

例5.直線/經(jīng)過點P(-5,-4),且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5,求

直線/的方程。

解析：設所求直線/的方程為t+3=l，

ab

_5-4

:直線/過點P(-5,-4),—=1,即4a+5A=-

ah

又由已知有f=5,即砌=io,

f5_

r4。+5b=—ciha=——cri=5

解方程組s1A，得：2或:“

故所求直線/的方程為：-4+2=1,或2+3=1。

545-2

2

6

即8x-5y+20=0,或2x-5y-10=0

點評：要求/的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種:

（1）從點的坐標。，0）或（0,。中直接觀察出來；

（2）由斜截式或截距式方程確定截距；

（3）在其他形式的直線方程中，令x=0得y軸上的截距b；令＞=0得出x

軸上的截距a0

總之，在求直線方程時，設計合理的運算途徑比訓練提高運算能力更為重

要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

題型3：直線方程綜合問題

例5.（重慶理，1）直線y=x+l與圓光2+產(chǎn)=1的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心

D.相離

即入一y+1=0的總巨離d=-L

【解析】圓心（0,0）為到直線y=x+1,

0＜之＜1,選B。

2

【答案】B

【點評】：此題重點考察圓的標準方程和點到直線的距離;

【突破】：數(shù)形結(jié)合，使用點C到直線/的距離距離公式

例6.（天津文，14）若圓X2+y2=4與圓X2+y2+2ay-6=0（。＞0）的公共弦長

為2^/5,則2=.

【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為=丄，

a

111,------------

利用圓心（0,0）到直線的距離d=冬為｛22-妻2=],解得a=L

J1

【答案】1

（2）已知動圓過定點P（1,0）,且與定直線I：x=-1相切，點C在丨上。

（I）求動圓圓心的軌跡M的方程；

（II）設過點P,且斜率為一壺的直線與曲線M相交于A、B兩點。

7

(i)問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理

(ii)當AABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍。

(I)解法一，依題意，曲線M是以點P為焦點，直線I為準線的拋物線,

所以曲線M的方程為y?=4x.

解法二：設M(x,y),依題意有設P|=|MN|,

所以Ix+1|=J(x-1)2+,2?；喌茫簓?=4xo

(ID(i)由題意得，直線AB的方程為丫=一戶(x-13455

)--v3(.r-l),消丫得3xiox+3=o,

解得T，x?

所以A點坐標為(；學)，B點坐標為(3,-273),

假設存在點C(-1,y),使AABC為正三角形，則BC|=|AB|且

|AC|=|AB|,即

(3+1)2+(y+2⑶2=(,2,①

V

(〈+1)2+(y-：)2=(2)2.②

由①—②得4?+(y+2j5)2=(—)2+(y—)2,

所以由①，②組成的方程組無解

因此，直線?上不存在點C,使得AABC是正三角形。

8

y=_?(%_1),

(ii)解法一：設c(-1,y)使aABC成鈍角三角形，由

x=-1.

得y=20,

即當點C的坐標為(-1,2/)時，A、B、C三點共線，故收2/。

一…,1、，2/、284J分

又|AC|z=(-1——)2+(y-------)2=———---------+y2

3393

|BC|2=(3+1)2+(y+2/)2=28+4j5y+yz,

|AB|2=(；)256

2=-----------

9

、“CAC丄科厶-IABI2+IACI2-IBCI2

當ZCAB為鈍角時，cosA能----------------------<0o

2\AB\-\AC\

即|BC|z>|AC|2+|AB|2,即28+46+>>竺m宀2+竺,

939

2

即時，NCAB為鈍角.

當|AC|〉|BC|2+|AB|2,即?一￥y+y2>28+4Qy+y2+等，

939

即y〈一^J5時，NCBA為鈍角。

又|AB|2>|AC|Z+|BC|2,即坐〉三—MZ^+>2+28+4j5y+y2,

993

442

即戶+兩+<0,(y+)2<0o

33J3

該不等式無解，所以NACB不可能為鈍角。

因此，當AABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是

丁<-里或>>竽("23)。

39

c2R

解法二：以AB為直徑的圓的方程為(x—3)2+(y+-V3)2=(3)?°

9

C22

圓心(可，一§/)到直線I：x=-1的距離為可，

所以，以AB為直徑的圓與直線I相切于點G(-1,一手)。

當直線I上的C點與G重合時，NACB為直角，當C與G點不重合，且A、

B、C三點不共線時，NACB為銳角，即AABC中，NACB不可能是鈍角。

因此，要使aABC為鈍角三角形，只可能是NCAB或NCBA為鈍角，

過點A且與AB垂直的直線方程為y-胃=*%-；)。

人皿2的

令x=-1得丫=彳-。

9

過點B且與AB垂直的直線方程為y+2Q=W(x—3)。

令x=—1得y=——W°

又由卩=3"T)，解得y=2F,

x=-1.

所以，當點C的坐標為(-1,20)時，A、B、C三點共線，不構(gòu)成三角

形。

因此，當AABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是y＜一早

或(y手271)o

9

點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了

“注重學科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運

用數(shù)學知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類

討論的思想、方程的思想該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進

行了不同程度的考查對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。

題型4：圓的方程

例7.(1)已知AABC的三個項點坐標分別是A(4,1),B(6,-3),C

(-3,0),求AABC外接圓的方程。

分析：如果設圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,將三個頂點坐標分別代

入,即可確定出三個獨立參數(shù)a,b,r,寫出圓的標準方程；如果注意到&BC

10

外接圓的圓心是AABC三邊垂直平分線的交點，由此可求圓心坐標和半徑，也可

以寫出圓的標準方程。

解法一：設所求圓的方程是(x-a)2+(y-⑥2=「2①

因為A(4,1),B(6,—3),C(—3,0)都在圓上,

所以它們的坐標都滿足方程①，于是

(4一。)2+(1—與2=廠2,4=1,

<(6-a)2+(—3—b)2—r2,可解得<b=-3,

(-3-a)2+(0-b)2-ri.72=25.

所以aABC的外接圓的方程是(x-1”+(>+3)2=25。

解法二：因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直

干分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點坐標就是圓心坐

標。

”W=2(呈7,線段AB的中點為(5,-1),線

段BC的中點為弓3,-3扌，

二.AB的垂直平分線方程為

BC的垂直平分線方程y+士3=3(x-口3

22

V=1

解由①②聯(lián)立的方程組可得‘

卜=-3.

「.△ABC外接圓的圓心為E(1,-

圖4—1

3),

半徑r=lAEh^(4-1)2+(1+3)2=5。

故4ABC外接圓的方程是(x-1)2+(y+3)2=25.

點評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)o

(2)求過A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)三點的圓的方程，并求這

個圓的半徑長和圓心坐標。

分析：細心的同學已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方

法求圓的方程.現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解(解法三)，可以比較一下哪種

方法簡捷。

解析：設圓的方程為尤2+y2+￡)x+4+/=0①

因為三點A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圓上，所以它們的坐

標都是方程①的解，將它們的坐標分別代入方程①，得到關(guān)于D,E,F的一個三

元一次方程組：

II

42+12+4。+E+F=0D=-2

<62+(-3)2+6D-3E+F=0解得<E-6o

(—3)2+02—30+0?E+F=0F=-15

所以，圓的方程是X2+>2-2x+6y-15=0。

圓心是坐標(1,-3),半徑為r=L，D2+E2—4F=5。

2

點評：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法.一般地，在選用圓的方程

形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標準方程比較方便，否則選用一般方程

方便些。

例8.若方程x2+y2—2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0。

(1)當且僅當加在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個圓。

(2)當加在以上范圍內(nèi)變化時，求圓心的軌跡方程。

解析：(1)由尤2+>2-2(機+3)x+2(1—4;〃2)y+16m4+9=0,

=[x-(m+3)]2+[y4-(1-4m2)]2=1+6m-Imi,

當且僅當1+6m—7加2>0時,

即｛加一;<加<1｝時，給定的方程表示一個圓。

x=/％+31

(2)設圓心坐標為(x,y),貝?乂(--</??<1)(用為參數(shù))。

y=4機2-17

20

消去參數(shù)加ny=4(3—x)2-1,y=4(x—3)2-1(亍<x<4)為所求圓心

軌跡方程。

點評：圓的一般方程x2+y2+Dr+Ey+E=0,圓心為點(-多-島，半徑

_+E2-4F

1=------X------，其中￡)2+￡2-4F>0o

2

題型5：圓的綜合問題

例9.如圖2,在平面直角坐標系中，給定y軸正半軸上兩點A(0,a),B

(0,b)(a>b>0),試在x軸正半軸上求一點C,使NACB取得最大值.

12

圖2

解析：設c是X軸正半軸上一點，在aABC中由正弦定理，有

sinACB=^—0

2R

其中R是AABC的外接圓的半徑。

可見，當R取得最小值時，NACB取得最大值。

在過A、B兩定點且與x軸正向有交點C的諸圓中，當且僅當點C是圓與x

軸的切點時，半徑最小。故切點C即為所求。

由切割線定理，得：06=0A?OB=ab

所以便，即點C的坐標為(成，0)時，NACB取得最大值。

點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學分支中都有廣泛的

應用。對一些數(shù)學問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設與結(jié)論之間的關(guān)系,

從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。

例10.已知O0'過定點A(0,

p)(p>o),圓心0'在拋物線X2=2py上運

動，MN為圓5截x軸所得的弦，令

|AM|二d,|AN|=d,ZMAN=0o

12

(1)當O'點運動時，IMN|是否有

變化？并證明你的結(jié)論；

(2)求4+扌的最大值，并求取得

21

最大值的e值。

解析：設。,(xo)yo),貝卜產(chǎn)py。(y產(chǎn))，°。，的半徑I。，

A|=J4+(%-p)2,。0'的方程為(x-x0)2+(y-y?2=x02+(y°-p)2。令y=0,并把

x2=2py代入得X2—2xx+x2—p2=0,解得x=x-p,x=x+p,|MN|=|X-

0,0.」，亠00M0N0N

\|=2p為定值。

(2)-/MCx-p,0),N(x+p,0)

00

13

-'-d二Ip2+(x—p)2,d=J"+(x+〃)2,貝ljd2+d2=4p2+2x2,

1V02V0120

dd=J4〃4+工4,

12、'0

d,