2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題09 正方形中的對稱、折疊問題含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題09正方形中的對稱、折疊問題正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，關(guān)于對稱可以考察對稱的基本性質(zhì)，也可以有關(guān)于構(gòu)造對稱，而涉及到計算的，無非就是勾股或者三角函數(shù)．一、典例精析（2019·蘭州）如圖，邊長為的正方形的對角線與交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則A． B． C． D．【長度的計算——勾股定理】（2019·青島）如圖，在正方形紙片中，是的中點，將正方形紙片折疊，點落在線段上的點處，折痕為．若AD=4，則的長為．【對稱性質(zhì)——對稱點連線被對稱軸垂直且平分】（2019·天津）如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接、折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，點在上，若，則的長為．（2019·上海）如圖，在正方形中，是邊的中點．將沿直線翻折，點落在點處，聯(lián)結(jié)，那么的正切值是．【構(gòu)造對稱——將軍飲馬問題】（2019·陜西）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且．為對角線上一點，則的最大值為．（2019·安徽）如圖，在正方形中，點，將對角線三等分，且，點在正方形的邊上，則滿足的點的個數(shù)是A．0 B．4 C．6 D．8二、中考真題演練1．（2020?資陽）如圖，在邊長為4的正方形中，點是邊上的一點，將沿翻折得到，連接，使，則的長是A．1 B． C． D．2．（2021?牡丹江）如圖，正方形的邊長為3，為邊上一點，．將正方形沿折疊，使點恰好與點重合，連接，，，則四邊形的面積為A． B． C．6 D．53．（2020?廣東）如圖，在正方形中，，點，分別在邊，上，．若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為A．1 B． C． D．24．（2021?東營）如圖，正方形紙片的邊長為12，點是上一點，將沿折疊，點落在點處，連接并延長交于點．若，則的長為．5．如圖，邊長為1的正方形中，點為的中點．連接，將沿折疊得到，交于點，求的長．專題09正方形中的對稱、折疊問題正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，關(guān)于對稱可以考察對稱的基本性質(zhì)，也可以有關(guān)于構(gòu)造對稱，而涉及到計算的，無非就是勾股或者三角函數(shù)．一、典例精析（2019·蘭州）如圖，邊長為的正方形的對角線與交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則A． B． C． D．【分析】由題意可得：DF⊥EC，易證△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．故選D．【長度的計算——勾股定理】（2019·青島）如圖，在正方形紙片中，是的中點，將正方形紙片折疊，點落在線段上的點處，折痕為．若AD=4，則的長為．【分析】∵E點是CD中點，∴，∴，由折疊可知AG=AB=4，∴，設(shè)CF=x，則，，在Rt△EFG中，，在Rt△CEF中，，∴，解得：．∴CF的長為．【對稱性質(zhì)——對稱點連線被對稱軸垂直且平分】（2019·天津）如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接、折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，點在上，若，則的長為．【分析】易證△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，記AE與BF交點為H，，又，∴，，∴．故GE的長為．

（2019·上海）如圖，在正方形中，是邊的中點．將沿直線翻折，點落在點處，聯(lián)結(jié)，那么的正切值是．【分析】如圖，點F如圖所示，連接BF、DF、EF、AF，記AF與BE交點為H，由對稱可知AF⊥BE，點H是AF中點，又點E是AD中點，∴EH是△DF邊所對的中位線，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，∴tan∠EDF=tan∠AEB=2．【構(gòu)造對稱——將軍飲馬問題】（2019·陜西）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且．為對角線上一點，則的最大值為．【分析】作點M關(guān)于BD的對稱點，根據(jù)對稱性可知在AB上且，連接，則，∴，當(dāng)、N、P共線時，此時，取到最大值．∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，∴，故PM-PN的最大值為2．（2019·安徽）如圖，在正方形中，點，將對角線三等分，且，點在正方形的邊上，則滿足的點的個數(shù)是A．0 B．4 C．6 D．8【分析】可以先考慮一邊上點P的數(shù)量，再由對稱性得所有點P的個數(shù)．考慮在AD上任取一點P，所得PE+PF的最小值和最大值．先求PE+PF最小值：作點E關(guān)于直線AD的對稱點，連接、，則PE+PF=，當(dāng)、P、F共線時，取到最小值，此時，顯然>9，∴在AD上存在兩個點P使得PE+PF=9，在正方形的邊上有8個這樣的點P，故本題選D．二、中考真題演練1．（2020?資陽）如圖，在邊長為4的正方形中，點是邊上的一點，將沿翻折得到，連接，使，則的長是A．1 B． C． D．解：過點作于點，并延長交于點，，，設(shè)，則，，將沿翻折得到，，，，，，，，，，，，，，．故選：．2．（2021?牡丹江）如圖，正方形的邊長為3，為邊上一點，．將正方形沿折疊，使點恰好與點重合，連接，，，則四邊形的面積為A． B． C．6 D．5解：設(shè)，，正方形的邊長為3，，，由折疊可得，，，在中，，即，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，故選：．3．（2020?廣東）如圖，在正方形中，，點，分別在邊，上，．若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為A．1 B． C． D．2解：四邊形是正方形，，，，將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，，，，，設(shè)，則，，，解得．故選：．4．（2021?東營）如圖，正方形紙片的邊長為12，點是上一點，將沿折疊，點落在點處，連接并延長交于點．若，則的長為．解：設(shè)與交于點，將沿折疊，點落在點處，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：．5．如圖，邊長為1的正方形中，點為的中點．連接，將沿折疊得到，交于點，求的長．解：延長交于，連接．四邊形是正方形，，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，點是的中點，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．專題10將軍飲馬模型（一）對稱問題一、什么是將軍飲馬？如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？作點A關(guān)于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）中考真題演練1．（2021?青海）如圖，正方形的邊長為8，點在上且，是上的一動點，則的最小值是．2．（2020?永州）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，且，在內(nèi)有一點，，分別是，邊上的動點，連接，，，則周長的最小值是．3．（2021?西藏）如圖，在中，，，，點是線段上一動點，點在線段上，當(dāng)時，的最小值為A． B． C． D．4．（2021?綏化）已知在中，，，，點為邊上的動點，點為邊上的動點，則線段的最小值是A． B． C． D．5．（2019?黑龍江）如圖，正方形的邊長為4，點是對角線上一動點，點是邊的中點，則的最小值為．6．（2021?西寧）如圖，是等邊三角形，，是的中點，是邊上的中線，是上的一個動點，連接，，則的最小值是．7．（2021?畢節(jié)市）如圖，在菱形中，，，為的中點，為對角線上的任意一點，則的最小值為．8．（2020?宜賓）如圖，四邊形中，，，，，，是邊上的動點，則的最小值是．9．（2020?畢節(jié)市）如圖，已知正方形的邊長為4，點是邊的中點，點是對角線上的動點，則的最小值是．10．（2020?內(nèi)江）如圖，在矩形中，，，若點、分別是線段、上的兩個動點，則的最小值為．專題10將軍飲馬模型（一）對稱問題一、什么是將軍飲馬？如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？作點A關(guān)于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）中考真題演練1．（2021?青海）如圖，正方形的邊長為8，點在上且，是上的一動點，則的最小值是．解：正方形是軸對稱圖形，點與點是關(guān)于直線為對稱軸的對稱點，連接，，，，連接交于點，點為上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點運動到點時，，的最小值為的長度，四邊形為正方形，，，，，的最小值是10．故答案為：10．2．（2020?永州）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，且，在內(nèi)有一點，，分別是，邊上的動點，連接，，，則周長的最小值是．解：分別作關(guān)于射線、射線的對稱點與點，連接，與、分別交于、兩點，此時周長最小，最小值為的長，連接，，，、分別為，的垂直平分線，，，且，，，，過作，可得，，，，，則周長的最小值是．故答案為：．3．（2021?西藏）如圖，在中，，，，點是線段上一動點，點在線段上，當(dāng)時，的最小值為A． B． C． D．解：作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，，，的最小值為的長，過點作于點，，，，，，，在△中，，，，，，，在中，，的最小值為，故選：．4．（2021?綏化）已知在中，，，，點為邊上的動點，點為邊上的動點，則線段的最小值是A． B． C． D．解：作關(guān)于的對稱點，延長、交于點，，，，當(dāng)、、共線且與垂直時，長度最小，即求的長，即作于，在中，，故選：．5．（2019?黑龍江）如圖，正方形的邊長為4，點是對角線上一動點，點是邊的中點，則的最小值為．解：如圖，連接交于點，因為四邊形是正方形，所以點和關(guān)于對稱，所以，所以，根據(jù)兩點之間線段最短，可知：的最小值即為的長，在中，，，根據(jù)勾股定理，得．所以的最小值為．故答案為：．6．（2021?西寧）如圖，是等邊三角形，，是的中點，是邊上的中線，是上的一個動點，連接，，則的最小值是．解：連接，，是等邊三角形，是中線，，，是的垂直平分線，，，即當(dāng)點、、三點共線時，最小值為的長，點是的中點，，，，最小值為：，故答案為：．7．（2021?畢節(jié)市）如圖，在菱形中，，，為的中點，為對角線上的任意一點，則的最小值為．解：如圖，連接，，．四邊形是菱形，，在和中，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，的最小值為．故答案為：．8．（2020?宜賓）如圖，四邊形中，，，，，，是邊上的動點，則的最小值是．解：延長到，使，連接交于．則就是的和的最小值．，，，，，△，，，，，，，，，的最小值是，故答案為．9．（2020?畢節(jié)市