最優(yōu)捕魚策略

最優(yōu)捕魚策略最優(yōu)捕魚策略摘要為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源〔如漁業(yè)、林業(yè)資源等〕的開發(fā)必須適度。而在社會經濟生活中,我們要使商業(yè)活動在一段時期內到達最大收益,因此我們要合理的開發(fā)資源，這時,我們不僅要考慮商業(yè)活動的當前經濟效益,還要考慮生態(tài)效益及由此產生的對整體經濟效益的影響。本文就是對漁業(yè)這類可再生資源的開發(fā)問題進行研究，利用相關的數學軟件進行求解。對于問題一，我們考慮漁場生產過程中的各年齡組魚群數量的制約因素，將其分為兩大類，第1,2齡魚群為一類，該魚群數量變化在一年內只受自然死亡率制約，寫出魚群數量滿足的微分方程；第3,4齡魚群為一類，其數量變化在前8個月受捕撈強度和自然死亡率影響，后4個月只受自然死亡率的制約，分階段寫出寫出魚群數量滿足的微分方程；根據微分方程，求出在某時刻各魚群的數量表達式〔類似于人口增長模型〕。因為捕撈是連續(xù)的，所以任意一個時刻的捕撈量為捕撈強度乘以魚群的數量，又捕撈只在前8個月進行，那么年捕撈量為前8個月各時刻魚群數量的積分。最后建立年總捕撈量的函數與生產過程中滿足的關系式，轉化為非線性規(guī)劃模型，利用lingo和matlab軟件分別求解。對于問題二，題中已給出各年齡組魚群的初始值，我們利用問題一中所得到的迭代方程，可迭代地求出第i年初各年齡組魚群的數量；再根據問題一中的捕撈量表達式，可寫出5年的捕撈總量表達式，以5年捕撈總量最大為前提，利用matlab軟件求解出此時的捕撈強度，然后再驗證在此捕撈強度下會不會使5年后魚群的生產能力有太大的破壞。最后，我們得出以下結論：可持續(xù)捕獲條件下，捕撈強度為17.36292時，到達最大捕撈總質量g；5年后魚群的生產能力不會有太大的破壞條件下，捕撈強度為，到達最大最大捕撈總質量關鍵詞：漁業(yè)最大收益捕撈策略生產能力生長率lingomatlab一．問題重述生態(tài)學說明，對可再生資源的開發(fā)策略應在事先可持續(xù)收獲的前提下追求最大經濟效益，考慮具有4個年齡組：1齡魚，……，4齡魚的某種魚。該魚類在每年后4個月季節(jié)性集中產卵繁殖。而按規(guī)定，捕撈作業(yè)只允許在前8個月進行，每年投入的捕撈能力固定不變，單位時間捕撈量與各年齡組魚群條數的比例稱為捕撈強度系數。使用只能捕撈3，4齡魚的13mm網眼的拉網，其兩個捕撈強度系數比為0.42：1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。該魚群本身有如下數據：各年齡組魚的自然死亡率為0.8〔1/年〕，其平均質量分別為5.07，11.55，17.86，22.99〔單位：g〕；1，2齡魚不產卵，平均每條4齡魚產卵量為〔個〕，3齡魚為其一半；卵孵化的成活率為〔n為產卵總量〕；有如下問題需要解決：1.1．問題一就是在實現可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變)的前提下，用固定努力量的捕撈方式，確定捕撈策略以得到最大捕撈總質量。1.2．問題二就是給出了承包時各年齡組魚群的數量，要求5年后魚群的生產能力不會有太大的破壞，在用固定努力量的捕撈方式的前提下，確定捕撈策略，求出最大捕撈總質量。綜上所述，原問題實質上是給出了各年齡組魚群之間數量的變化規(guī)律，并給出了它們的自然死亡率及捕撈和產卵的時間分布，并固定3、4齡魚捕撈能力的比值，要求選擇一定的捕撈能力系數，使得各年齡組魚的數量在各年開始的第一天條數不變〔第一問〕，5年后魚群的生產能力不會有太大的破壞〔第二問〕，并在此條件下，求到最大捕獲量。二．符號說明三．模型假設1．這種魚在一年內的任何時間都會發(fā)生自然死亡，即死亡是一個連續(xù)的過程。2．捕撈也是一個連續(xù)的過程，不是在某一時刻突然發(fā)生。3．1、2齡魚體形太小，不能被捕。4．3、4齡魚在一年中的后4個月的第一天集中一次產卵5．i齡魚到來年分別長一歲成為i+1齡魚，i=1，2，3，其中上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚四．模型的建立與求解4.1．問題分析.對題中一些術語的解釋：對自然死亡率的理解：此題中給出的魚的自然死亡率是指平均死亡率，即單位時間魚群死亡數量與現有魚群數量的比例系數，它與環(huán)境等其它外在因素無關；這是一個有量綱的量，它既不是簡單的百分率又不是簡單的變化速率，實際上它是百分比率的變化率。它應該理解為以每年死亡80%的速率減少，并不是在一年內恰好死亡80%。另一方面，魚群的數量是連續(xù)變化的，且1，2齡魚在全年及3，4齡魚在后4個月的數量只與死亡率有關。由此可知，各齡魚的變化滿足：對捕撈強度系數的理解：捕撈強度系數是單位時間內捕撈量與各年齡組魚群條數的比例系數，單位時間4齡魚捕撈量與4齡魚群總數成正比，捕撈強度系數是一定的，且只在捕撈期內〔即每年的前8個月〕捕撈3，4齡魚。所以，捕撈強度系數k影響了3，4齡魚在捕撈期內的數量變化：那么有對卵的成活率的理解：1，2齡魚不產卵，3，4齡魚在每年的后四個月產卵，我們假設了在9月初一次產卵，因此可將每年的產卵量n表示為：.問題一分析：對于問題一，要實現可持續(xù)捕獲，即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變，因此我們要算出每年初各齡魚組的數量。中已對自然死亡率，捕撈強度系數和卵成活率作出了解釋，即1，2齡魚僅受自然死亡率的影響；而3，4齡魚不僅受自然死亡率的影響，還受捕撈強度系數的影響；因為該種魚的最高壽命為4，所以在后四月中4齡魚都不存活；，而對于1齡魚的數量，是3，4齡魚在前年的后4年產卵所存活下來的數量；對于捕撈量，題中規(guī)定只在1到8月才能捕撈，而且1，2齡魚不被捕撈，所以主要來源于對3，4齡魚的捕撈。根據這些關系可列出一系列的方程，其中捕撈量作為目標函數，其他的作為約束條件，建立一個非線性規(guī)劃模型，再然后用lingo軟件和matlab軟件進行求解。.問題二分析： 對于問題二，合同要求5年后魚群的生產能力不能受到太大破壞，又要使總收益最高，這就有可能發(fā)生滿足了前者滿足不了后者之類的情況。我們處理方法是先確定一個策略使其收益最高，再檢驗此捕魚策略是否能保證5年后魚群的生產能力不受到太大的破壞，假設它讓魚群的生產能力受到了嚴重破壞，我們再求另外一種策略。但從理論分析可知，5年后將在魚群盡可能接近可持續(xù)魚群的情況下來使捕撈量到達最大。對于破壞大小，我們采用1齡魚群數量變化率來衡量，即以第六年初1齡魚群數量的變化量與承包時魚群數量初值之比表示，因為2，3，4齡魚群的數量在很大程度上受承包初1齡魚影響，根據關系，可以知道5年后2，3，4齡魚群的數量肯定會有較大變化。只要該比值小于5%，我們就認為魚群的生產能力沒有受到太大破壞。 題中已經給了我們各年齡組的初始值，而問題一中也已得出一組迭代方程，我們利用這些迭代方程，求出各年的魚量分布；同樣可以根據問題一中捕撈量的表達式求出5年的總捕撈量，以此來確定我們的最優(yōu)捕撈策略。再然后我們通過驗證來確定其5年后魚群的生產能力有沒有受到太大破壞。4.2．模型建立問題一模型1．由中對自然死亡率的理解中的〔1〕式，可知1，2齡魚的生長只受自然死亡率的影響，由此可知1，2齡魚的生長的微分方程滿足方程〔1〕：T年的i齡魚在T+1年變?yōu)閕+1齡魚，2．而對于3，4齡魚的生長，在前八個月，他們的生長不僅受自然生長率的影響，還受捕撈強度系數的影響，而后四個月僅受自然生長率的影響。我們以一年為一個時間單位，那么這一時間單位可以分為兩個階段，見圖〔1〕：02/31 I：捕撈期 II：產卵期 圖〔1〕因此，eq\o\ac(○,1).前八個月3、4齡魚生長的微分方程滿足：由于每年的捕撈只在1到8月進行，并且只能捕到3，4齡魚，所以任意一個時刻的捕撈量為，那么年捕撈量為：eq\o\ac(○,2).后四個月3、4齡魚生長的微分方程滿足方程〔1〕： 所以年初1齡魚的總量 3．根據以上分析，我們可以建立非線性規(guī)劃模型：目標函數：約束條件：問題二模型針對漁業(yè)公司的5年捕撈方案，我們利用已得到的迭代方程在各個年齡組的魚的初始值的前提下，可迭代求出各齡魚群第i年的魚量的分布的函數。整個生存過程滿足的關系式為同時寫出目標函數：4.3．模型求解問題一求解.1由中的3，我們可將目標函數和約束條件轉化為：目標函數為：約束條件：.2然后我們利用lingo軟件和matlab軟件分別進行求解。1〕lingo程序：〔附錄1〕直接運行，輸出結果為：Localoptimalsolutionfoundatiteration:92Objectivevalue:0.3887076E+12VariableValueReducedCostK17.36292-1.034723N0.6078067E+130.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.3887076E+121.00000020.0000000.1258406E-022〕matlab程序：〔附錄2〕首先，建立fun1.m、max1.m、1.m、picture.m文件，運行picture.m文件，畫出n關于k的圖像：由圖像，，我們看出，這與事實是相符的。然后，在命令窗口中輸入1.m文件中命令，運行出結果我們觀察到，，，，因此，我們改變k的取值區(qū)間即步長，建立了文件2.m、3.m，從而求得更精確的結果。從運行結果看：k=17.3000或k=17.4000，取最大值f=3.8871e+011最后，建立主程序3.m〔程序見附錄2〕從運行結果看：，f=3.8871e+011問題一所求結果為：.3結果分析3齡魚的捕撈強度為7.29/年；4齡魚的捕撈強度為17.36/年：最優(yōu)可持續(xù)捕撈量,可持續(xù)捕撈的魚群大小〔條數〕：1齡2齡3齡4齡分析結果發(fā)現，4齡魚在年末存活的數量占全部數量的比例相對很小。問題二求解.1將目標函數轉化為：其中這樣max就變?yōu)殛P于k的函數，易于求解。.2用matlab軟件求解1、利用matlab軟件，建立fun.m文件(見附錄3)；2、首先，我們對，建立main.m主程序〔見附錄3〕根據運行結果，我們觀察到，，，其中，接著，改變k的取值區(qū)間及范圍，建立主程序main1.m,main2.m，求解出更精確的結果。運行結果分析：，f=1.6056e+012問題二所求結果為：.3、驗證5年后魚群的生產能力有沒有受到太大破壞迭代求得第六年初各齡魚群的數量為：第一年各齡魚群的數量為第六年1齡魚數量占第一年1齡魚數量的比例為：.4、結果分析捕撈強度在區(qū)間〔17.5，17.8〕內時〔因為電腦精確度問題，暫時只能精確到這一區(qū)間〕，總捕撈量到達最大值。在這種捕撈強度下，5年后1齡魚數量占第一年1齡魚數量的比例為98%，即可認為生產能力沒有受到太大破壞。因此，求解出的結果即為最優(yōu)捕魚策略。五．模型的評價我們采用了非線性規(guī)劃的思想建立模型，通過求解有約束的非線性最大值問題，找到一組最優(yōu)解。問題一，在實現可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變)的前提下，用固定努力量的捕撈方式，確定捕撈策略以得到最大捕撈總質量。我們結合人口增長,地中海鯊魚模型，用微分、積分的方法來分析每年各齡魚的數量，建立每年捕撈量的方程，用lingo軟件與matlab軟件分別求解，兩個結果誤差很小，肯定了結果的正確性。問題二，所求模型為五年〔五組類似問題一的模型〕魚群生長模型的組合。由于所給的初始魚群并不是可持續(xù)捕撈的魚群，為了在五年內既得到最大的收益，又不破壞魚群的生產能力，即五年后在到達產量最高的條件下使得魚群盡量接近可持續(xù)捕撈魚群。我們在五年內以同樣的強度實現固定努力量的捕撈。對于每年每條齡魚在每個時刻的條數，我們可以用算法迭代求解出n年的條數，從而比擬第六年年初與初始時刻條數的差值，得出生產能力的破壞度不顯著。本模型采用連續(xù)模型的方法，成功地解決了可持續(xù)捕撈問題，得到了較為精確且合理的結果。六．模型的改良我們知道，原題中沒有說明四齡以上的魚如何處理。我們假設的是上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚，而事實上還可以假設這種魚只活到4齡，以后它就死掉了。這對模型沒有太大的差異，只是我們所做的假設的分析計算稍復雜，但計算結果也只是稍有差異，在我們模型的根底上，我們可以假設魚只能活到4齡，這樣計算更簡便一些。目標函數：約束條件：我們可將上面的目標函數和約束條件轉化為：目標函數為：約束條件：用lingo軟件進行求解，算法見附錄4：lingo2算法直接運行得:Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:0.3887076E+12Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:209VariableValueReducedCostK17.362930.000000N0.6078058E+130.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.3887076E+121.00000020.0000000.1258410E-02即而以我們的假設算得出的結果為兩個結果相差甚小，但改良的模型計算非常簡便。七．參考文獻趙靜，但琦,《數學建模與數學實驗〔第3版〕》高等教育出版社姜啟源、謝金星、葉俊,《數學模型〔第三版〕》高等教育出版社，2003劉來福，《最優(yōu)捕魚策略問題答案評述》，數學的實踐與認識,1997年1月八．附錄附錄1：lingo1算法：max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-1.6)*(1-@exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-0.28*k-2.4)/(1-@exp(-2/3*k-0.8))*(1-@exp(-2/3*(0.8+k)));n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*@exp(-0.28*k-6.4/3)+@exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-@exp(-2/3*k-0.8)))-1);附錄2：用matlab求解，算法如下：picture1.mk=linspace(1,20,20);n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)))-1);plot(k,n)fun1.m文件:functionn=fun1(k)n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)))-1)max1.m文件:functiony=max1(n,k)y=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*exp(-0.28*k-2.4)/(1-exp(-2/3*k-0.8))*(1-exp(-2/3*(0.8+k)))我們對，主程序1.m：fork=1:1:20n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend主程序2.m：fork=17:0.1:18n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend主程序3.m：fork=17.3:0.01:17.4n=fun1(k);f=max1(n,k);kfend附錄3：fun.m文件:functiony=fun(k3,k,m,l1,l2,l3)m1=10.1*10^9+29.7*10^9*exp(-0.8)+122*10^9*exp(-1.6)+l1*exp(-1.6)+l2*exp(-1.6);m21=3.29*10^9+10.1*10^9*exp(-(0.8+2/3*k3))+3.29*10^9*exp(-(0.8+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(1.6+2/3*k3))+l3*exp(-(0.8+2/3*k))+122*10^9*exp(-(2.4+2/3*k3))+l3*exp(-2*(0.8+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(2.4+2/3*k3+2/3*k));m22=l1*exp(-(2.4+2/3*k3))+122*10^9*exp(-(3.2+2/3*k3+2/3*k))+29.7*10^9*exp(-(3.2+2/3*k3+4/3*k))+l3*exp(-3*(0.8+2/3*k));y=17.86*k3*(1-exp(-(0.8+k3)*2/3))*m1/(0.8+k3)+22.99*k*(1-exp(-(0.8+k)*2/3))*(m21+m22)/(0.8+k);main.mfork=0:1:20m=1.109*10^5;k3=0.42*k;a=29.7*10^9*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3))+10.1*10^9*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k))+3.29*10^9*exp(-1/3*(4+4/3*k));l1=1.22*10^11*m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k)))/(1.22*10^11+m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k))));l2=1.22*10^11*m*a/(1.22*10^11+m*a);l3=10.1*10^9*exp(-(0.8+2/3*k3))+3.29*10^9*exp(-(0.8+2/3*k));y=fun(k3,k,m,l1,l2,l3);kyendmain1.mfork=17:0.1:18m=1.109*10^5;k3=0.42*k;a=29.7*10^9*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3))+10.1*10^9*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k))+3.29*10^9*exp(-1/3*(4+4/3*k));l1=1.22*10^11*m*(10.1*10^9*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3))+3.29*10^9*exp(-2/3*(0.8+k)))/(1.22*10^11+m*