2024屆江西省南昌市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江西省南昌市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．84．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．245．三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．6．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或7．如圖，點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則（）A．在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，存在EF//BC1B．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值8．已知向量，，當(dāng)時(shí)，（）A． B． C． D．9．已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)聯(lián)合組建．若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是博士學(xué)位；⑤國防科技大學(xué)的是研究生．則丙是來自哪個(gè)院校的，學(xué)位是什么()A．國防大學(xué)，研究生 B．國防大學(xué)，博士C．軍事科學(xué)院，學(xué)士 D．國防科技大學(xué)，研究生11．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．12．設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________．15．我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實(shí)”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，，，，，則的面積為________．16．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請(qǐng)你根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可）.注:若，則，，.18．（12分）某社區(qū)服務(wù)中心計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶5元，售價(jià)每瓶7元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：攝氏度℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為（單位：瓶）時(shí)，的數(shù)學(xué)期望的取值范圍？19．（12分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：萬臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺(tái)）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.21．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點(diǎn)，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故，解得，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.5、A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型．6、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.8、A【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.10、C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；則丙來自軍事科學(xué)院；由②來自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學(xué)士.綜上可知，丙來自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識(shí)，幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，能求出雙曲線方程．【詳解】解：設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．14、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.16、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數(shù)值運(yùn)算即可；（Ⅱ）可判斷均值應(yīng)為，再結(jié)合（1）和題干備注信息可得，進(jìn)而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項(xiàng)分布，故，列出分布列，計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，結(jié)合即可求解；【詳解】（Ⅰ）記這只蜻蜓的翼長為.因?yàn)榉N蜻蜓和種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）設(shè)蜻蜓的翼長為，則.由題有，所以.因此的分布列為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解，二項(xiàng)分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）X的可能取值為300,500,600，結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，即得解；（2）由題意得，分，及，分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式，得到對(duì)應(yīng)的分布列，分析即得解.【詳解】（1）由題意：X的可能取值為300,500,600故：六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列為300500600（2）由題意得.1°.當(dāng)時(shí)，利潤此時(shí)利潤的分布列為.2.時(shí)，利潤此時(shí)利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、（1），（2）【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解：（1）依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.（2）依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計(jì)算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;