【數(shù)學(xué)】一元線性回歸模型課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù),可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān),以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣,通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系,那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機(jī)關(guān)系,并通過模型進(jìn)行預(yù)測.

下面我們研究當(dāng)兩個變量線性相關(guān)時,如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測的問題8.2.1一元線性回歸模型一、知識回顧1.正相關(guān)和負(fù)相關(guān)：

2.線性相關(guān)：

3.非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：

如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的

相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)

一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，

則稱這兩個變量負(fù)相關(guān).

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且

散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么

我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.二、探究新知

利用前面表示數(shù)據(jù)的方法,以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系,再將上表中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖,如右圖所示.可以發(fā)現(xiàn),散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近,表明兒子身高和父親身高線性相關(guān),利用統(tǒng)計軟件,求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān),且相關(guān)程度較高.編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182父親身高/cm185165170175180160185165170175180160190兒子身高/cm

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎?二、探究新知編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182

在表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同，而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測的父親身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子身高分別為176cm和174cm;

同樣，第3、4兩個觀測中，兒子身高都是170cm，而父親身高分別為173cm和169cm.可見兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系,也就不能用函數(shù)模型刻畫.

根據(jù)散點(diǎn)圖，兒子身高和父親身高這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系嗎?二、探究新知

圖的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近,表明兒子身高和父親身高這兩個變量之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣等作為隨機(jī)誤差,得到刻畫兩個變量之間關(guān)系的線性回歸模型.其中，隨機(jī)誤差是一個隨機(jī)變量.父親身高/cm185165170175180160185165170175180160190兒子身高/cm三、一元線性回歸模型

用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差,假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為

為什么假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個不為0的常數(shù)?

我們稱上式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖然不能由變量x的值確定,但是卻能表示為bx＋a與e的和(疊加)，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.

如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.

對于父親身高x和兒子身高Y的一元線性回歸模型

可以解釋為父親身高為xi的所有男大學(xué)生的身高組成一個子總體，該子總體的均值為bxi+a，即該子總體的均值與父親身高是線性函數(shù)關(guān)系．而對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi并不一定為bxi+a，它僅是該子總體中的一個觀測值，這個觀測值與均值有一個誤差項ei=yi-(bxi+a).三、一元線性回歸模型

在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時,

產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有:

(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等;

(2)在測量兒子身高時,由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差;

(3)實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.

你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機(jī)誤差項的原因嗎?三、一元線性回歸模型例1兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同模型,它們的

相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()

A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98

B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80

C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50

D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25四、精典例題例2已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=2x-1，則該方程在樣本(3,4)處的殘差為________.四、精典例題五、課堂小結(jié)

我們稱上式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差，即e=Y-(bx+a).模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖然不