24吉林省長春市朝陽區(qū)第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題

吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年度上學(xué)期九年級(jí)第四次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題（每題3分，共24分）1.實(shí)數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則絕對值最小的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離的大小確定結(jié)論．【詳解】解：由圖可知：到原點(diǎn)的距離最短，∴在這四個(gè)數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的定義、實(shí)數(shù)大小比較，掌握絕對值最小的數(shù)就是到原點(diǎn)距離最小的數(shù)是解題的關(guān)鍵．2.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，杭州奧體博覽城將成為杭州2023年亞運(yùn)會(huì)的主場館，杭州奧體博覽城核心區(qū)占地154．37公頃，建筑總面積為2720000平方米，請將數(shù)據(jù)2720000用數(shù)學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【詳解】解：將2720000用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方的運(yùn)算法則準(zhǔn)確計(jì)算即可．【詳解】∵不是同類項(xiàng),∴無法計(jì)算，故A不符合題意；∵，∴故B不符合題意；∵，∴故C不符合題意；∵，∴故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，乘法，積的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4.如圖是一個(gè)由6個(gè)相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)主視圖的定義判斷．【詳解】根據(jù)主視圖的定義，從正面（圖中箭頭方向）看到的圖形應(yīng)為兩層，上層有2個(gè)，下層有3個(gè)小正方形，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查主視圖的定義，注意觀察的方向，掌握主視圖的定義判斷是解題的關(guān)鍵．5.如圖，切于，過圓心點(diǎn)，是弦，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理，利用切線的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理的應(yīng)用．【詳解】解：∵切于，∴，∵，∴，∴，故選：A．6.如圖是一款汽車千斤頂，其主要部件為四根連桿組成的菱形和螺旋桿，當(dāng)，時(shí)，，兩點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】：連接交于，由菱形的性質(zhì)可知，且，，在中，可得，進(jìn)而求得．【詳解】解：連接交于，∵四邊形是菱形，∴，且，，則在中，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用及菱形的性質(zhì)，連接對角線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．7.小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：畫法圖形1．以A為端點(diǎn)畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A.兩直線平行，同位角相等B.兩條平行線之間的距離處處相等C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，即可求解．【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點(diǎn)步驟３中過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例得：M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．掌握相關(guān)結(jié)論即可．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、一次函數(shù)與幾何綜合，過B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由點(diǎn)B為的中點(diǎn)，推出C點(diǎn)坐標(biāo)為，求得直線的解析式，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的面積是6，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：過B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，∴，∴，∴，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴，∴，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，解得，故選：B．二、填空題（每題3分，共18分）9.分解因式：______________．【答案】【解析】【分析】本題考查了用公式法分解因式．直接利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．10.若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值是______．【答案】9【解析】【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于c的方程，求出c的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴，

解得．

故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）?方程沒有實(shí)數(shù)根．11.某種蘋果的售價(jià)是每千克5元，用面值為100元的人民幣購買了千克，應(yīng)找回_______元．【答案】【解析】【分析】此題考查列代數(shù)式，屬基礎(chǔ)題，簡單．根據(jù)單價(jià)×重量=應(yīng)付的錢；剩余的錢即為應(yīng)找回的錢列式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，a千克蘋果售價(jià)為元，所以應(yīng)找回元．故答案為：．12.如圖，以正六邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將正六邊形按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得D的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，則正六邊形至少旋轉(zhuǎn)_________．【答案】##度【解析】【分析】本題考查正六邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握正六邊形以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是正確解答的前提．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義以及正六邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：以正六邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正六邊形旋轉(zhuǎn)的最小角度是正六邊形的一個(gè)外角，即，故答案為：．13.將透明的三角形紙板按如圖所示的方式放置在量角器上，使點(diǎn)B，C落在量角器所在的半圓上，且點(diǎn)B，C的讀數(shù)分別為，若該量角器所在半圓的直徑為，則弧的長為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查弧長的計(jì)算，連接，先求出，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接．由題意，，又該量角器所在半圓的直徑為，∴，∴弧的長為．故答案為：．14.如圖，這是卡塔爾世界杯足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（圖1）和截面示意圖（圖2），足球的飛行軌跡可看成拋物線，足球離地面的高度與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間之間的關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：0236…0…則該運(yùn)動(dòng)員踢出的足球在第_________s落地．【答案】8【解析】【分析】此題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，理解題意，明確函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可設(shè)拋物線解析式為：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：或，則該運(yùn)動(dòng)員踢出的足球在第落地，故答案為：．三、解答題（共78分）15先化簡，再求值：，其中．【答案】；4【解析】【分析】利用平方差公式變形后，整理后可將原式化簡為，再代入即可求出結(jié)論．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，靈活運(yùn)用平方差公式變形是解題的關(guān)鍵．16.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng)，誦讀材料有《論語》、《大學(xué)》、《中庸》（依次用字母表示這三個(gè)材料），將分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗勻后放在桌面上，比賽時(shí)小勇先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下內(nèi)容后放回，洗勻后，再由小智從中隨機(jī)抽取一張卡片，他倆按各自抽取的內(nèi)容進(jìn)行誦讀比賽．請用列表或面樹狀圖的方法求他倆誦讀兩個(gè)不同材料的概率．【答案】見解析，他倆誦讀兩個(gè)不同材料的概率.【解析】【分析】本題既可采用畫樹狀圖法，也可采用列表法．畫樹狀圖時(shí)，先固定小勇抽取的情況，再分別畫出所有可能的情況；列表時(shí)可用橫向表示小勇，縱向表示小智．【詳解】解：方法一：列表如下：一共有9種等可能的情況，其中符合題意的有6種，（他倆誦讀兩個(gè)不同材料）．方法二：畫樹狀圖如下：一共有9種等可能的情況，其中符合題意的有6種，（他倆誦讀兩個(gè)不同材料）．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件的概率.17.學(xué)校組織學(xué)生到離學(xué)校的生態(tài)園研學(xué)，隊(duì)伍從學(xué)校坐大巴車出發(fā)．張老師因有事情，從學(xué)校自駕小車沿相同路線以大巴車倍的速度追趕，追上大巴車后繼續(xù)前行，結(jié)果比隊(duì)伍提前分鐘到達(dá)生態(tài)園．求大巴車的平均速度．【答案】大巴的平均速度為【解析】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，先找出等量關(guān)系，再列方程求解即可，注意檢驗(yàn)．【詳解】解：設(shè)大巴的平均速度為，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，答：大巴的平均速度為18.如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，，點(diǎn)F在上，連接并延長，交于點(diǎn)D，連接，作，垂足為E．（1）求證：．（2）若，則_________．【答案】（1）詳見解析（2）8【解析】【分析】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是證明．（1）根據(jù)圓周角定理得，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可以求出，然后利用勾股定理求出．【小問1詳解】證明：為直徑，，，，所對的圓周角為和，，；【小問2詳解】解：∴，，而，，，，，在中，．19.小明的爸爸準(zhǔn)備購買一輛新能源汽車．在爸爸的預(yù)算范圍內(nèi)，小明收集了A，B，C三款汽車在2022年9月至2023年3月期間的國內(nèi)銷售量和網(wǎng)友對車輛的外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)等四項(xiàng)評分?jǐn)?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：（1）數(shù)據(jù)分析：①求B款新能源汽車在2022年9月至2023年3月期間月銷售量的中位數(shù)；②若將車輛的外觀造型，舒適程度、操控性能，售后服務(wù)等四項(xiàng)評分?jǐn)?shù)據(jù)按的比例統(tǒng)計(jì)，求A款新能原汽車四項(xiàng)評分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)．（2）合理建議：請按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)評分?jǐn)?shù)據(jù)的比例，并結(jié)合銷售量，以此為依據(jù)建議小明的爸爸購買哪款汽車？說說你的理由．【答案】（1）①3015輛，②68.3分（2）選B款，理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可；②根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法求解即可；（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的意義求解即可．【小問1詳解】①由中位數(shù)的概念可得，B款新能源汽車在2022年9月至2023年3月期間月銷售量的中位數(shù)為3015輛；②分．∴A款新能原汽車四項(xiàng)評分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為分；【小問2詳解】給出的權(quán)重時(shí)，（分），

（分），

（分），

結(jié)合2023年3月的銷售量，

∴可以選B款．【點(diǎn)睛】此題考查了中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，以及利用加權(quán)平均數(shù)做決策，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．20.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的頂點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖1中作出邊上的點(diǎn)E，使得；（2）在圖2中作出邊上的點(diǎn)F（不與點(diǎn)A重合），連接，使得；（3）在圖3中作出邊上的點(diǎn)G，使得．【答案】（1）見解析

（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造線段，且使，連接，交于點(diǎn)E．利用相似三角形的性質(zhì)即可證明點(diǎn)E是符合條件的點(diǎn)；（2）過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F．連接，利用直角三角形的性質(zhì)可證明點(diǎn)F是符合條件的點(diǎn)；（3）取格點(diǎn)K，連接，交網(wǎng)格線于點(diǎn)G，連接，取格點(diǎn)M，N，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、銳角三角函數(shù)可以證得點(diǎn)G是符合條件的點(diǎn)．【小問1詳解】解：如圖所示，取，，連接，交于點(diǎn)E．∵，∴∴，∴，∴點(diǎn)E就是所求作的符合條件的點(diǎn)．【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，連接，∵于點(diǎn)F，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)F就是所求作的符合條件的點(diǎn)．【小問3詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)K，連接，交網(wǎng)格線于點(diǎn)G，連接，取格點(diǎn)M，N，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴在中，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟知上述圖形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，利用正方形網(wǎng)格構(gòu)造相應(yīng)的相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．21.隨著“雙減”政策落地，周末家庭野外郊游可能會(huì)成為我們的生活常態(tài)．小誠騎自行車從家里出發(fā)30分鐘后到達(dá)甲地，游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地，小誠離家一段時(shí)間后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，如圖是他們離家的路程與小誠離家時(shí)間的函數(shù)圖象，已知媽媽駕車的速度是小誠騎車速度的3倍，根據(jù)圖中的信息：（1）媽媽駕車速度是_________．（2）求小誠在游玩后前往乙地過程中，小誠離家的路程y與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）若媽媽比小誠還早30分鐘到達(dá)乙地，則在媽媽出發(fā)后，直接寫出小誠離家?guī)仔r(shí)后兩人相距．【答案】（1）60（2）（3），【解析】【分析】本題考查了函數(shù)圖象，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用．（1）先求出小誠騎自行車的速度為，再根據(jù)媽媽駕車的速度是小誠騎車速度的3倍求解即可．（2）用待定系數(shù)法求解即可；（3）設(shè)在媽媽出發(fā)后，直接寫出小誠離家x小時(shí)后兩人相距，分兩種情況：當(dāng)兩人相遇前兩人相距，當(dāng)兩人相遇后兩人相距，【小問1詳解】解：小誠騎自行車的速度為，∵媽媽駕車的速度是小誠騎車速度的3倍∴媽媽駕車的速度是．【小問2詳解】解：設(shè)小誠在游玩后前往乙地過程中，小誠離家的路程y與x的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入，得，解得，；【小問3詳解】解：設(shè)在媽媽出發(fā)后，直接寫出小誠離家x小時(shí)后兩人相距，分兩種情況：當(dāng)兩人相遇前兩人相距，根據(jù)題意，得解得：；當(dāng)兩人相遇后兩人相距，根據(jù)題意，得，解得：；綜上，在媽媽出發(fā)后，小誠離家小時(shí)或小時(shí)后兩人相距．22.【感知】如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長線上，連結(jié)，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M．求證：．【探究】如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長線上，連結(jié)，過點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，直接寫出的值．【應(yīng)用】如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長線上，點(diǎn)Q在邊上，連結(jié)，作，的邊交邊于點(diǎn)M．若，，直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及角的和差推出，，，利用即可證明；（2）作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出，，根據(jù)角的和差推出，結(jié)合，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出，進(jìn)而推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意推出，，推導(dǎo)出，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義推出，結(jié)合，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)題意推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，，，，，，在和中，，；（2）解：如圖2，作于點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：，，，，，，如圖3，作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題是相似綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在中，，，．點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)N重合），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中作點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段的長是________．（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)與重疊部分圖形是等腰三角形時(shí)，求四邊形與重疊部分圖形的面積．（4）當(dāng)________時(shí)，線段最短，點(diǎn)Q從開始運(yùn)動(dòng)到此時(shí)的運(yùn)動(dòng)路徑長是________．【答案】（1）5（2）或9（3）或（4）；【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理得，再利用三角形中位線定理即可得到答案；（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，分點(diǎn)P與點(diǎn)D重合和點(diǎn)P在點(diǎn)C處兩種情況，分別求出點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長，即可得到答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)E，連結(jié)，設(shè)，利用勾股定理列方程求解，即可得到的長，進(jìn)一步計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，同理可得答案；（4）分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，作直線，過點(diǎn)A作，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)H處，此時(shí)取得最小值為4；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)O，可得點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，作關(guān)于直線的對稱線段，過點(diǎn)A作，則點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)G處，取最小值，并可求得最小值為；③當(dāng)點(diǎn)P在上，則點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)處，此時(shí)取最小值，最小值即的長，且；綜合①②③，即可得到的最小值和的值．【小問1詳解】，，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，；【小問2詳解】過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對稱，，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P上，點(diǎn)Q在點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，，，，，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)D處，此時(shí)，，所以t的值為或9；【小問3詳解】如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)E，連結(jié)，此時(shí)，設(shè)，則，，在中，，，解得，，重疊部分圖形的面積為，如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，同理，可求得，重疊部分圖形的面積為，綜合以上可知，四邊形與重疊部分圖形的面積為或；【小問4詳解】①如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，作直線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對稱，，即點(diǎn)Q在直線上，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)H處，此時(shí)取得最小值，而，；②如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)O，，，，相似比為，，，是相似三角形的對應(yīng)高，，即，即點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，作關(guān)于直線的對稱線段，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，則點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)G處，取最小值，，，，，，，，，，，，，；③如圖7，當(dāng)點(diǎn)P在上，連結(jié)，則點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)處，此時(shí)取最小值，最小值即的長，且，綜合①②③可知，的最小值為，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的綜合性問題，三角形中位線定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用勾股定理列方程和找到動(dòng)點(diǎn)的路徑是解答本題的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合．（1）求a值．（2）設(shè)點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸交拋物線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求m的值．（3）將拋物線上P、A兩點(diǎn)之間的部分（包括端點(diǎn)）記作圖象G，當(dāng)圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，求m的取值范圍．（4）設(shè)點(diǎn)，在平面內(nèi)構(gòu)造面積最小的矩形，使該矩形