二次根式的乘除法

二次根式的乘除法二次根式的乘除法二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：（1）掌握二次根式乘、除法法則，并會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算；（2）能夠利用二次根式乘、除法法則對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）能夠?qū)⒍胃交?jiǎn)成“最簡(jiǎn)二次根式”。2.難點(diǎn)：（1）理解最簡(jiǎn)二次根式的概念；（2）能夠運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)、二次根式的除法法則將二次根式化簡(jiǎn)成“最簡(jiǎn)二次根式”。三.知識(shí)梳理：1.二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（≥0，≥0）。說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。2.二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（≥0，＞0）。說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。3.最簡(jiǎn)二次根式一個(gè)二次根式如果滿足下列兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母。這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。說明：（1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡(jiǎn)二次根式；（2）被開方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）二次根式化簡(jiǎn)到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。【典型例題】例1.求下列式子中有意義的x的取值范圍。（1）（2）分析：此題涉及二次根式的乘法、除法公式的正確應(yīng)用，特別注意公式應(yīng)用的范圍。（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。解：（1）+1≥0，2-≥0。解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。（2）≥0，3->0。解得≥0，<3，即0≤<3。例2.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算，把它們的被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，如果積能開方一定要開方。解：（1）==；（2）===6；（3）===；（4）===。例3.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用公式（≥0，≥0）化簡(jiǎn)即可，盡可能將被開方數(shù)的因式寫成平方的形式。解：（1）===15；（2）====6；（3）======20；（4）====。例4.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（≥0，≥0）對(duì)二次根式進(jìn)行乘法計(jì)算，要注意當(dāng)結(jié)果仍然是二次根式時(shí)，應(yīng)盡量化簡(jiǎn)。（4）中的隱含條件是≥0，≥0。解：（1）====；（2）===；（3）====-39；（4）===。例5.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（≥0，≥0）可把被開方數(shù)比較復(fù)雜的二次根式化簡(jiǎn)。方法是先將被開方數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，化為積的形式，如果根號(hào)內(nèi)有開得盡方的因式就移到根號(hào)外面來，用它的算術(shù)平方根來代替，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。解：（1）====；（2）===；（3）=====504；（4）=例6.化簡(jiǎn)：（1）（＞0）；（2）（＞0）；（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。分析：對(duì)于被開方數(shù)是多項(xiàng)式的二次根式，應(yīng)把多項(xiàng)式分解因式然后按照被開方數(shù)是單項(xiàng)式的方法進(jìn)行分解。為使運(yùn)算簡(jiǎn)便，應(yīng)盡量地應(yīng)用運(yùn)算律和乘法公式來進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)算得到的結(jié)果必須進(jìn)行化簡(jiǎn)。解：（1）===；（2）===；（3）===（4）===。例7.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用（≥0，＞0）進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)算后結(jié)果要化簡(jiǎn)。解：（1）===2；（2）===3；（3）===2；（4）==。例8.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：運(yùn)用公式（≥0，＞0）化簡(jiǎn)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。要注意的是，當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要先把它化成假分?jǐn)?shù)。解：（1）===；（2）==；（3）==；（4）===。例9.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：二次根式的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。對(duì)于多個(gè)二次根式相除的情況，應(yīng)按照題中指定的順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，沒有括號(hào)的，從左往右依次計(jì)算，結(jié)果注意化簡(jiǎn)，數(shù)字應(yīng)放在字母前面。解：（1）====；（2）====（3）===；（4）====。例10.把下列根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)8.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A.B.C.D.三.解答題：9.計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）11.已知：求的值?！驹囶}答案】一.填空題。1.；2.（1）20；（2）；（3）2；（4）3；3.（1）；（2）；4.（