5.1 矩形 浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊教案

矩形培優(yōu)講義矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：1、若一個圖形是矩形，則首先它是一個平行四邊形，同時它必須有一個角是直角。2、矩形的定義既是矩形的性質(zhì)，也是矩形的一種判定方法。性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(1)矩形的對邊平行且相等；(2)矩形的四個角都相等，且都是直角；(3)矩形的對角線互相平分且相等.注意：1、矩形的性質(zhì)是求線段的長度、角度等問題常用的知識，它可以用來驗證兩條線段是否相等、兩條直線是否平行、兩角是否相等。2、由于矩形四個角都是直角，故常把關(guān)于矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決。3、矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，因此，在解決相等問題時，常常用到等腰三角形的性質(zhì)。判定：(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形(定義)；(2)有三個角是直角的四邊形是矩形；(3)對角線相等的平行四邊形是矩形.直角三角形斜邊中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。類型一矩形的性質(zhì)(2020﹒淮南模擬）在一張長為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形，等腰三角形的一個頂點與矩形的頂點A重合，其余的兩個頂點都在矩形的邊上．這個等腰三角形剪法有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】等腰三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．②當∠A為底角時，有兩種情況：如圖2，圖3，此時AE＝EF＝5cm．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能進行分類討論是解此題的關(guān)鍵．直角三角形斜邊上的高與中線分別是5cm和6cm，則它的面積為___【答案】30矩形的對角線相交成的角中，有一個角是60°，這個角所對的邊長為20cm，則其對角線長為_，矩形的面積為____．【答案】40cm400cm2類型二矩形的判定如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E分別是邊AB，AC的中點．將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】A如圖，?ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件_，使?ABCD是矩形．【答案】AO＝BO(答案不唯一)基礎(chǔ)如圖，矩形內(nèi)兩相鄰正方形的面積分別是2和6，那么矩形內(nèi)陰影部分的面積是（）A．2-2B．3-2C．2-1D．6-2如圖，?ABCD的周長為16cm，AC，BD相交于點O，OE⊥AC交AD于點E，則△DCE的周長為()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm答案與解析1.【答案】A2.【答案】C提高如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E點在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分別為點G，F(xiàn)，AC＝10，則EG＋EF＝____．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為(10，0)，(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為___．答案與解析1.【答案】52.【答案】(8，4)，(3，4)或(2，4)能力(2019春﹒錦江區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，點E在BC上，點F在CD上，且滿足BE＝CF＝a,AB＝EC＝b．（1）判斷△AEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）請用含a，b的代數(shù)式表示△AEF的面積；（3）當△ABE的面積為24,BC長為14時，求△ADF的面積．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．矩形“七十二變”【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）證明△ABE≌△ECF(SAS),得出AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,證出∠AEF＝90°,即可得出△AEF是等腰直角三角形；（2）由勾股定理得出EQAE\S\UP6(2)＝EQAB\S\UP6(2)＋BE\S\UP6(2)＝EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2),由三角形面積公式即可得出答案；（3）求出ab＝48，由題意得出EQ(a＋b)\S\UP6(2)＝EQ14\S\UP6(2),求出EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝100,得出EQ(a－b)\S\UP6(2)＝4，證出b－a＝2，由三角形面積公式即可得出答案．【解答】解：(1)△AEF是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°,AD＝BC＝a＋b,在△ABE和△ECF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝CE,∠B＝∠C,BE＝CF))，∴△ABE≌△ECF(SAS),∴AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,∵∠BAE＋∠AEB＝90°,∴∠CEF＋∠AEB＝90°,∴∠AEF＝90°,∴△AEF是等腰直角三角形；（2）∵∠B＝90°,BE＝CF＝a,AB＝CE＝b，∴EQAE\S\UP6(2)＝EQAB\S\UP6(2)＋BE\S\UP6(2)＝EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2),∴△AEF的面積＝EQ\F(1,2)AE×EF＝EQ\F(1,2)AE\S\UP6(2)＝EQ\F(1,2)\b\bc\((\l(a\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)));（3）∵△ABE的面積＝24＝EQ\F(1,2)ab,∴ab＝48，∵BC＝14，∴a＋b＝14，∴EQ(a＋b)\S\UP6(2)＝EQ14\S\UP6(2),∴EQa\S\UP6(2)＋2ab＋b\S\UP6(2)＝196,∴EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝100,∴EQa\S\UP6(2)－2ab＋b\S\UP6(2)＝100－96＝4，即EQ(a－b)\S\UP6(2)＝4，∵CD＞F,∴b＞a,∴b－a＝2，∴△ADF的面積＝EQ\F(1,2)AD×DF＝EQ\F(1,2)BC×(b－a)＝EQ\F(1,2)×14×2＝14．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．課后練習(xí)如圖所示，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和2，那么陰影部分的面積為（）S＝4S＝2S＝4S＝2矩形具有而質(zhì)平行四邊形不一定具有的是（）A、對邊相等B、對角相等C、對角線相等D、對邊平行用兩塊完全相同的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等邊三角形，一定能拼成的圖形是()A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤答案與解析1.【答案】A．2.【答案】C3.【答案】D鞏固練習(xí)如圖，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連結(jié)AE，CF.(1)證明：四邊形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面積．答案與解析1.【答案】：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形．∵E是BC的中點，∴AE⊥BC(等邊三角形三線合一)，∠AEC＝90°.同理，CF⊥AD.∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴AF＝AD，EC＝BC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)．又∵∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)(2)在Rt△ABE中，∵AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝32真題預(yù)測1.(2020﹒舟山模擬）已知，如圖：在矩形ABCD中，點M、N在邊AD上，且AM＝DN，求證：BN＝CM．【考點】矩形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】首先根據(jù)AM＝DN得到AN＝MD，再由矩形的性質(zhì)得到AB＝CD,∠A＝∠D，進而得到△ABN≌△DCM,于是得出結(jié)論．【解答】解：∵AM＝DN，∴AM＋MN＝MN＋ND,∴AN＝MD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD,∠A＝∠D，在△ABN和△DCM中，∵EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝CD,∠A＝∠D,AN＝MD))，∴△ABN≌△DCM,∴BN＝CM．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是證明△ABN≌△DCM．2.(2020﹒龍崗區(qū)校級模擬）如圖所示，矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，使CE＝AC，連接AE，點F是AE的中點，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．矩形“七十二變"證明：延長BF，交DA的延長線于點M，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC,∴∠AMF＝∠EBF,∠E＝∠MAF,又FA＝FE，∴△AFM≌△EFB,∴AM＝BE,FB＝FM，∵矩形ABCD中，∴AC＝BD,AD＝BC，∴BC＋BE＝AD＋AM,即CE＝MD，∵CE＝AC，∴AC＝CE＝DM，∵FB＝FM，∴BF⊥DF．【點評】本題考查了矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB＝DM是解題的關(guān)鍵．3.如圖，平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定．矩形的判定

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD