天津市九校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷

天津九校高三年級(jí)聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)（一）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．試卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（本卷共9題，共45分）參考公式：柱體的體積公式，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高．一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．若p：，q：，則ρ是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．4．已知，，則（）A．25 B．5 C． D．．5．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān)，通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)120名高中生是否喜好閱讀，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得．α0.10.050.012.7063.8416.635則下列結(jié)論正確的是（）A．有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有99%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無(wú)關(guān)”D．有99%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無(wú)關(guān)”7．在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點(diǎn)，且．設(shè)三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，若過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C． D．9．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，有下述四個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）．A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④第Ⅱ卷（本卷共11小題，共105分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分）10．設(shè)，則______．11．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．12．圓與圓的公共弦所在的直線方程為_(kāi)_____．13．某批產(chǎn)品共10件，其中含有2件次品．若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為_(kāi)_____；取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)X的期望是______．14．在梯形ABCD中，，且，M，N分別為線段DC和AB的中點(diǎn)，若，，用，表示______，若，則余弦值的最小值為_(kāi)_____．15．已知函數(shù)關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題（本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16．（本小題滿分14分）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．17．（本小題滿分15分）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求平面PAM與平面ABCD的夾角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)D到平面AMP的距離．18．（本小題滿分15分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，記，分別數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．19．（本小題滿分15分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與橢圓交于點(diǎn)H，且軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線MN的方程．20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，證明：．2024年天津市普通高等學(xué)校招生九校模擬試卷答案數(shù)學(xué)一、（45分）1．A2．B3．D4．C5．C6．A7．C8．D9．B二、（30分）10．111．8012．13．14．15．或三、（75分）16．（14分）解：（Ⅰ）由可得，則，即，解得或（舍去）．（Ⅱ）由余弦定理可得，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，故，，所以．17.（15分）解：（Ⅰ）證明：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以射線DA，DC為x軸，y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得，，，，，，，∴，即，∴，（Ⅱ）設(shè)為平面PAM的法向量，則即取，得．顯然為平面ABCD的個(gè)法向量，∴，故平面PAM與平面ABCD的夾角的大小為45°．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D到平面AMP的距離為d，，由（Ⅱ）可知與平面PAM垂直．則，即點(diǎn)D到平面AMP的距離為．18．（15分）（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，而，則，，，于是解得，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）證法一：由（Ⅰ）知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此．綜上，當(dāng)時(shí)，．證法二：由（Ⅰ）知，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，因此．綜上，當(dāng)時(shí)，．19．（15分）解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得解得∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，∵軸，∴，∵點(diǎn)S在y軸的正半軸，∴點(diǎn)H在x軸上方．∵點(diǎn)H在橢圓上，∴，解得，∴，即．由，即，解得，∴，∴．當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)．設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，聯(lián)立消y，化簡(jiǎn)整理得，，∴，①．②∵，∴，∴，所以，∴，∴，即，③由①②③，解得，∴直線MN的方程為，．當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為，此時(shí)，不合題意．綜上，直線MN的方程為，．20．（16分）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（Ⅱ）解：設(shè)，則，又，設(shè)，則．若，則，因?yàn)榈膱D象是連續(xù)不斷的曲線，故存在，使得，總有，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞