北師大版年八年級數(shù)學下冊《同步考點解讀專題訓練》(培優(yōu)特訓)專項1.4與尺規(guī)作圖有關的計算和證明的綜合應用(原卷版+解析)

培優(yōu)特訓專項1.4與尺規(guī)作圖有關的計算和證明的綜合應用1.（2020?建湖縣模擬）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，相交于兩點M，N；②作直線MN交AC于點D，連接BD．若∠A＝25°，則∠CDB＝（）A．25° B．50° C．60° D．90°2.（2021春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，在△ABC中，線段AB的垂直平分線與AC相交于點D，連接BD，邊AC的長為12cm，邊BC的長為7cm，則△BCD的周長為（）A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm3.（2021春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D．則∠ACD的大小為（）A．60° B．75° C．65° D．70°4．（2020?寶安區(qū)二模）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，連接MN，交AB于點H，以點H為圓心，HA的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過點C，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧交AB于點D，連接CD，若∠A＝22°，則∠BDC＝（）A．52° B．55° C．56° D．60°5．（2021?長春一模）如圖，∠AOB＝30°．按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點F，連接CF；②以點F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點G；③連接FG、CG，作射線OG．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠AOG＝60° B．OF垂直平分CG C．OG＝CG D．OC＝2FG6．（2020秋?鄞州區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠BAC＝100°，則∠EAG的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°7.（2021秋?鄧州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分線交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，則△ABC的形狀是；（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的條件，其他不變，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）當∠M與∠N滿足怎樣的數(shù)量關系時，△ABC是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．8.（秋?密云區(qū)期末）已知如圖，點A、點B在直線l異側(cè)，以點A為圓心，AB長為半徑作弧交直線l于C、D兩點．分別以C、D為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在l下方交于點E，連接AE．（1）根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補全圖形；（2）證明：l垂直平分AE．9.（2022春?鄆城縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（3）若AE＝6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．10.（2021秋?思南縣校級月考）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點F．（1）若△CMN的周長為16cm，求AB的長；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．11．（2021春?葉縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點D；②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．12．（2021秋?洪江市期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．13.（2021秋?興山縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，則∠NMA的度數(shù)是；（2）探究∠B與∠NMA的關系，并說明理由；（3）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最??？若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．培優(yōu)特訓專項1.4與尺規(guī)作圖有關的計算和證明的綜合應用1.（2020?建湖縣模擬）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，相交于兩點M，N；②作直線MN交AC于點D，連接BD．若∠A＝25°，則∠CDB＝（）A．25° B．50° C．60° D．90°【答案】B【解答】解：∵根據(jù)做法可知：MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵△ADC的周長為10，∴AD+CD+AC＝10，∴BD+DC+AC＝10，∴AC+BC＝10，∵AB＝7，∴△ABC的周長為AB+AC+BC＝7+10＝17，故選：B．2.（2021春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，在△ABC中，線段AB的垂直平分線與AC相交于點D，連接BD，邊AC的長為12cm，邊BC的長為7cm，則△BCD的周長為（）A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm【答案】B【解答】解：∵線段AB的垂直平分線與AC相交于點D，∴DA＝DB，∴△BCD的周長＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC，∵AC＝12cm，BC＝7cm，∴△BCD的周長＝BC+AC＝12+7＝19（cm），故選：B．3.（2021春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D．則∠ACD的大小為（）A．60° B．75° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，線段BC的垂直平分線交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故選：B4．（2020?寶安區(qū)二模）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，連接MN，交AB于點H，以點H為圓心，HA的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過點C，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧交AB于點D，連接CD，若∠A＝22°，則∠BDC＝（）A．52° B．55° C．56° D．60°【答案】C【解答】解：連接CH，由題意得，直線MN是線段AB的垂直平分線，∴AH＝BH，∵CH＝AH，∴CH＝AB，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝22°，∴∠ACH＝∠A＝22°，∴∠BCH＝∠B＝68°，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，故選：C．5．（2021?長春一模）如圖，∠AOB＝30°．按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點F，連接CF；②以點F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點G；③連接FG、CG，作射線OG．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠AOG＝60° B．OF垂直平分CG C．OG＝CG D．OC＝2FG【答案】D【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，F(xiàn)G＝FC，則OF垂直平分CG，所以B選項的結(jié)論正確；∵C點與G點關于OF對稱，∴∠FOG＝∠FOC＝30°，∴∠AOG＝60°，所以A選項的結(jié)論正確；∴△OCG為等邊三角形，∴OG＝CG，所以C選項的結(jié)論正確；在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，∴OC＝2CM，∵CF＞CM，F(xiàn)C＝FG，∴OC≠2FG，所以D選項的結(jié)論錯誤．故選：D．6．（2020秋?鄞州區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，若∠BAC＝100°，則∠EAG的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，故選：B7.（2021秋?鄧州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分線交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分線交MN于C，交AN于F．（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，則△ABC的形狀是；（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的條件，其他不變，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）當∠M與∠N滿足怎樣的數(shù)量關系時，△ABC是等腰三角形？直接寫出所有可能的情況．【解答】解：（1）等邊三角形，理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°，∴∠M＝∠N＝30°，∵BE是線段AM的垂直平分線，∴AB＝BM，∴∠MAB＝∠M＝30°，∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，同理，CA＝NC，∴∠NAC＝∠N＝30°，∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）△ABC是等腰三角形，理由：∵AM＝AN，∴∠M＝∠N，∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（3）當∠M＝∠N時，AB＝AC；當2∠M+∠N＝90°時，∠BAN＝90°，∴CF∥BN，∵CF垂直平分AN，∴AF＝FN，∴CN＝BC，∴CA＝NB＝BC，同理，當∠M+2∠N＝90°時，BA＝BC，綜上所述，當∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°時，△ABC是等腰三角形．②當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．8.（秋?密云區(qū)期末）已知如圖，點A、點B在直線l異側(cè)，以點A為圓心，AB長為半徑作弧交直線l于C、D兩點．分別以C、D為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在l下方交于點E，連接AE．（1）根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補全圖形；（2）證明：l垂直平分AE．【答案】略【解答】解：（1）如圖所示：（2）證明：解法一：如下圖：連接AC，CE，ED，AD，∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，在△ACD和△ECD中∵，∴△ACD≌△ECD（SSS），∴∠ACD＝∠ECD，∵AC＝CE，∴l(xiāng)垂直平分AE．解法二：如下圖：連接AC，CE，ED，AD，∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，∴l(xiāng)垂直平分AE．9.（2022春?鄆城縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（3）若AE＝6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．【解答】解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，∵△CBD的周長為20，∴AC+BC＝20，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝12+20＝32．10.（2021秋?思南縣校級月考）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點F．（1）若△CMN的周長為16cm，求AB的長；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【解答】解：（1）∵DM是AC邊的垂直平分線，∴MA＝MC，同理，NC＝NB，∵△CMN的周長為16cm，∴MC+MN+NC＝16cm，∴AB＝AM+MN＝BN＝16cm；（2）∵AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，∴MD⊥AC，NE⊥BC，∴∠ACB＝180°﹣∠MFN＝110°，∴∠A+∠B＝70°，∵MA＝MC，NB＝NC，∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝∠ACB﹣（∠A+∠B）＝110°﹣70°＝40°．11．（2021春?葉縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點D；②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．【答案】略【解答】解：（1）如圖，點D，射線AE即為所求．（2）∵DF垂直平分線段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°．12．（2021秋?洪江市期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【解答】解：（1）△CDE的周長