2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題04 根與系數(shù)關(guān)系含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題04根與系數(shù)關(guān)系閱讀與思考根與系數(shù)的關(guān)系稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，是由16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所發(fā)現(xiàn)的．韋達(dá)定理形式簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1．求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；2．求代數(shù)式的值；3．結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；4．構(gòu)造一元二次方程；5．證明代數(shù)等式、不等式．當(dāng)所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個(gè)一元二次方程的根時(shí)，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的基本思路，需要注意的是，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必須滿足判別式△≥0．例題與求解【例1】設(shè)關(guān)于的二次方程(其中為實(shí)數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為，則的取值范圍是_________.【例2】如果方程的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么，實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.A．B．C．D．【例3】已知，是方程的兩根，且．不解方程，求的值．【例4】設(shè)實(shí)數(shù)分別滿足并且，求的值．【例5】（1）若實(shí)數(shù)滿足，，求代數(shù)式的值；（2）關(guān)于的方程組有實(shí)數(shù)解，求正實(shí)數(shù)的最小值；（3）已知均為實(shí)數(shù)，且滿足，，求的值．【例6】為實(shí)數(shù)，，且，證明一元二次方程有大于而小于1的根．能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知，為有理數(shù)，且方程有一個(gè)根是，那么=．2．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則的值為．3．當(dāng)=時(shí)，關(guān)于的方程的兩根互為相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的兩根都是正數(shù)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)大于的根．對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)．關(guān)于的一元二次方程的兩根記為則．5．設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，則的值為（）A．B．C．D．的一切實(shí)數(shù)6．設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則（）A．B．C．D．7．設(shè)是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則是（）A．正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．不大于零的數(shù)8．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，兩對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO，BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，那么的值是（）A．B．5C．D．9．已知關(guān)于的方程：．（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)根是，且滿足求的值及相應(yīng)的．10．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．11．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，設(shè)AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值．12．已知是正整數(shù)，關(guān)于的方程有正整數(shù)解，求的值．B級(jí)1．設(shè)，是二次方程的兩根，則=．2．已知，且有及則．3．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，且，則．4．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最大值為．5．如果方程（＞0）的兩根之差為1，那么等于（）A．2B．4C．D．6．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是()A．1B．12C．13D．257．在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，、是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是()A．B．C．5D．28．設(shè)，且，則代數(shù)式的值為（）A．5B．7C．9D．119．已知為整數(shù)，，且方程的兩個(gè)根滿足關(guān)系式．試求所有整數(shù)點(diǎn)對(duì)．10．若方程的兩根也是方程的兩根，其中均為整數(shù)，求的值．11.設(shè)是方程的兩根，，是方程的兩根，已知．求證：（1）；（2）．12．設(shè)是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．（1）若，求的值；（2）求的最大值．13．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，求的值．專題04根與系數(shù)的關(guān)系例1.且例2.C提示:設(shè)三根為,則例3.設(shè)=1\*GB3①=2\*GB3②解由=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立的 方程組得例4.故第一個(gè)等式可變形為又是一元二次方程 的兩個(gè)不同實(shí)根,則即 故例5.(1)當(dāng)時(shí),原式=2;當(dāng)時(shí),原式=-20,故原式的值為2或-20 (2)由方程組得易知是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,即, 由為實(shí)數(shù)知,解得故正實(shí)數(shù)的最小值為 (3)與是方程的兩個(gè)實(shí)根,解得或原式=．例6解法一：∵ac＜0，∴原方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，不妨設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，且x1<0<x2，由韋達(dá)定理得x1+x2=，，由，得，即，解得，假設(shè)，則，由推得不成立，故；假設(shè)，則，由推得，矛盾．故，綜上所述．解法二：設(shè)，由條件得，得，．若，，則，；若，，則，．∴時(shí)，總有，故原方程必有一根介于與1之間．A級(jí)1．32．23．-2m＞20＜m≤提示：，與，不等價(jià)．4．提示：由條件得，，則，則．5．C6．C7．A8．A9．提示：（1）（2），m=4或m=0．10．（1）且（2）存在k=411．由題意得，．當(dāng)n=1時(shí)，m=2；當(dāng)n=2時(shí)，m=4．12．設(shè)方程兩根為，，則∵m，n，，均為正整數(shù)，設(shè)，，則，即有，則∴故B級(jí)1．0提示：由條件得，，∴，，∴，∴原式=．又∵,∴原式=0．2．3．54．提示：，原式=．5．D6．C7．B8．B9．，由根與系數(shù)關(guān)系得，即，a-b=1．又由得，從而．由a-b=1，，得滿足條件的整數(shù)點(diǎn)對(duì)（a，b）是（1,0）或（0，-1）．10，，．11．a(chǎn)+b=3,c+d=4,ab=1,cd=2,a+b+c+d=7,．(1)原式=（2）原式=．12．（1）．（2）原式=．∵,∴當(dāng)m=-1時(shí)，的最大值為10．13．設(shè)的兩根分別為（其中為整數(shù)且），則方程的兩根分別為，又∵，兩式相加，得，即，從而，或，解得，或，∴，或，∴或29．專題05一元二次方程的整數(shù)根閱讀與思考解一元二次方程問(wèn)題時(shí)，我們不但需熟練地解方程，準(zhǔn)確判斷根的個(gè)數(shù)、符號(hào)特征、存在范圍，而且要能深入地探討根的其他性質(zhì)，這便是大量出現(xiàn)于各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題。這類問(wèn)題因涵蓋了整數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的相關(guān)理論，融合了豐富的數(shù)學(xué)思想方法而備受命題者的青睞..解整系數(shù)（即系數(shù)為整數(shù)）一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，則求出根，結(jié)合整除性求解.2．利用判別式在二次方程有根的前提下，通過(guò)判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉討論、不等分析求解3．運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過(guò)因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解.4．巧選主元若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難，可選取字母為主元，結(jié)合整除知識(shí)求解.例題與求解【例1】已知關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值.（紹興市競(jìng)賽試題）解題思路：用因式分解法可得到根的表達(dá)式，因方程類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準(zhǔn)確.【例2】為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是（ ）A．B．C．D．（黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法求出的值，由題設(shè)條件自然想到根與系數(shù)的關(guān)系【例3】關(guān)于的方程的整數(shù)解的組數(shù)為（ ）A．2組B．3組C．4組D．無(wú)窮多組解題思路：把看作關(guān)于的二次方程，由為整數(shù)得出關(guān)于的二次方程的根的判別式是完全平方數(shù)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而求出的值.【例4】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：因方程的類型未確定，故應(yīng)分類討論.當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的兩個(gè)不等式，消去，先求出兩個(gè)整數(shù)根.【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的兩位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù).（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)前后兩個(gè)兩位數(shù)分別為，，則，即，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有理根、整數(shù)根的問(wèn)題.【例6】試求出所有這樣的正整數(shù)解，使得二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根.（“祖沖之杯”競(jìng)賽試題）解題思路：本題有兩種解法.由于的次數(shù)較低，可考慮“反客為主”，以為元，以為已知數(shù)整理成一個(gè)關(guān)于的一元一次方程來(lái)解答；或考慮因方程根為整數(shù)，故其判別式為平方式.能力訓(xùn)練A級(jí)1．已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)根，則(江蘇省競(jìng)賽題)2．已知一元二次方程（是整數(shù)）有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則(四川省競(jìng)賽題)3．若關(guān)于的一元二次方程和的根都是整數(shù)，則整數(shù)的值為_(kāi)_________4．若正整數(shù)，且一元二次方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，則的值等于______________.5．兩個(gè)質(zhì)數(shù)恰是的整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則等于（ ）A．B．C．D．6．若的兩個(gè)根都是整數(shù)，則可取值的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．以上結(jié)論都不對(duì)7．方程恰有兩個(gè)整數(shù)根，則的值是（ ）A．B．C．D．（北京市競(jìng)賽試題）8．若都是整數(shù)，方程的相異兩根都是質(zhì)數(shù)，則的值為（ ）（太原市競(jìng)賽試題）A．100B．400C．700D．10009．求所有的實(shí)數(shù)，使得方程的根都是整數(shù).（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）10．已知關(guān)于的方程和，是否存在這樣的值，使第一個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一整數(shù)根？若存在，求出這樣的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（湖北省選拔賽試題）11．若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)的值.（上海市競(jìng)賽試題）12．已知為整數(shù)，且是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，求的值.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B級(jí)1．已知，并且二次方程的根都是整數(shù)，則其最大根是___________.2．若關(guān)于的二次方程只有整數(shù)根，則.（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）3．若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_________個(gè).4．使方程的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)的和是______________.（上海市競(jìng)賽題）5．已知方程（其中為非零實(shí)數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根，那么.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．設(shè)方程有兩個(gè)不同的奇數(shù)根，則整數(shù)的值為_(kāi)___________（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題）7．若，且有及，則的值為（ ）A．B．C．D．8．若方程有一個(gè)正跟，和一個(gè)負(fù)根，由以為根的二次方程為（ ）A．B．C．D．9．設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）10．當(dāng)為何有理數(shù)時(shí)，恰為兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的乘積？（山東省競(jìng)賽題）11．是否存在質(zhì)數(shù)使得關(guān)于的一元二次方程有有理數(shù)根？（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）12．已知關(guān)于的方程組只有一組解且為整數(shù)解，其中均為整數(shù)且，滿足，（1）求的值；（2）求的值及它對(duì)的的值.專題05一元二次方程的整數(shù)根例1當(dāng)k=4時(shí)，x=1；當(dāng)k=8時(shí)，x=-2；當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，，，可得k=6或k=4,6,8或12．例2C例3C提示：方程變形為關(guān)于x的二次方程，且是完全平方數(shù)，得∴,∴,,,.例4=1\*GB3①若，則不是整數(shù)；=2\*GB3②，設(shè)方程的兩根為，則，，于是有，解得或則或.例5由得,即,時(shí),方程有實(shí)數(shù)解.由于必須是完全平方數(shù),而完全平方數(shù)的末位數(shù)字可能為0,1,4,5,6,9,故僅可取25,此時(shí)或,,故所求的四位數(shù)為2025或3025.例6解法一:因的次數(shù)較低,故將方程整理為關(guān)于的一次方程,得,顯然,于是,∵是正整數(shù),,即,化簡(jiǎn)得,解得.當(dāng)時(shí),∵是正整數(shù),故的值為1,3,6,10.解法二:為完全平方數(shù),故為奇數(shù)的平方.令,是正整數(shù),則,于是,原方程可化為,即,解得,,∴或得或,故的值位1,3,6,10.A級(jí)1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D9.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，則，即為所求；=2\*GB3②時(shí),則,得,由此可得.10.提示:方程=1\*GB3①,方程=2\*GB3②根為,注意討論.11.12.由韋達(dá)定理，得=1\*GB3①，=2\*GB3②，，，為正整數(shù).由=2\*GB3②得,即,故,得，，代入=1\*GB3①，即只有滿足條件.B級(jí)1.982.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3.5提示:當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),解得.當(dāng)時(shí),是整數(shù)，這時(shí)；當(dāng)時(shí)，是整數(shù)，這時(shí).綜上所述,時(shí),原方程的解為整數(shù).4.提示:將原方程整理為關(guān)于的二次方程,,討論枚舉.5.1,3,5提示:,.6.-2,或-67.A提示:與時(shí)方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.8.C9.解得，，故，，消去得，，即，求得.10.設(shè)兩連續(xù)正偶數(shù)為,則有,即,為有理數(shù),則為完全平方數(shù),令,也即,于是得,或解得或,相應(yīng)的方程的解為或與或.總之,當(dāng)或時(shí),恰為兩個(gè)整數(shù)8或10,或者46或48的乘積.11.令(為非負(fù)數(shù)),即.∵且奇偶性相同,則=1\*GB3①,=2\*GB3②,=3\*GB3③,=4\*GB3④,=5\*GB3⑤；消去分別得：，，，，，對(duì)于第1、3種情形，對(duì)于第2、5種情形，（不合題意，舍去）；對(duì)于第四種情形，為合數(shù)（舍去）.又當(dāng)時(shí)，方程為.12.(1),則是一元二次方程的兩根,故,即,又∵且為整數(shù),則,∴.(2)由條件得,又∵原方程只有一組解,當(dāng)時(shí),,∴符合條件,此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，∴，即，∴，∴，符合條件，此時(shí)=1。綜上知：k=0，x=0，y=1或k=1，x=1，y=-1。專題06轉(zhuǎn)化與化歸——特殊方程、方程組例1例2B提示：由（x+y）z=23。例3（1），，提示：=，令=y.（2）設(shè)=y，則原方程可化為，解得（3）設(shè)1999-x=a，x-1998=6，∴a+b=1，則原方程為：，得ab=0，即（1999-x）（x-1998）=0，解得，.（4）設(shè)=a，=b，∴=a+b，原方程可化為：，得ab=0，∴=0，解得例4（1）（2）提示：原方程可化為（3）方程兩式相減得=0，而，∴x-y=0代入原方程得，可求得解為例5原方程化為，當(dāng)k=0時(shí)，原方程有唯一解；當(dāng)k≠0時(shí)，△=.總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由題意知必有一個(gè)根是原方程的增根，蔥原方程知增根只能是0，1，顯然0不是方程的根，故x=1，k=.例6解法一：把原方程變形為（x-1）y=，因x=1不滿足方程，即x≠1，故y==2x-1+，由于2005=1×2005=5×401，即2005有正因數(shù)1，5，401，2005，∴分別取x-1=1，5，401，2005時(shí)，x與y均為正整數(shù)，即共有4對(duì)正整數(shù)解.解法二:把方程看成關(guān)于x的一元二次方程.由方程有整數(shù)解,其判別式為完全平方數(shù),據(jù)此可得一下解法:△=(a為非負(fù)整數(shù))，化簡(jiǎn)得，即，∴=1\*GB3①.∵（y-1-a）與（y-1+a）奇偶性相同，且其積為偶數(shù)，故（y-1-a）與（y-1+a）同為偶數(shù).由于y-1-a≤y-1+a，據(jù)=1\*GB3①，只可能有（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）將方程（Ⅰ）～（Ⅳ）中的兩個(gè)方程相加，分別得到的y值為4012，2008，808，412.由此可得相應(yīng)的x值，故共有4對(duì)正整數(shù)解（x，y）.②A級(jí)1.2或2.1，-4，2，3.94.05.B6.A7.B提示：a，b為方程的兩個(gè)不相等實(shí)根.8.B9.由及p為質(zhì)數(shù)，知或或或當(dāng)時(shí)，x=，y=，代入3xy+p（x-y）=得，解得p=3，或p=1（舍）.其他情況經(jīng)計(jì)算知沒(méi)有符合條件的質(zhì)數(shù).10.（1）（2）a=-11.提示：原方程組化為，①+②得x+y=-1.12.②B級(jí)1.2.提示:有條件得.從而=7x+2，兩邊平方化簡(jiǎn)得，其正跟為x=.3.4.（x，y）=（1，9）5.1，-16.1+7.D8.C9.D10.原方程化為①，其中△=4-4×2（a+4）=-8a-28.當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，由△=0，得；當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí)，且x=1是方程①的一個(gè)根，解得，，；當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，且x=-1是方程①的一個(gè)根，解得，.故.11.由方程知，=a，當(dāng)時(shí)，得a=2.討論：當(dāng)a>2時(shí)，方程有一個(gè)根為x=；當(dāng)a=2時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解為；當(dāng)a<2時(shí)，方程無(wú)解.12.顯然a，b是方程+c2－8c＋48＝0的兩根，由△≥0得c＝4，從而，解得a＝b＝4.故原一元二次方程化為x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝.13.（1）原方程可變形為（x－3）2＋6x＋（）2＝25，即（x－3＋）2＝25，∴x－3＋＝5或x－3＋＝－5，解得x1＝－1＋，x2＝－1－.（2）原方程化為（6x＋7）2（6x＋8）（6x＋6）＝72.設(shè)y＝6x＋7，解得x1＝－，x2＝－.（3）顯然（x1，y1，z1）＝（0，0，0）符合條件.若xyz≠0，原方程可化為，三式相加，得（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＝.0，∴（x2，y2，z2）＝（，，）.故（x，y，z）＝（0，0，0）（，，）.專題06轉(zhuǎn)化與化歸----特殊方程、方程組閱讀與思考特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）（次數(shù)高于兩次）、結(jié)構(gòu)巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：1、因式分解；2、換元；3、平方；4、巧取倒數(shù)；5、整體疊加、疊乘等.轉(zhuǎn)化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說(shuō)是“九九歸宗”.例題與求解【例1】已知方程組的兩組解是與，則的值是_______（北京市競(jìng)賽題）解題思路：通過(guò)消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求值.【例2】方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ）A．1組B．2組C．3組D．4組解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手．【例3】解下列方程:（1）；（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（2）；（河南省競(jìng)賽試題）（3）；（山東省競(jìng)賽試題）（4）（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：注意到方程左邊或右邊項(xiàng)與項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解.【例4】解下列方程組:（1）（山東省競(jìng)賽試題）（2）（西安市競(jìng)賽試題）（3）（全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個(gè)方程的特點(diǎn)和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理.【例5】若關(guān)于的方程只有一個(gè)解（相等的解也算一個(gè)）.試求的值與方程的解.（江蘇省競(jìng)賽試題）【例6】方程的正整數(shù)解有多少對(duì)？（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識(shí)進(jìn)行解題.能力訓(xùn)練A級(jí)1．方程的實(shí)數(shù)根是_____________.2．，這個(gè)方程的解為=_________________.3．實(shí)數(shù)滿足則的值為_(kāi)______________.（上海市競(jìng)賽題）4．設(shè)方程組有實(shí)數(shù)解，則（武漢市選拔賽試題）5．使得成立的的值得個(gè)數(shù)為（ ）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)（“五羊杯”競(jìng)賽試題）6．已知方程組有實(shí)數(shù)根，那么它有（ ）