2024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第22講 園冪定理

PAGEPAGE72024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第二十二講園冪定理相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)是與比例線段有關(guān)．相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在：1．用運動的觀點看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動圓內(nèi)兩條相交弦使其交點在圓外的情況；2．從定理的證明方法看，都是由一對相似三角形得到的等積式．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于A、B兩點，且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=．思路點撥綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長．注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段：(1)平行線分線段對應(yīng)成比例；(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例；(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來．【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長為()A．3B．4C．D．思路點撥連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設(shè)條件．注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵．【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC=∠B．(1)求證：PA是⊙O的切線；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．思路點撥直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識．(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程．【例4】如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE思路點撥由切割線定理得EG2=EF·EP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EF·EP，這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明．注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁．需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中．【例5】如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長．思路點撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對于(2)，從△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手：(1)多視點觀察圖形．如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理．(2)多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長為．2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是⊙O的切線，D為切點，過點B作⊙O的切線交CD于點F，若AB=CD=2，則CE=．4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為()A．6．4B．3．2C．3．6D．85．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為()A．B．C．D．⌒⌒⌒6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF⌒⌒⌒A．1B．2C．3D．47．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．(1)若∠B=30°，問AB與AP是否相等?請說明理由；(2)求證：PD·PO=PC·PB；(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長．8．如圖，已知PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C，PD⊥AB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連CE并延長交⊙O于點F，連AF．(1)求證：△PBD∽△PEC；(2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長．9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程(其中為實數(shù))的兩根．(1)求證：BE=BD；(2)若GE·EF=，求∠A的度數(shù)．10．如圖，△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC=．11．如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD=．12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(>2)，則PH=()A．B．C．D．13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長為()A．B．C．D．114．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC．15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點，連結(jié)AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點，連結(jié)OF．(1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)求BH:HC16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長．17．如圖，⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與⊙O的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA+PB+PC的值．參考答案第二十三講圓與圓圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關(guān)系有如下三種方法：1．通過兩圓交點的個數(shù)確定；2．通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定；3．通過兩圓的公切線的條數(shù)確定．為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點A，⊙Ol經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點D，EF為過點A的公切線，若O2D=，那么∠BAF=度．第二十四講幾何的定值與最值幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1．特殊位置與極端位置法；2．幾何定理(公理)法；3．?dāng)?shù)形結(jié)合法等．注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c．這是由于這類問題具有很強的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長度的最小值為．思路點撥如圖，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD越小，本例也可設(shè)AP=，則PB=，從代數(shù)角度探求CD的最小值．注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：(1)中點處、垂直位置關(guān)系等；(2)端點處、臨界位置等．⌒⌒A．從30°到60°變動B．從60°到90°變動C．保持30°不變D．保持60°不變思路點撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值．【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD，AB=，BC=(>)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值．思路點撥設(shè)AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，運用不等式(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)來求最小值．⌒【例4】如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點M，設(shè)直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點N，證明：線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關(guān)．思路點撥即要證AK·BN是一個定值，在圖形中△ABC的邊長是一個定值，說明AK·BN與AB有關(guān)，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個大膽的猜想，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標(biāo)更加明確．注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題．【例5】已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．思路點撥頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當(dāng)頂點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點Z在(AC或CB)上時，設(shè)CX=，CZ=，建立，的關(guān)系式，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解．常見的解題途徑是：(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用判別式求幾何最值；(2)構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，最小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于點O)，則△PQR的周長的最小值為．3．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則的最大值等于．4．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為()A．1B．C．D．5．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離是()A．B．C．D．6．如圖、已知矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是()A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能確定7．如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．(1)求證：MN∥AB；(2)若AB的長為l0cm，當(dāng)點C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點C，使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由．(2002年云南省中考題)8．如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．(1)當(dāng)點P在線段AB上時(如圖)，求證：PA·PB=PE·PF；(2)當(dāng)點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明，如果不成立，請說明理由．10．如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是()A．8B．12C．D．1411．如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是()A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長度．13．如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點，AV與DU相交于點P，BV與CU相交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．14．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．已知每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問如何設(shè)計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大?15．某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為800平方米．(1)設(shè)矩形的邊AB=(米)，AM=(米)，用含的代數(shù)式表示為．(2)現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價為40元．①設(shè)該工程的總造價為S(元)，求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式．②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由．③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請列出所有可能的設(shè)計方案；若不能，請說明理由．16．某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積(精確到1m2)．參考答案思路點撥直徑、公切線、O2的特殊位置等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過A點，先求出∠DO2A的度數(shù)．注：(1)兩圓相切或相交時，公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線，它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通．同時，又是生成圓冪定理的重要因素．(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形，將分散的條件集中，通過解直角三角形求解．【例2】如圖，⊙Ol與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則⊙Ol與⊙O2的半徑之比為()A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3思路點撥添加輔助線，要探求兩半徑之間的關(guān)系，必須求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度數(shù)，為此需尋求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系．【例3】如圖，已知⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，P是⊙Ol上一點，PB的延長線交⊙O2于點C，PA交⊙O2于點D，CD的延長線交⊙Ol于點N．(1)過點A作AE∥CN交⊙Oll于點E，求證：PA=PE；(2)連結(jié)PN，若PB=4，BC=2，求PN的長．思路點撥(1)連AB，充分運用與圓相關(guān)的角，證明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探尋PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系．【例4】如圖，兩個同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點D，連結(jié)OD并延長交大圓于點E，連結(jié)BE交AC于點F，已知AC=，大、小兩圓半徑差為2．(1)求大圓半徑長；(2)求線段BF的長；(3)求證：EC與過B、F、C三點的圓相切．思路點撥(1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，建立R的方程；(2)證明△EBC∽△ECF；(3)過B、F、C三點的圓的圓心O′，必在BF上，連OˊC，證明∠O′CE=90°．注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識．作出圓中基本輔助線、運用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵．【例5】如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為，面積之和為．(1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的最小值．思路點撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對于(1)，，通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對于(2)，因=R+r，故是在約束條件下求的最小值，解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍．注：如圖，半徑分別為r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點，則：(1)AB=2；(2)∠ACB=∠OlMO2=90°；(3)PC2=PA·PB；(4)sinP=；(5)設(shè)C到AB的距離為d，則．學(xué)力訓(xùn)練1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點，且⊙Ol經(jīng)過點O2，若∠AOlB=90°，則∠AO2B的度數(shù)是．2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍．(2003年上海市中考題)3．如圖；⊙Ol、⊙O2相交于點A、B，現(xiàn)給出4個命題：(1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點C，AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點D，則AB2=BC·BD；(2)連結(jié)AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm；(3)若CA是⊙Ol的直徑，DA是⊙O2的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、D三點不在同一條直線上，(4)若過點A作⊙Ol的切線交⊙O2于點D，直線DB交⊙Ol于點C，直線CA交⊙O2于點E，連結(jié)DE，則DE2=DB·DC，則正確命題的序號是(寫出所有正確命題的序號)．4．如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點M，設(shè)⊙Ol的半徑為，AM的長為，則與的函數(shù)關(guān)系是，自變量的取值范圍是．5．如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是()A．2B．C．D．6．如圖，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B兩點，且點Ol在⊙O2上，過A作⊙Oll的切線AC交BOl的延長線于點P，交⊙O2于點C，BP交⊙Ol于點D，若PD=1，PA=，則AC的長為()A．B．C．D．7．如圖，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A．上述結(jié)論，正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．48．兩圓的半徑分別是和r(R>r)，圓心距為d，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是()A．一定內(nèi)切B．一定外切C．相交D．內(nèi)切或外切9．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，過點P的直線交⊙Ol于點D，交⊙O2于點E，DA與⊙O2相切，切點為C．（1）求證：PC平分∠APD；(2)求證：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的長．10．如圖，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切線，切點為B、C，連結(jié)BA并延長交⊙Ol于D，過D點作CB的平行線交⊙O2于E、F，求證：(1)CD是⊙Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．11．如圖，已知A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點M是OlO2的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙Ol、⊙O2于B、C．(1)求證：AB=AC；(2)若OlA切⊙O2于點A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2；(3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2=R2r2．12．已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為．13．如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為．14．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為()A．2：7B．2：5C．2：3D．1：315．如圖，⊙Ol與⊙O2相交，P是⊙Ol上的一點，過P點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是()A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，4