2024年貴州省高三數(shù)學(xué)4月高考模擬試卷附答案解析

年貴州省高三數(shù)學(xué)4月高考模擬試卷試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2024.04一、單選題1．設(shè)集合，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，在平行四邊形中，為的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．4．已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列說法錯誤的是（

）A．丙與丁是互斥事件 B．甲與丙是互斥事件C．甲與丁相互獨(dú)立 D．（乙丙）（乙）+（丙）7．若數(shù)列滿足，，且對任意的都有，則（

）A． B．C． D．8．已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，且，直線的斜率分別為和，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，上，下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，的延長線交于，且，則（

）A．橢圓的離心率為B．直線的斜率為C．為等腰三角形D．11．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．若點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為C．底面半徑為且高為的圓柱可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題12．近日海南文旅火爆出圈，海南島優(yōu)美的海濱景觀和深厚的文化底蘊(yùn)吸引著全國各地游客前往，小明計(jì)劃假期去?？凇⑷齺?、儋州、文昌、瓊海五個(gè)城市游玩，每個(gè)城市都去且只去一次，若儋州和文昌這兩個(gè)城市不排在最前面和最后面，則不同的游玩順序有種．（用數(shù)字作答）13．函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，其離心率為，已知對勾函數(shù)的圖象也是雙曲線，其離心率為．則．14．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為.設(shè)n是不等式的正整數(shù)解，則n的最小值為.四、解答題15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且．(1)求；(2)設(shè)，求的面積．16．如圖1，在等邊三角形中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).如圖2，以為折痕將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置（平面），連接.(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且直線的傾斜角為，點(diǎn)到的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），是上一點(diǎn)，且軸．若平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)均在上，與交于點(diǎn)，證明：為定值．18．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．甲乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動，每輪活動由甲乙各猜一個(gè)成語，已知甲、乙第一輪猜對的概率都為.甲如果第輪猜對，則他第輪也猜對的概率為，如果第k輪猜錯，則他第輪也猜錯的概率為；乙如果第k輪猜對，則他第輪也猜對的概率為，如果第k輪猜錯，則他第輪也猜錯的概率為.在每輪活動中，甲乙猜對與否互不影響.(1)若前兩輪活動中第二輪甲乙都猜對成語，求兩人第一輪也都猜對成語的概率；(2)若一條信息有種可能的情形且各種情形互斥，每種情形發(fā)生的概率分別為，，，，則稱為該條信息的信息熵（單位為比特），用于量度該條信息的復(fù)雜程度.試求甲乙兩人在第二輪活動中猜對成語的個(gè)數(shù)X的信息熵H；(3)如果“星隊(duì)”在每一輪中活動至少有一人猜對成語，游戲就可以一直進(jìn)行下去，直到他們都猜錯為止.設(shè)停止游戲時(shí)“星隊(duì)”進(jìn)行了Y輪游戲，求證：.【答案】1．C【分析】依題意可得或，求出的值，再檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.【詳解】因?yàn)?，且，所以或，解得或或，?dāng)時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)集合、，滿足，符合題意.故選：C2．A【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義及三角函數(shù)值符號判斷其所在象限即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)點(diǎn)，又因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3．B【分析】利用平行分線段成比例得到，進(jìn)而利用向量加法的平行四邊形法則即可得解.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校瑸榈目拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，所以，所以，又，所以，.故選：B.4．D【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，由題意知：，兩式相除解得，；所以圓錐的頂角為，軸截面為等邊三角形，圓錐的高，設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為，，解得.故選：D.5．C【分析】觀察，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到，代入即可得解.【詳解】設(shè)，則，故，所以.故選：C.6．D【分析】對于AB：利用互斥的事件的概念判斷；對于C：計(jì)算（甲）（?。锥。┦欠癯闪砼袛?；對于D：根據(jù)乙丙，乙，丙分別包含的基本事件數(shù)來判斷.【詳解】對于A：丙與丁不可能同時(shí)發(fā)生，所以丙與丁是互斥事件，A正確；對于B：若第一次取出的球的數(shù)字是1，則兩次取出的球的數(shù)字之和不可能是8，所以甲與丙不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，B正確；對于C：（甲），（?。?，（甲?。?，則（甲）（?。锥。?，所以甲與丁相互獨(dú)立，C正確；對于D：乙丙包含的基本事件有共10個(gè)，乙包含的基本事件有共6個(gè)，丙包含的基本事件有共5個(gè)，所以P（乙丙）P（乙）+P（丙），D錯誤.故選：D.7．C【分析】令，由題意可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得，再利用累加法求得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求即可得解.【詳解】因?yàn)閷τ诙加?，則，令，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，即，則，累加得，所以，則，所以.故選：C.8．C【分析】先判斷出兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)，可知是中點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線的斜率列方程，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】，設(shè)，則，則，，.故選：C【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問題，可以利用直接法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得和，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得或的等量關(guān)系式，由此來求得離心率.9．AD【分析】A選項(xiàng)，利用抽象函數(shù)定義域的求解判斷即可；B選項(xiàng)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案；C選項(xiàng)，求出的定義域即可判斷；D選項(xiàng)，將問題轉(zhuǎn)化為能夠取到所有正數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式組，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，對于，由，得，對于，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋珹正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上，的取值范圍是，B錯誤；C選項(xiàng)，令，解得，當(dāng)時(shí)顯然無意義，所以不可能在上單調(diào)遞減，C錯誤；D選項(xiàng)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則能夠取到所有正數(shù)，當(dāng)時(shí)，能夠取到所有正數(shù)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需滿足，即，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD.10．ACD【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解角的三角函數(shù)值，在同一個(gè)三角形中將離心率表示為三角函數(shù)值，求出離心率即可判斷A，先求出傾斜角的正切值，再利用斜率的幾何意義判斷B，利用橢圓的定義得到邊相等，證明是等腰三角形判斷C，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D即可.【詳解】對于A，連接，，，，，，在中，，故有，解得，則，而在中，，，故A正確，對于B，而的傾斜角為，而，則，故B錯誤.對于C，由已知得，是等腰三角形，故C正確，對于D，因?yàn)?，則，故，易知的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，解得或，故，又，即，由兩點(diǎn)距離公式得，而，，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】對A，可證平面，可得；對B，平面截正方體的截面為如圖正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對稱，最小轉(zhuǎn)化為求即為；對C，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可滿足題意；對D，當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，得解.【詳解】對于A，如圖，，又平面，所以，又是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，所以，同理可證，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對于B，如圖，平面截正方體的截面為正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對稱，所以，故B錯誤；對于C，底面半徑為，高為的圓柱的外接球的半徑為，又正方體棱長為2，所以圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故C正確；對于D，由題，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即，在中，，，，所以.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：選項(xiàng)B，確定平面截正方體的截面為正六邊形，由此確定點(diǎn)關(guān)于平面對稱，將球最小轉(zhuǎn)化為求；選項(xiàng)C，圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可；選項(xiàng)D，直線與平面所成角的正弦值最大，即最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即.12．【分析】由特殊元素優(yōu)先原則，先排儋州和文昌這兩個(gè)城市，再排其他城市即可.【詳解】依題意，相當(dāng)于將五個(gè)城市進(jìn)行放到五個(gè)排成一排的空位中，先排儋州和文昌，在中間三個(gè)空位選兩個(gè)進(jìn)行排序，有種排法，再將其他3個(gè)城市放到剩下的三個(gè)空位進(jìn)行排序，有種排法，所以共有種排法.故答案為：.13．【分析】首先得到雙曲線的兩條漸近線方程分別為，，根據(jù)雙曲線的對稱性可得漸近線與實(shí)軸的夾角為，即，利用二倍角公式求出，最后由離心率公式計(jì)算可得.【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，雙曲線的方程為，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，，漸近線與實(shí)軸的夾角為，，，解得或（舍去），，．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得到雙曲線的兩條漸近線方程，從而得到漸近線與實(shí)軸的夾角.14．8【分析】先利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得，然后結(jié)合得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，∴，∴，即∴，∴，∴，∴，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，即，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，易知，，且，，∴使得成立的的最小值為8.故答案為：8.15．(1)(2)【分析】（1）先求出，再根據(jù)，可得，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合平方關(guān)系即可得解；（2）由，得，結(jié)合，得，再利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出各邊，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）由，得，則，又，所以，即，即．由，解得．又，解得或（舍去），從而；（2）由，得，結(jié)合，得，由正弦定理，得．又，所以，由余弦定理，得，即，解得，所以的面積為．16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用勾股定理、余弦定理證明線線垂直得線面垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明即可；（2）先利用勾股定理逆定理及線線垂直證得面平面，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求線面角即可.【詳解】（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由題意易知，，，不妨設(shè)，則，由余弦定理可知，，由勾股定理知，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）分別取中點(diǎn)，連接，由余弦定理可知，而，顯然，則，易知，，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線定義得到，再根據(jù)條件得到，代入拋物線方程得到方程，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，，根據(jù)條件得到，從而有直線的方程為，得到直線過點(diǎn)，又由題設(shè)知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得到為的中點(diǎn)，即可解決問題.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，得，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，又，所以，代入，得，整理得，解得（舍去）或，故的方程為．（2）設(shè)，顯然，與軸不平行，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立得，則，且，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即，所以，得到，又，即，由點(diǎn)在上，得，解得，所以直線的方程為，即，所以直線過點(diǎn)，又將代入，得，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為的中點(diǎn)，所以，故為定值．18．(1)(2)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，理由見解析(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與，得到存在使得，存在使得，進(jìn)而得到答案；（3）求得，根據(jù)題意，得到，令，得到使得，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得，再由，求得，再由，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋傻?，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，存在使得，存在使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以時(shí)，有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值.（3）解：由，可得，由，因