中考數(shù)學(xué)解題技巧 76截長(zhǎng)補(bǔ)短模型證明問題

截長(zhǎng)補(bǔ)短模型證明問題【專題說明】截長(zhǎng)補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長(zhǎng)補(bǔ)短法呢?所謂截長(zhǎng)補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長(zhǎng)和補(bǔ)短.截長(zhǎng)就是在較長(zhǎng)的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時(shí)，用截長(zhǎng)補(bǔ)短．【知識(shí)總結(jié)】1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長(zhǎng)法：通過添加輔助線先在求證中長(zhǎng)線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法.截長(zhǎng)法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補(bǔ)短法：如圖3，延長(zhǎng)AB至H點(diǎn)，使BH=CD,再證明AH=EF即可.【類型】一、截長(zhǎng)“截長(zhǎng)”是指在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC，可證四邊形GCFM為平行四邊形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△BCD和△MCF。方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF.圖3方法四：如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△BDC和△KDF?！绢愋汀慷?、補(bǔ)短“補(bǔ)短”指的是選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長(zhǎng)GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長(zhǎng)GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可證△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下從略.方法七：如圖5所示，延長(zhǎng)CG至P，使CP=BF，連接PF，則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因?yàn)椤螾FG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可證∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.圖5方法八：如圖5所示，延長(zhǎng)CG至P，使GP=DF，連接PF，可證∠DFC=∠PGF=135°，F(xiàn)C=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四邊形BCPF為平行四邊形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如圖6所示，延長(zhǎng)DE至Q，使DQ=BF，連接CQ，GQ，可證△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ為等腰直角三角形，可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG，所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.圖6方法十：如圖6所示，延長(zhǎng)FE至Q，使FQ=CG，通過證明四邊形FCQG為正方形，△BCF≌△DCQ，同樣可以證明結(jié)論成立。感興趣的讀者可以自行證明，詳細(xì)思路從略。方法十一：如圖7所示，延長(zhǎng)FD至H，使DH=CG，可證得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，則∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH為等腰直角三角形，于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.圖7方法十二：如圖7所示，延長(zhǎng)FD至H，使FH=BF，可得△BFH為等腰直角三角形，于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，所以△BDH∽△BCF，所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.經(jīng)過上述分析，可知采取不同的切入點(diǎn)，解題思路會(huì)有差異。截長(zhǎng)補(bǔ)短模型證明問題1．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．證明：在BC上截取BF＝BE，連接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－eq\f(1,2)∠ABC－eq\f(1,2)∠ACB＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.2．如圖，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中點(diǎn)．問：AD，BC，AB之間有何關(guān)系？并說明理由．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，連接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC同理可證：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.3．如圖，已知DE＝AE，點(diǎn)E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，請(qǐng)問線段AB，CD和線段BC有何大小關(guān)系？并說明理由．解：線段AB，CD和線段BC的關(guān)系是：BC＝AB＋CD.理由：在△DCE中，∠EDC＋∠DEC＝90°，∵∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＝∠EDC，又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AB＝EC，BE＝CD，∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.4．如圖，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，點(diǎn)E在AD上．求證：BC＝AB＋CD.證明：在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF，如圖，∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠D.∴△CDE≌△CFE(AAS)，∴CF＝CD.∵BC＝BF＋CF，∴BC＝AB＋CD.5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB＝AC＋CD.證明：如圖，延長(zhǎng)AC到E，使CE＝CD，連接DE.則∠E＝∠CDE＝45°，∴∠B＝∠E.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△ABD和△AED中，∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(AAS)．∴AE＝AB.∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD，∴AB＝AC＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)求證：AC＝AE＋CD.(1)解：∵∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)＝180°－eq\f(180°－60°,2)＝120°；(2)證明：∵∠AOC