三角函數(shù)與三角恒等變換

關(guān)于三角函數(shù)與三角恒等變換第五章三角函數(shù)與三角恒等變換§5.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)框架考試要求§5.1三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式§5.2三角恒等變換§5.4三角函數(shù)應(yīng)用第2頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)框架任意的概念角的度量方法(角度制與弧度制)同角三角函數(shù)關(guān)系式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)誘導(dǎo)公式兩角和與差的三角函數(shù)二倍角的三角函數(shù)三角函數(shù)式的恒等變形(求值、化簡(jiǎn)、證明)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象返回章菜單第3頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天①理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.②能利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（的正弦、余弦、正切），能畫(huà)出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最在和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）.④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：考試要求第4頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑤了解y=Asin(ωx+)的實(shí)際意義；能畫(huà)出y=Asin(ωx+)的圖象，觀察參數(shù)A，ω,

對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.⑦會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式.⑧能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.⑨能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.考試要求返回章菜單第5頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.1三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第6頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函數(shù)（1）設(shè)角α是一任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα=y，cosα=xtanx=；（2）三角函數(shù)的符號(hào)：由于sinα>0

y>0，故α的終邊在第一、二象限及y軸非負(fù)半軸時(shí)，sinα為正；由于cosα>0x>0，故α的終邊在第一、四象限及x軸的非負(fù)半軸時(shí)，cosα為正；由于tanα>0xy>0，即x與y同號(hào)，故當(dāng)α終邊在第一、三象限時(shí)，tanα為正.第7頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)4.同角三角函數(shù)關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系是由三角函數(shù)的定義推導(dǎo)得到的，所以各“恒等”的含義是使各三角函數(shù)及各式有意義.5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：①平方關(guān)系：②商數(shù)關(guān)系：6.誘導(dǎo)公式：①的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α“看成”銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”；的三角函數(shù)值等于α的余函數(shù)值，前面加第8頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天上一個(gè)把α“看成”銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，即“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”；③誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°~90°角的三角函數(shù)值.知識(shí)要點(diǎn)返回節(jié)菜單第9頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]若角α是第三象限的角，則點(diǎn)P（sinα,tanα)位于第

象限.[答案]

二[解析]∵α為第三象限角∴sinα＜0,tanα＞0∴p(sinα,tanα)位于第二象限第10頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例2]化簡(jiǎn)①sin420°cos330°+sin(-690°)cos(-660°)②例題剖析[解析]①原式=sin(360°+60°)cos(360°-30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=②原式=˙第11頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

應(yīng)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)是應(yīng)掌握的基本技能，在有弦有切的題中，切化弦是常用的方法.第12頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3][解析]第13頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第14頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

知sinα+cosα，sinα-cosα,sinαcosα三個(gè)式子中的一個(gè)，可以求出其余兩個(gè)式子的值.第15頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]第16頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4][解析]代入原式得第17頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第18頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]第19頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

將關(guān)于sinθ、cosθ的齊次式變換為關(guān)于tanθ的表達(dá)式在三角變換中有廣泛的應(yīng)用，其中“1”用“sin2θ+cos2θ”等反代是常用的技巧.第20頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R，如圖所示.(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值c（c>0），當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？[解析]

（1）設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓.第21頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第22頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]弧長(zhǎng)和扇形的核心公式是圓周長(zhǎng)公式c=2πR和圓面積公式S=πR2;當(dāng)用圓心角α(弧度)代換2π時(shí)，即可得到一般弧長(zhǎng)和扇形面積公式.返回節(jié)菜單返回章菜單第23頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.2三角恒等變換知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第24頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)1.兩角和與差的三角函數(shù)公式

2.二倍角公式

3.平方降冪擴(kuò)角公式

第25頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)4.5.公式應(yīng)用講究一個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要?jiǎng)?chuàng)造條件應(yīng)用公式，如拆角、拼角等技巧，如返回節(jié)菜單第26頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例1]

sin15°+cos15°的值:

.例題剖析[答案][解析]法(一)∵sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°第27頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第28頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]

不查表求值[解析]原式=cos40°(1+)第29頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

不查表求含非特殊角的三角函數(shù)式的值，應(yīng)注意題中各角的特征與相互之間的關(guān)系，特別注意這些角的和、差、倍、半是否為特殊角.第30頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]

已知[解析]第31頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第32頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

給出角的三角函數(shù)值,求另一角的三角函數(shù)值時(shí),要注意活用二角和、差的三角函數(shù)公式，將待求角配湊出用已知角表示的式子，再應(yīng)用三角公式進(jìn)行求解，如本例的2α用（α+β）+（α-β)表示，2β用（α+β）-(α-β)表示.第33頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]法(一)由條件可得法(二)由條件得第34頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第35頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]

已知且[解析]第36頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第37頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

已知α的某種三角函數(shù)值,可求α的其它三角函數(shù)值,利用二倍角及兩角和差關(guān)系式,可求2α或α+

(為特殊角)的三角函數(shù)值.第38頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]法(一)由條件得第39頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第40頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]

是否存在銳角α、β，使α+2β=與tantanβ=同時(shí)成立？若存在，求出α、β的大??；若不存在，說(shuō)明理由.[解析]

假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的銳角α，β，則第41頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第42頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

問(wèn)是否存在的問(wèn)題，一般選假設(shè)存在，再?gòu)臈l件入手；求角時(shí)，一般是先求得三角函數(shù)值，再由角的范圍求得角的大小.返回節(jié)菜單返回章菜單第43頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第44頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)

①圖象②定義域③值域④奇偶性⑤單調(diào)性⑥周期性2.y=Asin(wx+）的圖象作圖方法：

（1）五點(diǎn)作圖法（2）圖象變換法a.相位變換y=sinx圖象向左（>0)或向右（<0）平移||個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.第45頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)b.周期變換y=sinx橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0<w<1）或縮短（w>1)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sinwx的圖象.c.振幅變換y=sinx縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A>1)或縮短（0<A<1)到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=Asinx圖象.3.

y=Asin(wx+），y=Acos(wx+)（A≠0，w≠0）的最小正周期為,y=Atan(wx+)(A≠0,w≠0)的最小正周期為.4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象可得

①y=sinx圖象關(guān)于直線(xiàn)x=kπ+對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)（kπ,0）對(duì)稱(chēng);第46頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天②y=cosx圖象關(guān)于直線(xiàn)x=kπ對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)（kπ+,0）對(duì)稱(chēng);③y=tanx圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對(duì)稱(chēng)(以上k∈Z).5.三角函數(shù)中的最值問(wèn)題一般有如下三種方法：

（1）三角法：先通過(guò)三角恒等變形，化為形如y=Asin(wx+）+B,y=Acos(wx+)+B,y=Atan(wx+)+B，利用|sin(wx+)|≤1,|cos(wx+)|≤1或圖象來(lái)確定最值.（2）代數(shù)法：先通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，再利用配方法、不等式法、判別式法、單調(diào)性法等求解.（3）解析法：將三角函數(shù)與坐標(biāo)定義聯(lián)系起來(lái)運(yùn)用解析幾何的知識(shí)來(lái)求最值.知識(shí)要點(diǎn)返回節(jié)菜單第47頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]

函數(shù)y=cos4x-sin4x圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是

.[答案][解析]第48頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]

已知函數(shù)（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五點(diǎn)法作出它的圖象；（3）說(shuō)明該函數(shù)的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得到.x0020-20[解析]（1）振幅A=2，周期T=，初相（2）列表：第49頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析描點(diǎn)作圖（如右圖）（3）把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象;再把y=sin(x+)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)倍,得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象;再把y=sin(2x+)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)=2sin(2x+)的圖象.

動(dòng)態(tài)演示第50頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

作y=Asin(wx+)+B的圖象以五點(diǎn)法最為方便,但必須清楚它的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系.第51頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]

已知函數(shù)（1）求其最小正周期、單調(diào)增區(qū)間；（2）求其最大值及取得最大值時(shí)x的集合.[解析]第52頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第53頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

求函數(shù)的最小正周期,若能化為形如y=Asin(wx+)+B成y=Acos(wx+)+B或y=Atan(wx+)+B,則只須分別代入即可求y=Asin(wx+)+B的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題,實(shí)位是利用y=sinx的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題來(lái)解決,特別應(yīng)注意w<0或A<0時(shí)的情形易出錯(cuò).第54頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1已知函數(shù)的最大值為2.①求a；②當(dāng)時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.[解析]

①第55頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1即f(x)的最大值為3+a由條件得3+a=2,即a=-1②令第56頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]f(x)=cos2wx+sinwxcoswx+a(其中w>0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐為(1)求w的值;(2)若f(x)在區(qū)間上的最小值為,求a的值.[解析]第57頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第58頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]關(guān)于給出條件求y=Asin(wx+)+B的表達(dá)式,求解時(shí)應(yīng)注意y=sinx圖象及性質(zhì),原因是y=Asin(wx+)+B圖象必可由y=sinx圖象平移成伸縮得到,在求y=Asin(wx+)+B且x給定范圍的最值時(shí),應(yīng)注意不能直接把給定區(qū)間的邊界值代入.第59頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展2已知函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求當(dāng)|x|≤時(shí),f(x)的值域.[解析](1)∵點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(-x,y)由條件,P在f(x)圖象上時(shí),P′也在f(x)圖象上第60頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第61頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]

如下圖,是函數(shù)y=2sin(wx+)(||≤w>0)的一段圖象,則w、的值是 （ ）第62頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]如上圖，給我們的信息是(1)點(diǎn)(0,1),(,0)在圖象上(2)函數(shù)的最小正周期第63頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析第64頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

在給出圖象求表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意充分挖掘圖中的信息，如對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等，對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)還應(yīng)注意其最小正周期.返回節(jié)菜單返回章菜單第65頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.4三角函數(shù)應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第66頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)要點(diǎn)1.利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決與三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題、不等式問(wèn)題、奇偶問(wèn)題等.2.通過(guò)引入三角函數(shù)，解決給出有一定實(shí)際背景的問(wèn)題.返回節(jié)菜單第67頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)()有以下命題：①f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍；②y=f(x)可以改寫(xiě)為y=4cos(2x-);③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱(chēng)；④y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-

對(duì)稱(chēng)；其中正確的命題的序號(hào)是

(把你認(rèn)為正確的都填上).[答案]

②③第68頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]∵①取x1=命題①不成立.第69頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]如下圖所示，函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是（ ）[解析]

∵f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又∴當(dāng)時(shí),f(x)<0,∴排除B∴選D第70頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

給出函數(shù)的解析式來(lái)認(rèn)圖象的，可以從給出的解析式的定義域、值域、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、特殊點(diǎn)、單調(diào)性等方面進(jìn)行排除.第71頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]某港口的水深y(米)與時(shí)間t(0≤t≤24,單位：時(shí)）的函數(shù)關(guān)系記為y=f(t)，下面是該港口某日的水深數(shù)據(jù)表：t(時(shí))03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

由上述數(shù)據(jù)描出函數(shù)y=f(t)的圖象（如圖）,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察和擬合知該圖象可近似地看作函數(shù)y=Asinwt+B的圖象.(1)試根據(jù)所給數(shù)據(jù)和圖象，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)在一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不得小于4.5米才能保證航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距離）為7米，那么該船在何時(shí)段內(nèi)航行時(shí)才是安全的？第72頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)并結(jié)合圖象可知第73頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析(2)依題意,要使船安全通過(guò),水深不得少于11.5米令y≥11.5得3.0sin∴1≤t≤5或13≤t≤17第74頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[點(diǎn)評(píng)]

由圖象或表數(shù)據(jù)求形如y=Asin(wx+)+B的解析式時(shí)，通常由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)(數(shù)據(jù)的最大值和最小值)來(lái)求A和B，由周期來(lái)求w，由特殊點(diǎn)來(lái)求.第75頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2007江西)如圖，函數(shù)y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω＞0,0≤θ≤)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,)，且該函數(shù)的最小正周期為π.(1)求θ和ω的值；(2)已知點(diǎn)A(,0),點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)Q(x0,y0)是PA的中點(diǎn)，當(dāng)y0=，x0∈［,π］時(shí)，求x0的值.延伸拓展1[解析](1)將x=0,y=代入函數(shù)y=2cos(wx+θ)中,得cosθ=

,因?yàn)?≤θ≤,所以θ=第76頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第77頁(yè),共84頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x2+y2+2x=0,求y2-3x的最大值及最小值.[解析]法(一)由條件得y2=-x2-2x,且y2≥0得-2≤x≤0∴f(x)=y2-3x=-x2-2x-3x=-x2-5x(