2020-2021學(xué)年廣東省東莞市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2020-2021學(xué)年廣東省東莞市高一下期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.（5分）已知”z=2+iM是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）已知向量e1=（x,1）,e2=（x—2,3）共線，則尤的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（5分）如圖是水平放置的△A3。的斜二測(cè)直觀圖B'O',D'是O'B'的中點(diǎn),

則△A3。中長(zhǎng)度最長(zhǎng)的線段為（

C.ADD.AB

4.（5分）已知一組數(shù)據(jù)為85,87,88,90,92,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為)

A.87B.87.5C.89D.91

5.（5分）已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則該圓柱的外接球的體積為（）

5V57T8V27T20V57r64近兀

6.（5分）“大美中國(guó)古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成.如圖，記榴

花塔高為OT,測(cè)量小組選取與塔底。在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和8,現(xiàn)測(cè)得/

054=105°,/O48=45°,AB=45m,在點(diǎn)8處測(cè)得塔頂T的仰角為30°,則塔高

OT為()

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15V245V2

A.15V6mB.-------mC.45V6mD.-------m

22

7.（5分）2021年3月，樹(shù)人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年”

黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（圖1）和前200名中高一學(xué)生

排名分布的頻率條形圖（圖2）.則下列命題錯(cuò)誤的是（

前200名學(xué)生分布的拼狀圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

圖2

A.成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績(jī)第1?100名的100人中，高一人數(shù)不超過(guò)一半

C.成績(jī)第1?50名的50人中，高三最多有32人

D,成績(jī)第51?100名的50人中，高二人數(shù)比高一的多

8.（5分）在四邊形ABC。中，AB〃CZ）,A8=2CO=4,AC=4,BD=5,則A。的長(zhǎng)為（）

A.V10B.VTlC.V13D.V15

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選

項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

（多選）9.（5分）袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，從中取兩個(gè)球，每次取一個(gè)

球，取球后不放回，設(shè)事件A=｛第一個(gè)球是紅球｝,8=｛第二個(gè)球是黃球｝,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.A與B互為對(duì)立事件B.A與B互斥

C.P（A）=P（B）D.P（AUB）

（多選）10.（5分）已知復(fù)數(shù)z（zWO）,2是z的共軌復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z=2,則zCRB.若|z|=l,貝！|z-2=l

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C.若gcR,則zERD.若z2+/=0,則z=0

（多選）n.（5分）已知］與力均為單位向量，其夾角為仇則下列結(jié)論正確的是（）

tt27r

A.\a+6|>1<=^>06[0,—)B.|a+b|>1=0G，"]

T)TTTrTT

C.\a-b\<l^ee[0,J)D.|a-b|VI0e(4,TT]

（多選）12.（5分）如圖，在正方體ABCD-AiBiCiOi中，M,N,尸分別為棱881,BiCi,

CG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.4CJ_平面。1MN

B.點(diǎn)P與點(diǎn)D到平面D1MN的距離相等

C.平面D1MN截正方體ABC。-A1B1C1D1所得截面圖形為等腰梯形

D.平面。1MN將正方體ABCD-AiBiCiDi分割成的上、下兩部分的體積之比為7：17

13.（5分）如圖，由A,8兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，元件A,8正常工作的概率分別為

0.9和0.8,則電路正常工作的概率為.

14.（5分）廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的（如圖）.如果被

截正方體的棱長(zhǎng)為2式，那么玩具石凳的表面積為.

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—>—>

15.（5分）已知點(diǎn)A（1,0）,B（0,1）,C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且=L則滿足條

件的點(diǎn)C的一個(gè)坐標(biāo)為.

16.（5分）“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)

美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共

部分形成的幾何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，

其中APC與3尸。為相互垂直且全等的半圓面，它們的圓心為。，半徑為1.用平行于底

面ABCD的平面a去截“四腳帳篷”所得的截面圖形為；當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)OP的

中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為.

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四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)

域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

17.（10分）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,zo=xo+yoi,記復(fù)數(shù)z與zo分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（x,y）

和Zo（xo,yo）.

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求Z和Zo兩點(diǎn)間的距離；

（2）已知|z-zo|=r。為正實(shí)數(shù)）表示動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)Zo為圓心，r為半徑的圓.那

么滿足條件lW|z-（1+i）|W3的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？并求出該圖形的面積.

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18.（12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①“:V3,

②6=2,③遮（b-acosC）—asinC,@a2+c2-b2=-^^-ac.

（1）③④兩個(gè)條件可以同時(shí)成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)?jiān)谏鲜鏊膫€(gè)條件中選擇使AABC有解的三個(gè)條件，并求出△ABC的面積.

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19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，E為尸C中點(diǎn)，平面小D_L平面

ABCD,AB=4,PA=PD=2或.

(1)證明：出〃平面BDE-,

(2)證明：AB1PD；

(3)求三棱錐C-BZ)E的體積.

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20.（12分）如圖，斜坐標(biāo)系xOy中，3，■分別是與無(wú)軸、y軸正方向同向的單位向量，

且ei，e2的夾角為120°,定義向量。P=xei+ye2在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì)

（x,y）.在斜坐標(biāo)系xOy中完成下列問(wèn)題：

（1）若向量小的坐標(biāo)為（2,3）,計(jì)算［0^|的大?。?/p>

—>—>

（2）若向量。M的坐標(biāo)為（xi,yi）,向量ON的坐標(biāo)為（了2,"）,判斷下列兩個(gè)命題的

真假，并說(shuō)明理由.

—>—?

命題①：若。M〃0N,則xi”-x2yi=0；

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21.（12分）4月23日是世界讀書(shū)日，樹(shù)人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行

分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，

女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻數(shù)

分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)

間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值）

男生一周閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表

小,時(shí)頻數(shù)

[0,2)9

⑵4)25

[4,6)3

[6,8)3

（1）從一周課外閱讀時(shí)間為［4,6）的學(xué)生中按比例分配抽取6人，從這6人中任意抽

取2人，求恰好一男一女的概率；

（2）分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)元，y；

（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)2和方差s2.

參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時(shí)間方差的估計(jì)值分別為s勇2=2.4和s”

=3.S2=焉［求1（所元）2+摩］（元一2）2+求］（%_歹）2+2署（歹—2）2］,

Xi（0WiW40）和V（0WW60）分別表示男生和女生一周閱讀時(shí)間的樣本，其中iez.

女生一周閱讀時(shí)間頻率分布直方圖

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22.(12分)如圖1,“雪糕筒”為校園中常見(jiàn)的交通標(biāo)識(shí)，其可以近似的看成一個(gè)圓錐.如

圖2,放置在水平地面上的某型號(hào)“雪糕筒”底面直徑AB=20,母線尸8=60,該“雪糕

筒”繞點(diǎn)8被放倒后A、B、P'在同一條直線上.

(1)求“雪糕筒”被放倒后最高點(diǎn)離水平地面的距離；

(2)求直線P8與圓面。'所成的角的余弦值；

(3)若放倒后的“雪糕簡(jiǎn)”繞點(diǎn)P沿水平地面旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)說(shuō)明旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面

所圍成的旋轉(zhuǎn)體的特征(不用說(shuō)明理由).

圖1圖2

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2020-2021學(xué)年廣東省東莞市高一下期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.（5分）已知”z=2+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：因?yàn)閕'z=2+i,

所以z=^=乂等=1—2i,

1/

所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-2）,位于第四象限.

故選：D.

2.（5分）已知向量e1=（x,1）,e2=（x—2,3）共線，則尤的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：：向量3=（久，1）,屆=（久一2,3）共線，

3x-1X（x-2）=0,即x=-1.

故選：A.

3.（5分）如圖是水平放置的△A3。的斜二測(cè)直觀圖B'O',D'是B'的中點(diǎn),

則△ABO中長(zhǎng)度最長(zhǎng)的線段為（）

A.OAB.OBC.ADD.AB

【解答】解：由斜二測(cè)直觀圖B'0'可知，O'A'LO'B',

則AO_LOB,

所以△A08為直角三角形，OA,08為直角邊，為斜邊，

又。為的中點(diǎn),

所以AB最長(zhǎng).

故選：D.

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4.（5分）已知一組數(shù)據(jù)為85,87,88,90,92,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）

A.87B.87.5C.89D.91

【解答】解：該組數(shù)據(jù)從小到大排列為85,87,88,90,92,計(jì)算5X60%=3,

OOlQQ

所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為------=89.

2

故選：C.

5.（5分）已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則該圓柱的外接球的體積為（）

5^5718y/27120V5TT64V2TT

A.-------B.-------C.---------D.---------

6333

【解答】解：圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其外接圓的半徑為迎，

則圓柱的外接球的半徑為企，

可得該圓柱的外接球的體積為v=X（/）3=學(xué).

故選：B.

6.（5分）“大美中國(guó)古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成.如圖，記榴

花塔高為0T,測(cè)量小組選取與塔底0在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和B,現(xiàn)測(cè)得/

OBA=105°,ZOAB=45°,AB=45m,在點(diǎn)8處測(cè)得塔頂T的仰角為30°,則塔高

0T為（）

15V245V2

A.15\/6mB.-------mC.45V6mD.-------m

22

【解答】解：在△8AO中，ZAOB=180°-45°-105°=30°,

AB0B

由正弦定理得:即丁=解得BO=45V2,

sinZ.30°sizi45°'

2T

在RtZiOBT中，：tan/03T=嘉=字，

；.OT=OB,tanNOBT=孚X45&=15傳

故選：A.

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7.（5分）2021年3月，樹(shù)人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年”

黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（圖1）和前200名中高一學(xué)生

排名分布的頻率條形圖（圖2）.則下列命題錯(cuò)誤的是（）

前200名學(xué)生分布的拼狀圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

,頻率

0.4------------------------------1―

A.成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績(jī)第1?100名的100人中，高一人數(shù)不超過(guò)一半

C.成績(jī)第1?50名的50人中，高三最多有32人

D.成績(jī)第51?100名的50人中，高二人數(shù)比高一的多

【解答】解：由前200名學(xué)生分布的餅狀圖和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形

圖知：

對(duì)于A,成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多：

200X45%-200X30%=30人，故A正確；

對(duì)于8,成績(jī)第1?100名的100人中，高一人數(shù)為：90X（0.2+0.3）=45人，不超過(guò)一

半，故8正確；

對(duì)于C,成績(jī)第1?50名的50人中，高一學(xué)生有：90X0.2=18人，

成績(jī)第1?50名的50人中，高三最多有50-18=32人，故C正確；

對(duì)于成績(jī)第51?100名的50人中，高二人數(shù)不一定比高一的多，故O錯(cuò)誤.

故選：D.

8.（5分）在四邊形ABCD中，AB〃CD,A8=2C￡）=4,AC=4,8。=5,則的長(zhǎng)為（）

A.V10B.VlTC.V13D.V15

【解答】解：如圖，過(guò)。作。交朋的延長(zhǎng)線于E,則由題意可得四邊形DEAC

為平行四邊形，所以。E=AC=4,EA=CD=^AB=2,EB^EA+AB=6,

第13頁(yè)共27頁(yè)

在△。即中，由余弦定理可得:

DE乙+BE乙—DB乙4"+6乙—59

cosZE=

2DEXBE2x4x6否

再在△ADE中，由余弦定理可得:

AD2=DE2+AE2-2DEXXcosZE=42+22-2X4X2x^=ll,

所以AO=VTT,

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選

項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

(多選)9.(5分)袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，從中取兩個(gè)球，每次取一個(gè)

球，取球后不放回，設(shè)事件A=｛第一個(gè)球是紅球｝,B=｛第二個(gè)球是黃球｝,則下列結(jié)論

正確的是()

A.A與8互為對(duì)立事件B.A與8互斥

C.P(A)=P(B)D.P(AU8)=3

【解答】解：因?yàn)槭录嗀和事件2有可能同時(shí)發(fā)生，故A與B不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A

錯(cuò)誤，選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

111111

因?yàn)槭?A)=最P(B)+=則尸⑷=尸(B),故選項(xiàng)C正確；

111

因?yàn)槭?AB)=3x2=61

1111

所以尸(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=3+3-6=2,故選項(xiàng)正確.

故選：CD.

(多選)10.(5分)已知復(fù)數(shù)z(zWO),2是z的共朝復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

第14頁(yè)共27頁(yè)

A.若z=5,則zERB.若|Z|=1,貝!Jz?5=1

C.若geR,則z€RD.若z2+*=o,則z=0

z

【解答】解：設(shè)z=〃+bi（a,/?不同時(shí)為0）,貝吃=〃-。工

對(duì)于A,若z=5,BPa+bi=a-bi,則/?=0,故z€R,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于5,若|z|=l,即〃2+廿=1,貝|z?5=/+廬=1,故選項(xiàng)5正確;

,一zrcc+bia2-b2+2abi

對(duì)于C,若*R'即0eR,

a2+b2

所以〃。=0,當(dāng)〃=0,/?W0時(shí)，z￡R,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，若z2+，2=o,即2/-2廿=0,則〃=±4故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AB.

T7

（多選）11.（5分）已知a與b均為單位向量，其夾角為8,則下列結(jié)論正確的是（）

TT271TT2n

A.\a+b|>l?0G[O,—）B.|a+>106e（丁，n]

TTTTTT

C.\ci-b|VI=6E[0,可）D.\CL-b|VI<=>3G（可，TT]

TT

【解答】解：根據(jù)題意，a與6均為單位向量，其夾角為。，

若|a+b|>l,即|a+斤=。2+廬+2￡1?匕=2+2cos6>1,變形可得cos0〉—

2兀

又由OWeWm則有。日0,y）,

故A正確，B錯(cuò)誤；

若|a—b|<l,即|a—（^+廬-2a?6=2-2cos6<l,變形可得cos。〉〈,

71

又由owewm則有。日0,-）,

故c正確，。錯(cuò)誤；

故選：AC.

（多選）12.（5分）如圖，在正方體ABC。-A1B1C1D中，M,N,尸分別為棱281,BiCi,

CQ的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

第15頁(yè)共27頁(yè)

A.4C_L平面DiMN

B.點(diǎn)尸與點(diǎn)D到平面DMN的距離相等

C.平面DiMV截正方體ABC。-A1B1C1D1所得截面圖形為等腰梯形

D.平面D1MN將正方體A8CD-A121C1D1分割成的上、下兩部分的體積之比為7：17

【解答】解：設(shè)A2=l,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

—>

對(duì)于A,Ai(1,0,1),C(0,1,0),所以=(-1,1,-1),

11

M(1,1,-),N(-,1,1),Di(0,0,1),

22

T11Tl

所以MN=0,%N=(-,1,0),

設(shè)平面的法向量為蔡=(x,y,z),

則任電V=0,即［；2"+產(chǎn)=。，

n'D±N=0(尹+y=0

令x=1,得y=-2，z=1,所以7i=(1,—a，1),

因?yàn)锳：C與蔡不共線，所以因?yàn)镚尸〃。1C〃4B,

所以A1C與平面。1MN不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

第16頁(yè)共27頁(yè)

1T-*

對(duì)于3,尸（0,1,,P4=（1,0,0）,點(diǎn)尸到平面DiMN的距離為力=嗎n=,1=

2㈤西3

。（0,0,0）,DM=（1,1,-）,點(diǎn)。到平面DMN的距離為“2=叵辿=%建龍=|,

2|n|J1+I+13

所以點(diǎn)P與點(diǎn)D到平面DiMN的距離相等，選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,連接AOi,AM,則四邊形ADiMN是平面DMN截正方體42a所

得截面圖形，

因?yàn)镸N〃AOi,且MNWADi,所以四邊形AD1MN是梯形，

又因?yàn)锳M=O1N,所以梯形ADMN是等腰梯形，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于。，平面D1A/N將正方體ABCD-AiBiCiDi分割成的上、下兩部分，

11111111

計(jì)算幾何體BiMN--A\AD\的體積為Vi=4x(-X-X-+-x-x--xlxl+

32222222

17

-X1X1）Xl=",

另一部分幾何體的體積為吻=13—金=曇，

所以上、下兩部分的體積之比為0：72=7：17,選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

三、填空題：

13.（5分）如圖，由A,3兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，元件A,B正常工作的概率分別為

0.9和0.8,則電路正常工作的概率為0.概

【解答】解：根據(jù)題意，若電路正常工作，則元件A,8都正常工作，

則電路正常工作的概率尸=0.9X0.8=0.72,

故答案為：0.72.

14.（5分）廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的（如圖）.如果被

截正方體的棱長(zhǎng)為2vL那么玩具石凳的表面積為_(kāi)^V3+24.

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【解答】解：根據(jù)題意可知，

玩具石凳的表面由8個(gè)全等的以2為邊長(zhǎng)的等邊三角形和以2為邊長(zhǎng)的全等的6個(gè)正方

形構(gòu)成，

，玩具石凳的表面積為：8X1x22sin60°+6X22=8V3+24.

故答案為：8舊+24.

15.（5分）已知點(diǎn)A（1,0）,B（0,1）,C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且=L則滿足條

件的點(diǎn)C的一?個(gè)坐標(biāo)為（1,1）（答案不唯一，形如（x,》的坐標(biāo)均正確）.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,

—>—>

貝（=（-1,1）,AC=（x-1,y）,

—>—>

因?yàn)?B?4C=1,

所以-（尤-l）+y=l,整理得尤-y=0,

則滿足條件的點(diǎn)C的一個(gè)坐標(biāo)為（1,1）（答案不唯一，形如（x,x）的坐標(biāo)均正確）.

故答案為：（1,1）（答案不唯一，形如（x,無(wú)）的坐標(biāo)均正確）.

16.（5分）“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)

美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共

部分形成的幾何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，

其中APC與為相互垂直且全等的半圓面，它們的圓心為O,半徑為1.用平行于底

面ABCD的平面a去截“四腳帳篷”所得的截面圖形為正方形；當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)OP

3

的中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為一.

—2—

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圖1圖2

【解答】解：由題意，圖2所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，

由平行截面的性質(zhì)可知，用平行于底面ABC。的平面a去截“四腳帳篷”所得的截面圖

形AECO為正方形，

當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)0P的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?。?1,則。0'=京OO'LO'B',

又。8=1,所以。E=苧，

故4?=亨x夜=強(qiáng)，

所以截面圖形A8C。的面積為償)2=卷

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)

域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

17.(10分)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,zo=xo+yoi,記復(fù)數(shù)z與zo分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(x,y)

和Zo(xo,yo).

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求Z和Zo兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知|z-zo|=r。為正實(shí)數(shù))表示動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)Zo為圓心，r為半徑的圓.那

么滿足條件lW|z-(1+i)|W3的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？并求出該圖形的面積.

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【解答】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)Z(x,y),Zo(%o,yo)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z=x+yi,zo=xo+yoi,

—>

所以點(diǎn)z和zo之間的距離|zzo|=\zz0\=|z0-z\=|(%o+yoO-(^+yOI

=|(xo-x)+(yo-y)i\

=JOo-X)2+(%)-y)2；

(2)由題知方程|z-(1+i)1=1表示的動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)(1,1)為圓心、1為半徑

的圓，

方程|z-(1+i)1=3表示的動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)(1,1)為圓心、3為半徑的圓，

故不等式lW|z-(1+i)|W3表示的動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)(1,1)為圓心、半徑分別為1

和3的兩個(gè)圓所形成的圓環(huán)形圖形(含邊界)，

所以該圓環(huán)形圖形的面積為S=Tr-32-it-l2=8it.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①即舊，

②6=2,③遮(6-acosC)=asinC,@a2+c2-b2=—^^-ac.

(1)③④兩個(gè)條件可以同時(shí)成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)請(qǐng)?jiān)谏鲜鏊膫€(gè)條件中選擇使△ABC有解的三個(gè)條件，并求出△ABC的面積.

【解答】解：(1)由條件③及正弦定理得-sin/cosC)=sin/s譏C,

由B=TC-(A+C),得V5(s譏Q4+C)—sinAcosC)=sinAsinC,展開(kāi)得V5(si?iAcosC+

cosAsinC—sinAcosC)=sinAsinC,^yJScosAsinC=sinAsinC,

因?yàn)閟inCWO,

所以75cos/=sinA,即Cem/=V3,

因?yàn)锳e(0,n),

所以4=家

-竽公

由條件④得，cosB=。號(hào)j"2ac

因?yàn)锽e(0,G，一掾〈一本

所以--<B<7T,

3

在△ABC中，A+8>n不符合題意,

所以AABC不能同時(shí)滿足條件③④.

(2)因?yàn)椤鰽BC同時(shí)滿足上述四個(gè)條件中的三個(gè)，不能同時(shí)滿足③④，則滿足三角形有

解的所有組合為①②③或①②④.

第20頁(yè)共27頁(yè)

若選擇組合①②③：

ab,V32,

由-=—T，得，=—解得sin5=l,

sinAsinB里sinB

2

因?yàn)锽E(0,n),

所以B=§,即為直角三角形，解得c=l,

所以AABC的面積S=1xlxV3=^,

若選擇組合①②④：

由b2=a1+c2-2accosB,即c2+2c-1=0,解得c=V2—1,

由cosB=—且Be(0,TT),得siziB=

所以△ABC的面積S=2cicsinB=—.

19.(12分)如圖，四棱錐P-A8CD中，ABC。為正方形，E為PC中點(diǎn)，平面E4D_L平面

ABCD,48=4,PA=PD=2&.

(1)證明：B4〃平面BDE；

(2)證明：AB±PD；

(3)求三棱錐C-8DE的體積.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

又E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//R1,

又因?yàn)橐?平面BOE,OEu平面

所以必〃平面BDE.

(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以4B_LA。，

又因?yàn)槠矫鍱4O_L平面ABCD,平面E4OC平面ABCD=AD,ABu平面ABCD,

所以A8_L平面PAD,

因?yàn)镻Du平面PAD,

所以

(3)解：取中點(diǎn)R連接PE,

因?yàn)镋4=P￡),所以產(chǎn)口LA。，

又因?yàn)槠矫骊?。_L平面4BC。，平面B4Z)n平面A8CO=A。，PEu平面融。，

所以PB_L平面ABCD,

由AB=AD=4,PA=PD=2/，

2222

得PF=y/PA-AF=J(2V2)-2=2,S^BCD=^xBCxCD=8,

記點(diǎn)E到平面BCD的距離為/?,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以h=：PF=l,

-118

所以4-BDE=%-BCD=gXS&BCDXh=gX8Xl=g.

20.(12分)如圖，斜坐標(biāo)系尤Oy中，3，扇分別是與無(wú)軸、y軸正方向同向的單位向量，

且3,扇的夾角為120°,定義向量小=久易+y■在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì)

(x,y).在斜坐標(biāo)系xOy中完成下列問(wèn)題：

(1)若向量法的坐標(biāo)為(2,3),計(jì)算|心|的大??；

—>—>

(2)若向量0M的坐標(biāo)為(xi,yi),向量ON的坐標(biāo)為(12,*),判斷下列兩個(gè)命題的

真假，并說(shuō)明理由.

—>—>

命題①：若。M〃0N,貝Ixi”-尤2yl=0；

—?—?

命題②：若。MlON,貝!|xix2+yiy2=0.

第22頁(yè)共27頁(yè)

y\

TTT

【解答】解：（I由題知OP=（2,3）=2e1+3e2,

—>—>—>—>2—>—>—>2._

故29e

|OP|=（261+3e2）40+12et-e2+2=V7.

-?—>―r—>—>

（2）由題知OM=+丫1?2，ON=%20+丫2?2,

命題①是真命題.

a.當(dāng)ON=%2。1+為？2=0時(shí)，即冗2=丁2=0,顯然xiy2-%2yi=0；

r—>Tr.__

b.當(dāng)ON=%2勺+y2?2。0時(shí)，即X2,”至少一個(gè)不為0,不妨設(shè)"WO,

若。M〃CN,則存在入CR,使得OM=4ON,故久送1+、送2=4(%ei+'262)，

T——

即—入%2)?1+(y1-Ay2)^2=0，

因?yàn)樽頗不共線,所以｛"短二：，

由入二區(qū)，代入XI-丘2=0得％1—區(qū)％2=0，即%1丁2-%2yi=0.

丫2丫2

-?―>

綜上所述，命題“若。M〃ON,則xi”-x2yi=0”是真命題.

命題②是假命題.

解法1：若0%1ON,

[T_>—>—>—>—>—>2—>—>—>2

則OM-ON=（x?+為02）-（x2e1+y2e2）=網(wǎng)上%+（必為+0乃）0?e2+yry2e2

1

%1%2+y/2-2（%，2+%2、1）=0，

當(dāng)xiy2+x2yiW0時(shí)，結(jié)論xix2+yiy2=0不成立，

—>—>

所以，命題“若。MlON,則無(wú)U2+yiy2=0”是假命題.

———T—TT

解法2：令OM的坐標(biāo)為（1,2）,ON的坐標(biāo)為（1,0）,則。M=ei+2e2，ON=e1；

一，T-->->-?->2TT?，TT

因?yàn)?。M-ON=（e1+2e2）-er=+2er-e2=0,所以。M1ON,

此時(shí)無(wú)1尤2+yiy2=lW0,（11分）

第23頁(yè)共27頁(yè)

所以，命題“若。MlON,則xu2+yiy2=0”是假命題.

21.（12分）4月23日是世界讀書(shū)日，樹(shù)人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行

分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，

女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻數(shù)

分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)

間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值）

男生一周閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表

小,時(shí)頻數(shù)

[0,2)9

⑵4)25

[4,6)3

[6,8)3

（1）從一周課外閱讀時(shí)間為［4,6）的學(xué)生中按比例分配抽取6人，從這6人中任意抽

取2人，求恰好一男一女的概率；