全國碩士研究生入學考試數(shù)學二預(yù)測試卷和答案解析

絕密★啟用前考生編號

姓名

2022年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）

預(yù)測試卷卷（一）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在

答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考

生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答

案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫的

答案無效；在草稿紙試題冊上答題無效。

3.填（書）寫必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一1^項是符合題目要

求的.請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴把當X—0時的無窮小量a=In(l+x2)-ln(l-x'),??(tant<Uy=arctanx-x排列

起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序總

(A)a,B,Y(BMap.。a,y,0(D)Y,B,a.

(2)設(shè)f(x),g(x)二階可導，又f(O)=O,g(O)=O,f(0)>0,g'(0)>0,令F(x)=

|/(*)r<*)?****(

(A)x=0是函數(shù)F(x)的極小值點。

(B)x=O是函數(shù)F(x)的極大值點，

(C)(0,F(0))是曲線y=F(x)的拐點但x=0不是F(x)的極值點.

(D)x=0不是函數(shù)F(x)的極值點，(0,F(0))也不是曲線y=F(x)的拐點.

⑶設(shè)f(x)在(-w,+w)內(nèi)二階可導且F(x)>0,則VxX),%>0取>0,有

(A)以止KM

?-4—■人”4)/(*?*?)-/(?)

(D)/，⑺?輸

A*1

(4)下列等式或不等式

①1勺，1>°，dt■W:■:.

③設(shè)"°?"x)dx=0,④「?4&=()

10.s?0.

中正確的共有

(A)1個.(B)2個，(C)3個.(D)4個.

(5)下列函數(shù)中在區(qū)間［-2,3］上不存在原函數(shù)的是

.，(I?/)一—1c

-1-----F*-------.??*0.

(A)小.

1c

--■?0.

(B)f(x)=max||xl,l}.

ML：---..>O,

(c)yri)?o.i>o,

數(shù)學二預(yù)測試卷卷(一)

y(?*?I),

(D)/(>)■|鼠。也，其中■

-5-(*-I).

(6)設(shè)f(x,y)有連續(xù)的偏導數(shù)目f(x,y)(ydx+xdy)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分，則下列等式成立的

是

曳H曳匕=、

(A)(B)I至■盧(C).t(D)

M'adrdi

⑺求二重積分：J=|[—>小小,(D=|(x,y)lIWxRgySx*+淪2x].)的值等于

4749

(A)(B)

in癡

(C)8(D)2

ICK

000、<01OX

則的形式為

矩陣A滿足：A100B001kA

010.。0oJ

(a0A*Sr、

(A)ba)(B)0a6

LCbaLO0C」

00。、

(C)0a6(D)5?0

/iArJia00

(9)設(shè)人=032,f=0?1,已知A和B有一個公共特征向量n,并且特征值分別是

&11」b▲L

1和0,則

(A)a=-l,b=l.(B)a=l,b=O.

(C)a=1,b=-1.(D)a=0,b=1.

"II

(10)設(shè)A二|-2I，則下列矩陣中與A合同但不相似的是

L-5

1-2111r

(A)?24?2(B)131

1-21111-

30000r

(C)000(D)000

-00-?10

2預(yù)測試卷卷(一)數(shù)學二

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)數(shù)列極限，w巴

(13)微分方程(3y-2x)dy=ydx的通解是

(14)設(shè)f(x)在(0,+w)上連續(xù)，在(0,+)內(nèi)可導，當xWQ+x)時，f(x)>0且單調(diào)上升，

x=g(y)為y=f(x)的反函數(shù)，它們滿足j((IHh?|內(nèi)門，之Q)),則f(x)的表達

式是.

(15)設(shè)動點P(x,y)在曲線9y=4x2上運動，且坐標軸的單位長度是1cm.如果P點橫坐標的速率是

30cm/s,則當P點經(jīng)過點⑶4)時，從原點到P點的距離r的變化率是

2300、

11

(16)已知40°A'為A的伴隨矩陣，蚓',4-41

0020'??1

■ftOOI.

三、解答題：17?22小題，共70分.請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

(17)(本題滿分13分)

(I)設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且滿間泣用二1?.0，求極廉”5.)「4.

(H)求二重積分/=卜小5,其中D由星形線［.......與x軸圍成.

Ilv?tinf

(18)(本題滿分10分)

-24242-2

已知yi(x)=xe4+e,y2(x)=xe+xe,y;(x)=xe+e+xe是某二階線性常

系數(shù)微分方程y"+py'+qy=f(x)的三個特解

(I)求這個方程和它的通解；

(II)設(shè)y=y(x)是該方程滿足y(0)=0,y'(0)=0的特解，卜：|,,,1,

(19)(本題滿分10分)

設(shè)D是曲線y=2x-x2與x軸圍成的平面圖形，直線y=kx把D分成為D1和D2兩部分(如

圖)，滿足Di的面積S］與D2的面積S2之比Si&=l:7.

數(shù)學二預(yù)測試卷卷(一)3

(I)求常數(shù)k的值及直線y=kx與曲線y=2x-x2的交點，

(H)求平面圖形Di的周長以及D,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

的體積.

(20)(本題滿分11分)

設(shè)z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0確定的函數(shù)，

(I)求z=z(x,y)一階偏導數(shù)與駐點；

(1【)求2=26,丫)的極值點和極值.

(21)(本題滿分14分)

(1)設(shè)f(x)=4x3+3x2-6x,求f(x)在(-m,+m)的零點個數(shù).

(11)設(shè)小)在［0,2］上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)具有二階導數(shù)，且f(0)=f(2)=0,f(l)=2.求證:

至少存在一點€e(0,2)使得F(5)=-4.

(22)(本題滿分15分)

設(shè)a-(1,3,5,-1)',a?=(2,7,a,少用=(5,17,-1,7),.

(I)若a%a2,a,線性相關(guān)，求j.

(ID當a=3時，求與aa*a,都正交的非零向量a.

(IH)設(shè)a=3,c(4是與a1,a2,a,都正交的非零向量，證明a“a2,a3,a,可表示任何一個4維向

量.

(IV)在Xi&,X；線性無關(guān)時，證矩陣C=(Xi風，X；)記4階實矩陣A=XXi1+X2x21+X3x;',求

二次型x，Ax的秩.

4預(yù)測試卷卷(一)數(shù)學二

絕密★啟用前考生編號

姓名

2022年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）

預(yù)測試卷卷（二）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在

答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考

生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答

案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫的

答案無效；在草稿紙試題冊上答題無效。

3.填（書）寫必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;

涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要

求的.請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上，

(1)i.??-..在x=0連續(xù)且滿足g(x)=l+2x+o(x)(x-0).又F(x)=f[g(x)],

則F(0)=

(A)4e.(B)4.(C)2.(D)2e.

/II?—1-/11.

(2)設(shè)f(x)是以3為周期的可導的奇函數(shù)，且f'(2)=1,則數(shù)列極限/島，

一.-y

Hfl*

(A)0.(B)1.(C)2.(D)

(3)以yi=e'cos2x,y2二e'sin2x與y3二e”為線性無關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是

(A)y"+y"+3y'+5y=0.(B)y"-y,,+3y'+5y=0.

(C)y”+y"-3y'+5y=0.(D)y"-y',-3y'+5y=0.

(4)設(shè)函數(shù)F(x,y)在(xo,yo)某鄰域有連續(xù)的二階偏導數(shù)，旦F(x。,y0)=F(xo,yo)=0,F,(x0,

yo)>0,F".(xo,yo)<0.由方程F(x,y)=0在X。的某鄰域確定的隱函數(shù)y=y(x),它有連

續(xù)

的二階導數(shù)，且y(x0)=yo,則

(A)y(x)以x=xo為極大值點.(B)y(x)以x=x。為極小值點，

在不取極值，

(C)y(x)x=xo(D)(x0,y(x0))是曲線y=f(x)的拐點，

(5)已知累次積)/二「拆「7〃小7>,~,田”(,其中@>0為常數(shù)，貝肛可寫成

(A)|<li???<h(B)||f(t.>?It

JJ?JU???)?

(C)dt|i小(D)j“t,>?di

(6)設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+a]內(nèi)可導，且f(l)=2.若f(x)的反函數(shù)g(x)滿足

/AX?I

—童fl/(h?I))/(?I

則f(x)=

(A)2e2(s-1)(B^G+l.(C)e'-+l.(D)2e.

.

2預(yù)測試卷卷（二）數(shù)學二

則f(x)在(-a,in)

(A)處處連續(xù).(B)只有一個間斷點且是第一類間斷點.

(C)只有一個間斷點且是第二類間斷點.(D)有兩個間斷點

(8)已知方程組

盧?、?土Q

,'?■”,和Xi+2x2+X3=a-1有公共解，則

??,?4*,?"0

(A)a^l和2(B)a=l(C)a=l或2(D)a=2

(9)設(shè)A?:?,要使得A正定，a應(yīng)該滿足的條件是

b??

(A)a>2.(B)a>2.(C)0<a<2.(D)a<0.

(10)n維向量組⑴皿,(12和(H):5,Bz,…，B,等價的充分必要條件是

(A)r(l)=r(II),并且s=t.

(B)r(I)=r(II)=n.

(C)r(l)=r(ll),并且⑴可以用(H)線性表示.

(D)(I)和(II)都線性無關(guān)，并且s=t.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共50分.請將答案寫在答題紙指定位置上,

(11)八一=.ay為常數(shù))，f(x)在定義域上僅有兩個零點則常數(shù)a的取值范圍是

(I?3V

(12)設(shè)f(x)=arctan(l-x),且f(0)=0,貝邛｝*)4.=.

(13)設(shè)f(x)=(l+x+x2)e"m,則f'(0)=

(14)i12I]?小卜lu,其中f(u,v)是連續(xù)函數(shù)，貝!|dz=

(15)設(shè)D是以點A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1)為頂點的三角形區(qū)域，則

/,fl?七’?3/+4]曲曲?_______.

已知▲/:10Olrl00/

(16)(J500II,則A-1=

o[JL000J

數(shù)學二預(yù)測試卷卷(二)3

錄通沖紙指定皿'解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或

(17)(本題滿分14分)

(I)設(shè)f(x)是(-,+a)上的連續(xù)奇函數(shù)，且滿足Igx)KM,其中常數(shù)M>0,求證：函

fif,1i.…，h是(-,+x)上的有界奇函數(shù).

(H)從拋物線y=xJ-l上的任意一點P(t,2-1)引拋物線y=x?的兩條切線，

求這兩條切線的切線方程；并證明該兩條切線與拋物線y=x2所圍面積為常數(shù)。

(18)(本題滿分11分)

計算二重積，：||.y,其中D:OSxW27t,xS乃2兀.

n

(19)(本題滿分11分)

求fCxyzAx+y-z^S在區(qū)域Q:x￥y2+zW2上的最大值與最小值，

(20)(本題滿分12分)

設(shè)有一容器由平面z=0,z=l及介于它們之間的曲面S所圍成.過z軸上V點(0,0,z)(0<z

〈1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z),它是半徑r(z)=d(l-z)斗的

圓面.若以每秒V。體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設(shè)開始時容器是空的.

(I)寫出注水過程中t時刻水面高度z=z(t)與相應(yīng)的水體積V=V(t)之間的關(guān)系式，并證明

水面高度z與時間t的函數(shù)關(guān)系：

(II)求水表面上升速度最大時的水面高度：

(III)求灌滿容器所需時間.

(21)(本題滿分10分)

設(shè)f(x)在()+a)一階可導，求證：

(1)若f(x)在(-W,+)是凹函數(shù)，則Im八一-?B或Inti'I??.

(H)若f(x)在(-x,+m)二階可導，又存茬旅限luN/(*)-AIn.?：〃，則存在&c

(-,+x),使得F(5)=0.

(22)(本題滿分15分)

己知A是3階矩陣，aa2,a,是線性無關(guān)的3維列向量組，滿足

Aa1=-(X]-332,

Aa2=4ai+4a2+a3,

Aa>=-2a,+3a

(I)求A的特征值.

(H)求A的特征向量，

(111)求A16E的秩.

4預(yù)測試卷卷(-)數(shù)學二

絕密★啟用前考生編號

姓名

2022年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）

預(yù)測試卷卷（三）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在

答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考

生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答

案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫的

答案無效；在草稿紙試題冊上答題無效。

3.填（書）寫必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要

求的.請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上，

⑴下列命題

①若f(x)在x=xo存在左、右導數(shù)且f(xo"f(xo),則f(x)在X=Xo處連續(xù)

②若函數(shù)極限-4,則數(shù)列極限=A

③若數(shù)列極-I--■二，「\,則函數(shù)極限，一

④hrn/?I不存在，b.I)不存在

中正確跖b數(shù)是

(A)1個.(B)2個.(C)3個，(D)4個.

⑵定積,“'dx的值等于

JaVI?1

(A)兀.(B)*.(C)?(D)

)34

(3)設(shè)稀/㈠)=,>>0,則下列結(jié)論正確的是(A)

I?<0_

f(x)有間斷點.

(B)f(x)在(-,+x)上連續(xù)，但在(-m,+a)內(nèi)有不可導的點.

(C)f(x)在(-,+a)內(nèi)處處可導，但r(x)在(-a,+X)上不連續(xù).

(D)f(x)在(-m,+a)上連續(xù).

(4)設(shè)/一「一|則

J?1JaHfM

(A)I2>1>1.(B)I>I>1.(C)1>I2>1,(D)1>I>L

(5)微分方程y”-4yL2cos22x的特解可設(shè)為

(A)Ax+B,cos4x+B2sin4x.(B)A+B,COS4X+B2sin4x.

22

(C)B,COS2X+B2sin2x.(D)B,COS4X+B2sin4x,

(6)設(shè)f(x),g(x)均有二階連續(xù)導數(shù)且滿足f(0)>0,f(0)=0,g(0)=0,則函數(shù)u(x,y)=

f(,.[?”d在點(0,0)處取極小值的一個充分條件是

(A)f'(0)>0,g'(x)<0(0<x<l).

(B)f'(0)<0,g'(x)>0(0<x<l).

(C)f'(0)>0,g'(x)>0(0<x<l).

(D)f'(0)<0,g'(x)<0(0<x<l).

⑺已知曲線產(chǎn)y(x)在直角坐標系中由參數(shù)方程給出：x=t+e；y=2t+e-2(G0),則廣y(x)

在(1,+)的升降性與凹凸性是：

(A)單調(diào)上升且是凹的.(B)單調(diào)上升且是凸的.

(C)單調(diào)下降且是凹的.(D)單調(diào)下降且是凸的.

2預(yù)測試卷卷(三)數(shù)學二

(8)已知A和B都是n階矩陣，使得E+AB可逆則()成立.

(A)(E+AB)A(E+AB>=A(B)(E+ABf'B(E+AB)=B

(C)(E+AB)'A(E+BA)=A(D)(E+AB)'A(E+BA)=B

(9)設(shè)m,mz卉；為3個n維向量，AX=O是n元齊次方程組。則()正確.

(A)如果n,,L都是AX=O的解，并且線性無關(guān)，則run*為AX=O的一個基礎(chǔ)解系.

(B)如果m,m，n；都是AX=O的解，并且r(A)=n-3,則m,i]2，耳為AX=O的一個基

礎(chǔ)

解系.

(C)如果m，n2,等價于AX=O的一個基礎(chǔ)解系.則它也是AX=O的基礎(chǔ)解系.

(D)如果r(A)=n-3,并且AX=O每個解都可以用m,m2,,線性表示，則rru，取用為

AX=O的一個基礎(chǔ)解系.

(10)下列矩陣中不相似于對角矩陣的是

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)設(shè)y=f(x)二階可導，f(x)加，它的反函數(shù)是x=<p(y),又f(0尸1,我0尸也「(0尸

-1,聞-

I7⑴

(12)設(shè)n為正整數(shù)，！研二上

(13)litn>11?.i

???J?v1?

(14)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，」[1/(7)=，?卜力Hj;4do,其中則

f(x,y);________

(15)設(shè)f(x,y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，:、."「=??則"xy尸________

dsiH加9

(16)已知A是3階矩陣，A的特征值為1,-2.3.則(A)的特征值為

三、解答題：17?22小題，共70分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

一質(zhì)量為M、長為1的均勻桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點C,此質(zhì)點C位于桿AB的中垂線上，

且與AB的距離為a.試求：

數(shù)學二預(yù)測試卷卷（三）3

(1)桿AB與質(zhì)點C的相互吸引力.

(H)當質(zhì)點C在桿AB的中垂線上從點C沿y軸移向無窮遠處時，克服引力所做的功，

(18)(本題滿分10分)

設(shè)u=f(2x+3y,z),其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，而z=z(x,y)是由方程；：?I”：-|，.巾I

確定并滿足z(0,0)=1的函數(shù)，求J,結(jié)果用f(0」),『(0,1)表示(i,j=1,2).

(19)(本題滿分15分)

⑴設(shè)有i(|r(>t-x.?x,)，它的反函數(shù)是y=y(x),求y=y(x)的定義域及

拐點.

(II)計算二重積分/eOto)<fe>其中D=|(x,y)|x2+y2Wa)常數(shù)a>0}.

(20)(本題滿分12分)

一子彈穿透某鐵板，已知入射子彈的速度為vo,穿出鐵板時的速度為以子彈入射鐵板時為起

始時間，又知穿透鐵板的時間為b.子彈在鐵板內(nèi)的阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)k>0.

(1)求子彈在鐵板內(nèi)的運動速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系p=v(t);

(H)求鐵板的厚度，

(21)(本題滿分11分)

設(shè)f(x)在［a,b］上有二階導數(shù)，且f'(x)>0.

(1)證明至少存在一點5e(a,b),使

|/(?)di

(11)對(1)中的5G(a,b),求

hm~--

(22)(本題滿分15分)

設(shè)a1,a2,...,a,都是實的n維列向量，規(guī)定n階矩陣A=ctia^+a2a2+

…+a,a￡⑴證明A是實對稱矩陣；

(0)證明A是負慣性指數(shù)為0;

(III)設(shè)r(ai生，…,a,尸k,求二次型XAX的規(guī)范形.

4預(yù)測試卷卷(三)數(shù)學二

絕密★啟用前考生編號

姓名

2022年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）

預(yù)測試卷卷（四）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在

答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考

生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答

案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫的

答案無效；在草稿紙試題冊上答題無效。

3.填（書）寫必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要

求的.請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴i.'.'''"<."'"則點x=0是g(f(x))的

12?*.1>0.I—1—1.x>0.

(A)可去間斷點.(B)跳躍間斷點.

(C)連續(xù)點.(D)第二類間斷點.

⑵在反常積分

<!?|..甲一.?MIL1)<it

Ji*Ja

J----------.J

1(1?J)八7J**

中收斂的是

(A)①，②.(B)①，③.(C).②，④.(D)③，④.

⑶設(shè)f(xo)=0,「(xo)<0,則必定存在一個正數(shù)8，使

得(A)曲線y=f(x)在(X。-3,x。+3)上是凹的.

(B)曲線y=f(x)在(Xo-8,Xo+8)上是凸的，

(C)曲線y=f(x)在(xo-B,xo)上單調(diào)減少，而在［xo,x()+8)上單調(diào)增加.

(D)曲線y=f(x)在(xo-5,xo)上單調(diào)增加，而在［xo,x()+8)上單調(diào)減少.

(4)設(shè)函數(shù)0)連續(xù)，除個別點外二階可導，其導函數(shù)產(chǎn)f(x)

的圖像如右圖⑴，令函數(shù)y=f(x)的駐點的個數(shù)為p,極值

點的個數(shù)為q,曲線y=f(x)拐點的個數(shù)為r,則

(A)p=q=r=3.

(B)p=3,q=r=2.力大7V

(C)p=3,q=2,r=3.

(D)p=3,q=2,r=l./

(5)下列二元函數(shù)在點(0,0)處可微的是

f??7“-----1

(A)/11,?1=I1?1

10.八，?0.

m(11-tn.14^^0,

1?,?、

(C)/(?3)={?rTp，*'?>'*<),

(D)加由1君.八'”。

lo.i*?0.

2預(yù)測試卷卷(四)數(shù)學二

(6)設(shè)D是由直線x=O,y=(Xx+y=l在第一象限所圍成的平面區(qū)域，闞)=j=

(A)e+1.(B)e-1.(C)(D)!_zJ

(7)己知由參數(shù)方程I'=確定了可導函數(shù)y=f(x),則

ly-Ind-I1)-?ny

(A)x=0是函數(shù)f(x)的極大值點.

(B)x=0是函數(shù)f(x)的極小值點，

(C)x=0不是f(x)的極值點且在x=0鄰域單調(diào)上升，

(D)x=0不是f(x)的極值點且在x=0鄰域單調(diào)下降.

(8)二次型,3,?L八I,可用可逆線性變量替換化為2yl-3y2+5y},則

(A)a2>6(B)a%6(C)a2>6(D)a2<6

[33-2

(9)3階實對稱矩陣A相似于矩陣,24，入是實數(shù).則A?+A+入E是正定矩陣的充分必要條

^00.I'

件是

(A)X>0.(B)X>-1.(C)X>-12.(D)X>-1.

(10)已知向量組a1(a2,a;和B,,B2,B3,6,都是4維實向量，其中如，a2,a3尸2同氏，限氏，仇)

>1,并且每個B與a1,a2,a3都正交.U!|r(Pi,p2,p?p4)=

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)設(shè)函數(shù)f(x)在x=l處二階可導，乂貝什(1尸,f'(l)=

(12)已知函數(shù)y(x)可微(x>0)且滿足方程

…4a.叫,(x>0)

則y(x尸_________

(13)設(shè)/(*)=:工?則F"(x)=

(14)已知當x>0與y>0F一”也則函數(shù)f(x,y)在點(x,y)=(l,l)處

的全微分dflu=

(15)設(shè)丫=sin*,則y(")=

(16)已知a產(chǎn)(1,2,-1)',a2=(l,-3,2)\a;=(4,矩陣A滿足Aa〔二(0,2)',Aa2

=(5,2),,Aa,=(-3,7),則A=

數(shù)學二預(yù)測試卷卷(四)3

三、解答題：17~22小甄-二7n4濤蛇一竺巨左較旦不綃步先俗液卜融較由口中.立戔S

演懸驟

(17)(本題滿分10分)

設(shè)有拋物線Ci:x2=ay和圓C2:x2+y2=2y.

(I)確定a的取值范圍，使得Ci?2交于三點0,M,P(如圖)；

(11)求拋物線?,與弦MP所圍平面圖形面積S(a)的最大值；

(HI)求上述具有最大面積的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

體積V.

(18)(本題滿分13分)

—j1?6*4lofe'<4l

(I)已知極限/hm'.，求常數(shù)b,C.

(II)求累次積什/.|.|,|r,1.tII.Ir.k

(19)(本題滿分10分)

設(shè)u=u(x,y)在全平面有連續(xù)偏導數(shù)，

(I)作極坐標變換x=rcos0,y=rsinOj與""""的關(guān)系式；

*ar

(11)若(訕.「“C)(V(x,y)),求證：u(x,y)=u(O,O)為常數(shù),

(20)(本題滿分11分)

設(shè)xOy平面第一象限中有曲線T:y=y(x),過點A(0,d2-l),y，(x)>0.又M(x,y)為T上

任意一點，滿足：弧段AM的長度與點M處T的切線在x軸上的截距之差為也-1.

(I)導出尸y(x)滿足的積分、微分方程.

(H)導出y(x)滿足的微分方程和初始條件.

(III)求曲線T的表達式.

(21)(本題滿分14分)

(I)設(shè)f(x)在(a,+w)可導且In,''<，，求證：

若A>0,則"一.?x

若A<0,則.1x.

(H)設(shè)n為非負整數(shù),求定積.Int.it

(III)設(shè)g(x)在(a,+a)連續(xù)，'一，一卜收斂，又bin■:求證

1=0.

(22)(本題滿分12分)

設(shè)a.a2,a,都是矩陣A的特征向量，特征值兩兩不同，記丫=。1+(12+2

(I)證明yAyA^線性無關(guān)，Y,AyA^A'y線性相關(guān)。

(J)設(shè)aa2,a3的特征值依次為1,T,2,記矩陣B=(y,Ay,A2，y),懺A，y,求解線性方

組BX邛.

---------------------------------—卷(四)---------------------------------

考生編號

絕密★啟用前

姓名

2022年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）

預(yù)測試卷卷（五）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在

答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考

生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答

案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫的

答案無效；在草稿紙試題冊上答題無效。

3.填（書）寫必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;

涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要

求的.請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)卬(.)?廣皿?廣%.■⑷“二"t&iw'dt,則當x-0時f(x)是g(x)的

(A)高階無窮小.(B)低階無窮小.

(0同階而非等價無窮小，(D)等價無窮小，

⑵?{777,I巾，)=(/⑴郵則F(x)在［0,2］上

(A)有界，不可積.(B)可積，有間斷點，

(C)連續(xù)，有不可導點.(D)可導，

(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(T,1)內(nèi)二次可導，已知f(0)=0,f(0)=l,且F(x)<0當x6(-1,1)

時成立，則

(A)當xG(T,0)時f(x)>x,而當xW(0,1)時f(x)〈x.

(B)當xe(-l,0)時f(x)<x,而當xG(0,1)時f(x)>x.

(C)當xW(-l,0)與xd(0,l)時都有f(x)>x.

(D)當xe(-1,0)與xG(0,l)時都有f(x)<x.

(4)itft/i.)=J1'4>-1*°在x=0處二階導數(shù)存在，則常數(shù)a,b分別是

(A)a=l,b=l.(B)B■I?g

(C)a=1,b=2.(D)a=2,b=l,

⑸數(shù)列極限/.Uafl.cta.S-tl]'.1

(A)1.(B)e.(C)e*.(D)e*.

設(shè)在(取極小值，并」用--'上！,'均存在，則

(6)u(x,y)MoXo,yo)1”

(B)—J.>0.—hJ>0，

G、二?(卬一九(卬_c

(D)，J<0,產(chǎn)>0.

(7)函數(shù),(X)=|----(tG?的值域區(qū)間是

(1?")J\

(A)(0,+a)(B)O.yarrun2|l

(C)(),arrtarti)1(D)0,*<?r<tan2)I

2預(yù)測試卷卷(五)數(shù)學二

(8)設(shè)A是n階可逆矩陣，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩陣，則

(A)把A-'第2行的3倍加到第4行上得到B\

(B)把A-第4行的3倍加到第2行上得到B一.

(C)把A-第2行的-3倍加到第4行上得到B：

(D)把A'第4行的-3倍加到第2行上得到B，.

(9)設(shè)4階矩陣A=(ai如,a3,aa4),已知齊次方程組AX=O的通解為c(l,-2,l,0)；c任

意.則下列選項中不對的是

(A)a”a2,a3線性相關(guān).(B)aj,a2線性無關(guān).

(C)a1,a2,a4線性無關(guān).(D),a4線性相關(guān).

(10)已知3元二次型x，Ax的平方項系數(shù)都為0,又它的矩陣A滿足Ax=2x,其中x=(l,2,T)',

則X,Ax的規(guī)范形為

22222222222

(A)y+y2+y;.(B)y+y2-y.(C)y-y-y.(D)y+y2.

二、填空題：11?