2022年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)(理)自考真題(含答案帶解析)

2022年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)（理）

自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

A(

---2?-y)B.(~v?0)C.(O.與)

[4々4D?e

2.設(shè)全集I={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={0,3,4},則ACIB是()

A.{2,4}B.{1,2}C.{0,l}D.{0,l,2,3}

3.

第15題過P(4,8)作圓x2+y2-2x-4y-20=0的割線,所得弦長為8,則此

割線所在直線方程為()

A.3x-4y+20=0或y=8

B.3x-4y+20=0或x=4

C.3x+4y-44=0或x=4

D.4x-3y+8=0或x=4

4函數(shù)f(x)=|l-xHx-3|(x￡R)的值域是()

A.[-2,2]B.[-l,3]C.[-3,l]D.[0.4]

5.不等式上』,5的解集為()

A.{x|x>0或x<-l}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|x<0}

E織上陳列了3**技柴七和S不文藝雜之_位學(xué)生從中候取車闋讀那么也留海

6.文藝雜M的里乍與丁

_a2-4a+3

7.復(fù)數(shù)z/―一7T-+Q2—3a+2)i(aSR)為實數(shù)，則

A.lB.2C.3D.4

8.在R1A械:中上如(：=90°,夕=75。."4.?5等于

A.E.。B.用?/F

C.2&2D.2互?2

(15)相畤?=I與圓(#+4)24-y2=2的公共點個數(shù)是

9.(A)4(B-2JC)1(D)0

10.

在等比數(shù)列｛%｝中，若%A=10?則卬詼?zhǔn)?=

X/

A.100B.40C.10D.20

x*3+2cos6.

.圓(8為參數(shù))的圓心坐標(biāo)和半徑分別為

,y=-75+2sin6

A.(3,-6),2'B.(-3.商,4

ll.C13.-6),4D.(-3,75),2

12.設(shè)橢圓的方程為(x2/16)+(y2/12)=L則該橢圓的離心率為()

A.AJ7/2B.l/2C.A/3/3D.A/3/2

13.函數(shù)y=sin(x+3)+sin(x-3)的最大值為()

A.-2sin3B.2sin3C.-2cos3D.2cos3

函數(shù)/(x)=2sin(3x+>t)+l的母大值為

14.(A)-1(B)1(C)2(D)3

(5)函數(shù)y=47E的定義域是

(A)|?lH(B)hlH

15.(C)|xl?>H(D)或Qll

16.在AABC中，已知aABC的面積=(a2+b2y2)/4,則NC=()

A.n/3B.n/4C.n/6D.2n/3

設(shè)0<a<6<l,則()

(A)log?2<l%2(B)log｝a>log26

(c)/3(D)(1)'>(Tf

JL/?

18.在等差數(shù)列｛an｝中,ai=l,公差等0,a2,a3,a6成等比數(shù)列,則

d=()0

A.lB.-lC.-2D.2

拋物線/=-4x的準(zhǔn)線方程為()

(A)x=-2(B)x=-1

(C)x=2(D)x=1

19.

20.命題甲：A=B;命題乙：sinA=sinB.則0

A.甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

B.甲是乙的充要條件

C.甲是乙的必要條件，但不是充分條件

D.甲是乙的充分條件，但不是必要條件

設(shè)巴，B為總眼費+方=1的焦點,P為橢圓上任一點，則的周長為

()

(A)16(8)20

21.(C)18(D)不能確定

22.下列函數(shù)在各自定義域中為增函數(shù)的是()o

A.y=1+2'B.y=1-x

C.y=1+x2D.>=1+2-x

復(fù)數(shù)(名廣的值等于

(A)l(B)i

23.?：)-I(D)-i

已知橢圓42%+，=1的焦點在y軸上，則m的取值范圍是()

(A)m<2或m>3(B)2<m<3

(C)m>3(D)m>3或［<m<2

24.

25.

第9題正三棱錐的高為2,底面一邊的長為12,則它的側(cè)面積為()

A.144B.72C.48D.36

26.長方體有一個公共頂點的三個面的面積分別為4,8,18,則此長方體的

體積為

A.12B.24C.36D.48

正四棱柱中，AA}=2AB,則直線明與直線G4所成角的正弦值

為

(A)—(B)—(C)—(D)—

27.

28.方程|y|=l/|x|的圖像是下圖中的

若網(wǎng)X’=C與直線X+y=1相切，則＜?=

(A)-(B)1(C)2(D)4

29.

30.設(shè)el,e2是兩個不共線的向量，則向量m=-el+ke2（k￡R）與向

量n=e2-2el共線的充要條件是（）

A.A.k=0

Bp*-：

C.k=2

D.k=l

二、填空題（20題）

31（2】）不等式I2x+ll>1的解集為

2

32.擲一枚硬幣時，正面向上的概率為萬，擲這枚硬幣4次，則恰有2

次正面向上的概率是O

33.橢圓的中心在原點，-個頂點和一個焦點分別是直線x+3y-6=0與兩坐

標(biāo)軸的交點，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

342知?=（2.2百）/=（L-⑶,制（%>■,

已知雙曲線4-'=?的離心率為2,則它的兩條漸近線所夾的銳角

Qb

35.為

36.橢圓x2+my2=l的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的

值是.

37.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A與B1D1所成的角的

度數(shù)為________

38.向量a=(4,3)與b=(x,-12)互相垂直，貝IJx=,

39.設(shè)某射擊手在一次射擊中得分的分布列表如下，那么&的期望值等

e123

于P0.40.10.5

4n6個隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，共進(jìn)行場比賽.

4i.如果工＞。,那么工+；的值域是____.

42.如果二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點(-4,0),則該第二次函數(shù)圖像的

對稱軸方程為.

43.

Cx-^)9展開式中的常數(shù)項是

曲線y=/+31+4在點(-1.2)處的切線方程為

44.------------

已知時機變ffltg的分布列是

-1012

￡

P

3464

45.始腐二-------

46.已知隨機變量g的分布列是:

g012345

P0.10.20.30.20.10.1

貝！)Eg=________

47.函數(shù)yslnx+cosx的導(dǎo)數(shù)y'=

48.過點M(2,-1)且與向量a=(-3,2)垂直的直線方程是

已知隨機變量f的分布列是:

(012345

P0.10.20.30.20.10.1

則拶=

49.

1一」=）7展開式中，山二皿口

50.G的系數(shù)是

三、簡答題（10題）

51.

（22）（本小題滿分12分）

面積為6的直角三角形三邊的長由小到大成等差數(shù)列,公差為d.

（1）求4的值；

（D）在以最短邊的長為首項，公差為d的等差數(shù)列中，102為第幾項?

52.

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)?w）MT-lnx,求（1）〃工）的單調(diào)區(qū)間;（2）/U）在區(qū)間［｝,2］上的最小值.

53.（本小題滿分12分）

#△■（；中.A8=8而.8=45°,C=60。.求AC.8C.

54.（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列1冊］中=16.公比g=

（1）求數(shù)列I。」的通項公式；

（2）若數(shù)列|a.|的前n項的和5.=124,求n的值.

55.

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列！中,■=2,Q..J=yaa.

(I)求數(shù)列141的通項公式；

(U)若數(shù)列山的前〃項的和S?=盤求”的值.

56.

(本小題滿分13分)

如圖，已知確08G：4+/=1與雙曲線G：4-/=>(?>1).

aa

(I)ifte,,e2分別是C..C,的離心率，證明egvl;

⑵設(shè)44是G長軸的兩個端點,>a)在G上，直線與G的

另一個交點為Q.直線P4與￡的另一個交點為上證明QR平行于丫軸.

57.

(本題滿分13分)

求以曲線26+y‘-4x-10=0和/=2*-2的交點與原點的連線為漸近線.且實

軸在x軸上,實軸長為12的雙曲線的方程.

58.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵當(dāng)n為何值時，數(shù)列｛an｝的前n項和Sn取得最大值,并求該最大值.

59.

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（X）-3/+m在［-2,2］上有最大值5,試確定常數(shù)m.并求這個函數(shù)

在該閉區(qū)間上的最小值.

60.（本小題滿分12分）

設(shè)兩個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達(dá)式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達(dá)式

四、解答題（10題）

61.雙曲線的中心在原點0,焦點在x軸上，且過點（3,2）,過左焦點且

3

斜率為工的直線交兩條準(zhǔn)線于M,N,OM1ON,求雙曲線方程.

62.

求以曲線2x?+,2-4X-10=0和』=2x-2的交點與原點的連線為漸近線，且實

軸在x軸上，實軸長為12的雙曲線的方程.

63.已知正六邊形ABCDEF的邊長為a,PA為過點A而垂直于正六邊形

所在平面M的垂線，且PA=a,求

I.點P到各邊AB、BC、CD的距離。解析：因為PA_L平面M所以

PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A作BC的垂線交CB的延長

線于G連接PG所以BC_L平面APG即PGJLAB

II.PD與平面M所成的角

64.從0,2,4,6,中取出3個數(shù)字，從1,3,5,7中取出兩個數(shù)字，共能組成

多少個沒有重復(fù)的數(shù)字且大于65000的五位數(shù)？

65.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知。M的方程為x2+y2-2x+2y-6=0,0

O經(jīng)過點M.

(I)求。O的方程；

(II)證明：直線x-y+2=0與。M,。。都相切.

66.

巳知橢圓C，E+E=】Q>6>。)，斜率為1的直線'與C相交’其中一個交點的坐標(biāo)為

(2,在)，且C的右焦點到/的距離為1.

⑴求

(II)求C的離心率.

67.

設(shè)iiina是sin^與coM的等差中ML咱是與<,U的等比中鵬?求e一超-4c(?4a

的值.

68.

已知我列｛。.｝4=1.點P(4.N..1(e?N?^M0U-%*l?O_L

(1)求數(shù)列｛<?.網(wǎng)通不公式；

(2)函數(shù)/(?)■?,*1-?—-—?—―-?…+■(neN??且nN2),求函數(shù)/(??)

、，3』,八，R.O)H.O,i?.0.

的■小值.

69.

直線y=_r+m和橢相交于A,B兩點.當(dāng)m變化時.

（I）求IABI的酸大值1

（II）求少。8面枳的最大值“）是原點）.

分別求曲線y=-3？+2x+4上滿足下列條件的點

（1）過這些點的切線與x軸平行；

70.（2）過這些點的切線與直線y=*平行.

五、單選題（2題）

71.8名選手在有8條跑道的運動場進(jìn)行百米賽跑，其中有2名中國選

手.按隨機抽簽方式?jīng)Q定選手的跑道，2名中國選手在相鄰的跑道的概

率為0

A.l/2B.l/4C.l/8D.1/16

函數(shù)，=/(*)的圖像與函數(shù)y=2*的圖像關(guān)于直線y=X對稱，則人*)=

()

(A)2'(B)log2x(x>0)

72.12'(D)log(2x)(x>0)

六、單選題（1題）

73.如果實數(shù)n,6滿足cb=100,則礦+62的最小值為（）

A.A.400B.200C.1OOD.50

參考答案

l.B

首先做出單位圓，然后根據(jù)問題的約束條件，利用三角函數(shù)線找出滿

足條件的a角取值范圍.

2題答案圖

Vsina>tana.cz€(￡，￡)'

又Vsina=MP,tana=AT.

(1)0VaV妥.sinaVtana.

(2)—^-<Ca?)?sina>tantf.

故選B.

2.BAnB={0,1,2,3}A{1,2}={1,2}.

3.B

4.A

求函數(shù)的值域，最簡便方法是畫圖,

311答案圖

從圖住上現(xiàn)K.

由圖像可知.2Wf(x)02.

'-2,H41

?.,/(x)=|l-x|-|x-3|=<2x-4.1<x<3

,2.x>3

5.A

Il|1I1_II

?2I22222,即x>0或xV-1,故絕對值不等式的解集

為{x|x>0或xV-1}.

6.C

7.B

”1

J=>a=2.

[a?-3a+2=0

8.A

AX-：片E歿圮產(chǎn)?二，.=4,4”n7S?.M

b=44?(4,JW)="§?、：)=〃?低

9.D

10.D

該小題主要考查的知識點為等比數(shù)列.

a3a4=a】q?,a"'=a]q3=10?

2s491i

a[%=Q\(l2a3=Q\(j?a?q=a[q+

【考試指導(dǎo)】9a=2%仆=20.

ll.A

12.B

13.Dy=sinxcos3+cosxsin3+sinxcos3-cosxsin3=2sinxcos3,sinx的最大值為

1,故原函數(shù)的最大值為2cos3.

14.D

15.D

16.B余弦定理是解斜三角形的重要公式，本題利用余弦定理及三角形面

積公式(S△ABC=l/2bcsinA=l/2acsinB=l/2absinC)求出角.丁

cosC=(a2+b2-c2)/2ab=4S△ABC/2ab(已知S△ABC=(a2+b2-c2)/4)S△

ABC=l/2abcosC,①又??^△ABC=l/2absinC,②由①②得cosC=sinC,/.

ZC=w/4.

17.D

18.C

本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識點。

{an}為等差數(shù)列,ai=l,則a2=l+d,a3=l+2d,a6=l+5d。又因32,

?2

a3,a6成等比數(shù)列，則得a32=a2a6,BP(l+2d)=(l+d)(l+5d),解得

d=0(舍去)或d=-2,故選C。

19.D

20.D

【解析】A匚gsinAnsinB,IBsinAMsmB

21.C

22.A

該小題主要考查的知識點為增函數(shù).【應(yīng)試指導(dǎo)】由指數(shù)函數(shù)圖像的性

質(zhì)可知，A項是增函數(shù).

23.C

24.D

25.B

26.B設(shè)長方體的長、寬、高分別為.x、y、zo則長方體有一個公共頂點的

三個面的面積分別為xy、yz、xz貝IJ.xyxyzxxz=x2y2z2=(xyz)2,又〈

4x8xl8=576=242,.*.V=xyz=24

27.C

??(1)與*>0時?|y|,o>o(D

_±.y<o②*

y=X

?*.(2)&x<o?yX)③

1

yH——QyJLX。④'

Xx

30.B

向量加=-+S與〃共線的充暨條件是

即一%+包=-2出十況?則一l=-2A/=人解得4-A?匕?(答案為B)

U

(21)(-8,-l)U(0,+8)

JX?

32.

3

8

本題考查了貝努利試驗的知識點。恰有2次正面向上的概率是P=

4T=三

一千

33.x2/40+y2/4=l或y2/40+x2/36=l原直線方程可化為x/6+y/2=l,交點(6,0),

(0,2).當(dāng)點(6,0)是橢點一個焦點,點(0,2)是橢圓一個頂點時，c=6,b=2,

a2=40—x2/40+y2/4=l當(dāng)點(0,2)是橢圓一個焦點，(6,0)是橢圓一個頂點時，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=l

34.

120,/4?12-4.I*?A3-2,?->?!*212^x(今)?4,M<??(??

35〃°

36.

答案：

■y【解析】由W+my得/+午?=1.

m

因其焦點在，軸上，故

又因為為=2?%.即2J^=4Am=f":

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程而言，應(yīng)注

意：

①焦點在1*上吊

焦點在y軸上，+1T(a>A>0).

②長X長■勿.短牯長=加.

37.

38.

39.

40.15

41.[2,+oo)

y=*+—>2---=2(x>0),

當(dāng)工=1時.上式等號成立.所以>e:2.+8).

42.

43.

由二項式定理可傅,常數(shù)項為CCr）'（+>=一櫻族一-84.（答案為-84）

44.

y=x+3

【解析】該小題主要考查的知識點為切線方程.

【考試指導(dǎo)】

y0爐+3z+4=>y=2工+3,

y=1，故曲線在點（一1,2）處的切線方程為

）-2=z+1,即y=工+3.

46.

47.

48.

設(shè)PG,y)為所求直線上任一點.則詁■(工一2,y+D,因為前1_%

MMP?a-=(x-2,y+l)?(-3.2)=-3(x-2)-t-2(y+l)=0.

即所求直線的方程為3t—2V—8-0.(等案為3工一2y-8=0)

50.答案:21

設(shè)(工一亍?的展開式中含丁的項

J工

是第「+1項.

令7—r--^-=4=>r=2

Lt

c?(一i)’=a?(-1y=21,的系數(shù)

是21.

(22)解：(I)由已知條件可設(shè)直線三角形的三邊長分別為

Q-d,Q,a+d.其中a>0,d>0,

則(a+d)2=a2+(a-d)2.

a=4rf,

三邊長分別為3d,4d,5d.

S=--x3Jx4d=6,d=1.

故三角形的三邊長分別為3,4.5,

公差d=1.

(n)以3為首項j為公差的等差數(shù)列通項為

Q1=3+(n-l),

3+(n-1)=102,

n=100,

故第100項為102.

(I)函數(shù)的定義域為(0,+8).

/(Q=1-十.令，⑴=0,得x=l.

可見,在區(qū)間(0.1)上在區(qū)間(1.+8)上J(x)>0.

則/(x)在區(qū)間(0.1)上為減函數(shù);在區(qū)間(I.+8)上為增函數(shù).

(2)由⑴知，當(dāng)M=1時取極小值,其值為｛1)=1-Ini=1.

=y-ln-+=2-ln2.

52由于InVe<ln2<Inet

即:<ln2<l.則〃/)>/(1)42)>〃1).

因蛉tf(外在區(qū)間：；.2］上的最小值是1.

53.

由已知可得4=乃。,

又sin75°=sin(450+30°)=sin450cos30°+??45o8in30o=同'息?4分

在△ABC中.由正弦定理得

4cBC8而

?8分

^45°-^h75°~sin60°,

所以4C=16.BC=84+8.12分

54.

(I)因為，.即16=5得.=64.

4

所以.該數(shù)列的通項公式為a.=64x(^-)-,

⑵由公式斗坤山得3二絲旱，

91-X

2

化博得2”=32.解得n=5.

55.

a..i1

(1)由已知得。.《°，苗；工5，

所以la］是以2為首項,?為公比的等比數(shù)列.

所以“=2(打?即。?=/

(口)由已知可噱所以(/)*=(/)'

l'T

解得n=6.

56.證明：(1)由已知得

又a>1,可得01,所以.弓的<1.

CL

將①兩邊平方.化簡得

(?0+a)>y?=(X1+a)Jyi④

由②?分別得y：=[(￡-"').y：=1(?！?彳),

aa

代人④整理得

?-*i%-a3

----=-----,即x.-a-..■

。+3Xo+ax?

同理可得與二￡

所以孫射0.所以O(shè)R平行于)?軸.

57.

本題主要考查雙曲線方程及絳合解題能力

根據(jù)題意.先解方程組7°=°

得兩曲線交點為11=3

ly=2,ly=-2

先分別把這兩點和原點連接.得到兩條直線7=

這兩個方程也可以寫成=0

所以以這兩條出線為漸近線的雙曲線方程為旨-￡=o

由于已知雙曲線的實軸長為12.于是有

“=6’

所以*=4

所求雙曲線方程為《-g=l

58.

(1)設(shè)等差數(shù)列I。1的公差為d,由已知%+3=0,得

2%+9d=0.又已知％=9.所以d=-2

敗列l(wèi)a.|的通項公式為a.=9-2(“-1).KPa.=11-2n.

(2)數(shù)列l(wèi)aj的前n項和

S,=-^-(9+1-2n)=-n3+lOn=-(n-5)2+25.

當(dāng)。=5時取得最大值25.

59.

f(x)=3x}-6x=3x(x-2)

令/⑸=0.得駐點9=0吊=2

當(dāng)x<0時>0；

當(dāng)。<*<2時］⑺<0

.?.工=0是的極大值點.極大值〃0)=??

.?.〃0)=m也是最大值

.?.m=5,又，-2)=m-20

/X2)=m-4

.-./(-2)=-l5JX2)=l

二函數(shù)〃工)在i-2,2］上的最小值為〃-2)=-15.

60

由已知，可設(shè)所求函數(shù)的衰達(dá)式為y=C-m)'+n.

而…’+2工-1可化為y=(x+l)'-2

又如它們圖像的頂點關(guān)于直線彳=1對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-3),-2,IWy=x,-6x+7.

61.

設(shè)雙曲線方程為三一￡-1儲＞。法＞03焦距為2c(c?).

因為雙曲線過點(3,2).得撩一￡二】?①

設(shè)直線-1(工+。與雙曲線胸條推線方程分別聯(lián)立,得

3

7(工+c).,...

/叫ST牛))?

Xsa一■

C

3

產(chǎn)—7(1+￡)，...

:r(YT(T))?

x~-----＜

C

因為aw_LON,有勒《rs—-i.

__3“\3~~g*\

經(jīng)化筒.得25a*=9/,即②

又③

由①，②.③解得^=3,^-2.

所求雙曲線方程為t一號T

解本題主要考查雙曲線方程及綜合解題能力

(2x2+y2-4x-10=0

根據(jù)86意.先解方程組z/.

1/=2x-2

得兩曲線交點為「=：'「=3、

ly=2,ly=-2

先分別把這兩點和原點連接,得到兩條宜線,=±今

這兩個方程也可以寫《?丁。

所以以這兩條出線為漸近線的雙曲線方程爆-：廠。

由于已知雙曲線的實軸長為12,于是有

9*=62

所以4=4

所求雙曲線方程為聶-巳

62.3616

63.因為PA_L平面M所以PA±BC所以點P到AB的距離為a,過A

作BC的垂線交CB的延長線于G連接PG所以BC_L平面APG即

PG±AB

?；AG=%.PAi.

:.在RtAAPG中?專

°，因此P到BC的距離為冬.

???PA1平面M.

???AC是PC在平面M上的射影.

又???AD是正六邊形A8CDEF外接網(wǎng)的

直徑.

AZACD?90,.

因此ACICD,所以CD.L平面ACP.即PC

是。到ICD的即離.

■；AC=y^a*PA-a?

；.PC=+/=2a.因此P到CD的距

離為2a.

，設(shè)PD與DA所夾的角為a.在RtZ^PAD

PAa1

中?uma=A5.涕

.".a-arctan"為PD與平面M所夾的角.

64.根據(jù)約束條件“大于65000的五位數(shù)”可知這樣的五位數(shù)只有

7XXXX、65XXX、67XXX三種類型.⑴能組成7XXXX型的五位數(shù)的

個數(shù)是

M=C；?Cl?Pl.

(2)能組成65XXX型的五位數(shù)的個數(shù)是

M=C”Q-Pt

(3)能組成67XXX型的五位數(shù)的個數(shù)是N3=Ci-a-Pl

65.(I)OM可化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x4)2+(y+l)2=(2a)2,

其圓心M點的坐標(biāo)為(1,-1),半徑為ri=2",

OO的圓心為坐標(biāo)原點，

222

可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x+y=r2,

(DO過M點，故有門=匯，

因此。O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=2.

d」+l+2|2.

(II)點M到直線的距離及一，

d一+。+2|_萬

點O到直線的距離離°，

故。M和。O的圓心到直線x-y+2=0的距離均等于其半徑